2.2 平方根与立方根（讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“平方根与立方根”核心知识点，系统梳理平方根、算术平方根、立方根的定义及符号表示，明晰平方与开平方、立方与开立方的逆运算关系，构建从概念理解到性质应用再到无理数估算的学习支架。 资料通过“随学随练”即时巩固、“题型分类”突破重难点，结合类比推理培养推理意识，利用夹逼法估算提升运算能力，关联正方形面积、正方体体积问题建立模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章 实数 2.2 平方根与立方根 课标要点 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义与符号表示，明晰平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，熟练掌握平方根与立方根的各项基本性质。 2.能够准确计算常见完全平方数、完全立方数的方根，会用夹逼法估算无理数范围、比较无理数大小，会借助计算器完成方根近似计算，提升运算能力。 3.通过类比平方根与立方根的探究过程，掌握类比推理思想，利用算术平方根双重非负性解决简单求值问题，增强符号意识与逻辑推理能力。 4.能结合正方形面积、正方体体积等实际情境建立数学模型，运用方根运算解决基础实际问题，培养数学应用意识与严谨规范的解题习惯。 学习重难点 重点： 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念、符号表示及基本性质，能正确区分平方根与算术平方根。 2.会利用平方、立方的互逆运算，熟练求常见完全平方数、完全立方数的平方根和立方根。 3.掌握无理数的简单估算方法，能够比较无理数的大小，具备基本的实数运算能力。 难点： 1.理解并运用算术平方根的双重非负性解决求值、取值范围类题型。 2.准确辨析平方根与立方根的性质差异，理解 “负数无平方根、负数有立方根” 的本质区别。 3.灵活运用方根知识结合实际情境建立数学模型，解决面积、体积相关的实际应用问题。 知识点 平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，也叫作二次方根。求一个数的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 公式：若，则 特别提醒 只有非负数才有平方根，被开方数必须满足，负数不存在平方根，开平方运算在实数范围内仅对非负数有效。 易错提醒 易忽略正数有两个平方根，做题时只写出正平方根，漏掉负平方根；误认为任意实数都可以开平方，出现对负数开平方的错误写法。 教材延伸 利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正确。 随学随练 1．16的平方根为（     ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 2．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 3．4的平方根是（     ） A． B．2 C． D． 4．（     ） A． B． C． D． 5．的值等于________． 6．13的平方根是___________． 7．已知是9的平方根，则的值是__________． 知识点 算术平方根 基本概念：利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正确。 公式：算术平方根：；双重非负性： 特别提醒 符号自带非负属性，只要式子中出现，无需额外标注正负，它天然代表非负数；算术平方根是平方根的一部分。 易错提醒 把的值当成16的平方根；混淆平方根与算术平方根的表述，题目要求算术平方根却写出；忽略被开方数取值范围，在时强行化简。 教材延伸 算术平方根的双重非负性是八年级实数章节核心隐藏考点，常和绝对值、完全平方组合出题，是后续根式化简、二次根式学习的基础。 随学随练 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是_________． 知识点 平方根的性质 定义：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0 只有一个平方根，就是0本身；③负数没有平方根。 公式：若正数的两个平方根为，则， 特别提醒 已知一个正数的其中一个平方根，直接取它的相反数就能得到另一个平方根；0 是唯一一个平方根与算术平方根相等的数。 易错提醒 误以为正数的平方根一正一负，相加不为 0；认为 0 有两个平方根；做题时看到平方根就默认一定有两个，忽略 0 的特殊情况 教材延伸 利用“正数两个平方根互为相反数”可以建立方程，求解含字母参数的取值，是填空高频考题。 随学随练 1．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 2．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 3．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（   ） A． B．1 C．2 D．4 4．已知的平方根是，则的值为_____． 5．正数的两个平方根分别是和，则___________；_______________． 知识点 算术平方根恒等变形公式 概念：根据算术平方根与平方的互逆关系，推导出两条核心化简公式，用于代数式化简与计算。 公式：； 特别提醒 成立前提是，若无此条件，式子无意义；化简结果一定是非负数，必须借助绝对值完成化简。 易错提醒 不加限制条件直接写；化简时直接写成，不讨论正负，丢掉绝对值符号，造成符号错误。 教材延伸 此两条公式贯穿整个初中二次根式章节，是根式化简、取值范围、化简求值必考公式，也是中考计算高频考点。 随学随练 1．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根，也叫三次方根；求一个数立方根的运算叫做开立方，立方与开立方互为逆运算。 公式：若，则，可取全体实数 特别提醒 立方根的根指数3绝对不能省略，省略后就变成算术平方根，含义完全改变；全体实数均存在唯一立方根，无取值限制。 易错提醒 。 教材延伸 立方运算可以验证立方根，任意实数开立方后再立方，结果等于原数，可用于验算计算题。 随学随练 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 5．写出一个立方根不大于2的整数：________． 6．计算：______． 7．计算：_____． 知识点6 立方根的性质 定义：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0；一个数的立方根符号与被开方数符号完全一致。 公式：；； 特别提醒 立方根不存在非负限制，被开方数正负均可；可直接把负号移出根号外，简化计算。 易错提醒 化简时得出2；混淆平方根与立方根性质，给正数立方根写出两个结果；化简多余添加绝对值。 教材延伸 利用可把负被开方数转化为正数立方根计算，大幅简化负数立方根运算，是简便运算常用技巧。 随学随练 1．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 知识点7平方根与立方根对比辨析 定义：平方根仅对非负数有意义，根不唯一；立方根对全体实数有意义，根唯一，二者在存在条件、根的个数、符号规则上完全不同。 随学随练特别提醒 根指数2可省略，根指数 3 不可省略；平方根结果非负限定，立方根结果与被开方数同号。 易错提醒 做题时混用两类方根性质，把平方根规则套用在立方根上，或将立方根规则套用在平方根上。 教材延伸 考试常以选择题形式考查二者异同辨析，属于经典易错题，也是判断学生概念是否扎实的标尺。 1．下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 2．下列说法中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．立方根等于它本身的数是1和0 D．实数包括有理数、无理数和零 3．下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 4．下列说法正确的是（   ） A．有理数和数轴上的点一一对应 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点8 特殊数的方根 定义：部分特殊数字的平方根、算术平方根、立方根恰好等于自身。 随学随练特别提醒 只有0的平方根等于自身，1的平方根是，不等于1；仅有立方根等于自身，不存在算术平方根。 易错提醒 错误认为1的平方根是1；认为的算术平方根是1；记错立方根等于本身的数字，漏掉。 教材延伸 该组结论常在方程、参数求值题中作为隐藏条件使用，熟记可快速秒杀小题。 1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 2．一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（   ） A． B． C． D．， 3．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 4．立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 5．有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 知识点9 无理数的估算（夹逼法） 定义：利用被开方数左右相邻的完全平方数或完全立方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分与小数部分。 公式：若（为正整数），则 特别提醒 估算时优先找相邻完全平方数，区间范围越小，估算精度越高；估算大小可统一平方后比较。 易错提醒 估算时找错相邻完全平方数；比较两个根式大小时，直接比较根号外数字而不平方，得出相反大小关系。 教材延伸 夹逼估算法是实数大小比较、无理数整数部分求解的核心方法，也是后续实数运算、根式近似计算的基础。 随学随练 1．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 3．若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 5．估算的值在（     ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 6．与最接近的整数是______． 7．根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则_____． 8．，，则______． 知识点10 算术平方根双重非负性综合应用 定义：，结合三大非负数：平方、绝对值、算术平方根，若干个非负数相加和为 0，则每一项都等于0。 公式：若，则，解得 特别提醒 只有相加等于 0 时，才能判定每个非负数均为 0；若为相乘、相除，不适用此规律。 易错提醒 非负数之和为0时，只令其中一项为0，其余忽略；题目隐藏被开方数内含字母，忽略限制条件。 教材延伸 本知识点是本章重难点压轴小题必考题型，在单元测试、期中期末试卷中高频出现，属于必须熟练掌握的核心解题模型。 随学随练 1．若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若实数，同时满足，，则________． 5．如果式子，那么______． 知识点11 开方在实际问题中的应用 定义：已知正方形面积求边长，使用算术平方根；已知正方体体积求棱长，使用立方根，建立几何量与开方运算的数学模型。 公式：正方形面积，边长；正方体体积，棱长 特别提醒 实际几何长度为正数，因此面积开方只取算术平方根，不取负根；体积开立方无需取舍，直接得出棱长。 易错提醒 求解边长时写出正负两个答案，忽略长度不能为负的现实意义；单位不统一直接代入计算，造成结果错误。 教材延伸 此类应用题是本章唯一综合应用题题型，承接几何与实数运算，为后续勾股定理计算打下运算基础。 随学随练 1．一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 2．图1是10个边长为1的正方形组成的图形纸，沿图2所示的虚线剪开，再拼成图3所示的大正方形，则大正方形的边长是（     ） A．3 B．3.5 C．10 D． 3．如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（     ）两个相邻的整数之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 4．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 5．如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为．    (1)求正方形的边长； (2)请通过计算说明铁丝是否够用． 6．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 拓展 平方根、立方根中的运算能力 运算能力是本章最核心的数学素养，指学生能够依据平方根、立方根的定义、性质与运算法则，规范、准确、灵活地完成开平方、开立方运算、根式化简、估算运算及混合运算。学生不仅要机械计算完全平方数、完全立方数的方根，更要理解乘方与开方互逆运算的内在逻辑，明晰运算依据，减少盲目计算，逐步形成严谨规范的运算习惯，完成从有理数运算到实数运算的思维过渡，为后续二次根式、实数混合运算、勾股定理计算筑牢运算根基。 素养拓展要点 1.熟练运用恒等式、、进行代数式化简，规避符号错误与条件疏漏； 2.借助夹逼估算方法，对无理数进行近似取值、大小比较，培养估算意识与合理估算能力； 3.在解方程、实际应用题运算中，能根据实际情境取舍运算结果，区分平方根双解与实际问题唯一正解，提升运算的合理性。 活学活用 1．有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 2．根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 拓展 符号意识与推理能力素养 符号意识侧重学生理解、、三类根式符号的数学含义，读懂符号自带的取值限制与正负属性，能用符号简洁表达数量关系与运算规则；推理能力依托类比推理、归纳推理展开，通过类比平方根探究过程自主推导立方根性质，归纳两类方根的异同，利用算术平方根双重非负性、平方根互为相反数等性质完成逻辑推导、参数求值，完成从具象数字计算到抽象符号推理的进阶，发展演绎推理思维。 素养拓展要点 1.能根据根式符号判断被开方数的取值范围，依据的非负性推理字母隐含限制条件； 2.借助类比推理，对比平方根、立方根在存在条件、根的个数、符号特征上的区别，构建系统化知识逻辑； 3.针对“多个非负数之和为0” 题型，依靠逻辑推理得出每一项均为 0 的结论，完成参数求解，锻炼严谨的逻辑推导能力。 活学活用 1.小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 2．如图①是一张面积为400平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300平方厘米的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据． (2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． (3)小丽做了如下探究活动： 【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为2． 我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为________． 【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接后的图形． 拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的边长． 题型 求平方根、算术平方根 解题贴士 牢记平方与开平方互为逆运算，先思考哪个数的平方等于被开方数；求平方根必须写出两个结果，求算术平方根只写非负结果；对于小数、分数，先分别对分子分母开方再化简，最终结果化为最简形式，切记负数不存在平方根，无需作答. ▌例1 49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 ▌例2 的平方根是（   ） A．4 B． C． D． ▌对点练1-1．的值是（     ） A． B． C．3 D． ▌对点练1-2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．25的算术平方根是__________． 题型 求立方根 解题贴士 利用立方与开立方互逆运算，直接寻找立方后等于被开方数的数；利用公式，直接将根号内负数转化为正数开立方，简化负数立方根计算；立方根仅有唯一结果，无论被开方数正负，均不用添加正负号，根指数 3 书写时不可省略. ▌例1的立方根是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1计算的结果是______． ▌对点练1-2化简：_______． 【详解】解： ． 题型 平方根性质运用 解题贴士 牢牢抓住核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根相加等于0，列出一元一次方程求解参数；求出参数后代回平方根，将平方根平方即可算出原正数，注意0只有一个平方根，该性质不适用于0. ▌例1已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 ▌对点练1-1若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 ▌对点练1-2若和都是3的平方根，则______． 题型 利用算术平方根双重非负性求值 解题贴士 熟记初中三大非负数：，若多个非负数相加结果为 0，则每一项必须单独等于 0；分别令根号内式子、平方项、绝对值内部代数式等于0，依次解出各个未知数，最后代入代数式完成整体求值，解题第一步优先锁定被开方数必须≥0 的隐藏限制条件. ▌例1若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 ▌对点练1-1等腰三角形的两条边长满足，则其周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 ▌对点练1-2已知，则的值是___________． 题型 恒等公式化简 解题贴士 严格套用固定公式：；，化简二次根号下平方式必须先写绝对值，再根据字母取值范围去掉绝对值符号；立方根公式无需判断正负，直接化简即可，不用添加绝对值，区分平方根与立方根化简公式的巨大差异，避免混用出错. ▌例1_________． ▌对点练1-1计算：_____． ▌对点练1-2的绝对值是________． 题型 无理数夹逼估算 解题贴士 使用夹逼法，先找出与被开方数相邻的两个完全平方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分；小数部分=原无理数整数部分；比较根式大小时，可将两个数同时平方，只需比较平方后的数字大小即可，平方后数值越大，原数越大. ▌例1估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 ▌对点练1-1估计的值在（  ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 ▌对点练1-2若整数满足，则等于（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型7 利用开方解方程 解题贴士 整体换元思想，把括号内代数式看成整体；若方程为平方形式，整体开方后必须带上正负号，得到两个一元一次方程，分别求解得出两个解；若为立方形式，整体直接开立方，仅有唯一解，不需要正负号；当平方等式右侧为负数时，方程无实数解，立方等式右侧任意实数均有解. ▌例1求下列各式中的的值： (1)； (2)． ▌对点练1-1求下列各式中x的值： (1)； (2)． ▌对点练1-2计算： (1)； (2)． 题型8 双层开方陷阱易错题 解题贴士 分层分步计算，不可一步直接作答；先计算外层根号的数值，再对计算得出的结果二次求算术平方根或平方根，极易直接把外层结果当成最终答案，忽略二次开方要求，做题时务必看清题目完整表述，拆解两步运算，规避命题陷阱. ▌例1的平方根是________， ▌对点练1-1的立方根是___________． ▌对点练1-2的平方根是______． 题型9 平方根与立方根概念综合辨析 解题贴士 逐项辨析概念，牢记核心区别：负数无平方根但有立方根；正数平方根两个、立方根一个；算术平方根一定是非负数；根指数 2 可省略、根指数 3 不可省略；举出反例推翻错误说法，利用特殊值 0、1、-1 快速验证语句对错，排除干扰选项. ▌例1下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 ▌对点练1-1下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 ▌对点练1-2下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型10 与几何问题的实际应用 解题贴士 正方形面积公式，边长，现实中长度不能为负，因此只选取算术平方根作为最终答案，舍去负根；正方体体积，棱长直接用立方根计算，结果唯一；作答前统一题目单位，代入数值计算后规范写出单位，完成作答. ▌例1如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． ▌例2魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型11 规律探究型问题 解题贴士 观察多组式子，归纳通用规律：被开方数小数点每向右（左）移动两位，算术平方根小数点同向移动一位；被开方数小数点每移动三位，立方根小数点同向移动一位；利用总结出的规律，快速口算同类根式近似值，提升做题效率. ▌例1若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 ▌例2已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 ▌对点练1-2我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 题型12 与整数部分或小数部分有关的求值 解题贴士 先用夹逼法估算出无理数的整数部分，确定的值；再用无理数减去整数部分得到小数部分；最后把数值代入代数式，完成有理数加减运算，解题关键在于准确估算无理数大致范围，避免估算区间出错. ▌例1已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 ▌对点练1-1阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． ▌对点练1-2阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 题型13 平方根与立方根综合求值问题 解题贴士 依据平方根、立方根定义列式，利用平方根互为相反数、立方根唯一性建立方程求出未知数，再将数值代入代数式化简求值，严格遵循两类方根定义限制条件，防止概念混用出错. ▌例1已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． ▌对点练1-1按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． ▌对点练1-2已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 基础通关 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是-3 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的平方根是5 3．关于，下列说法正确的是（     ） A．它是一个有理数 B．它是的算术平方根 C．面积为的正方形的边长 D． 4．若，则等于（    ） A． B．0 C． D．2 5．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简为（     ） A． B． C． D． 7．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 8．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 9．写出满足的所有整数：______． 10．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 11．代数式的最小值为____． 12．计算：． 13．计算： 14．已知正数m的两个不同的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 15．如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． (1)请在图中画出一个面积为5的格点正方形． (2)在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 素养提升 1．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．实数最接近下列哪一个整数（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 5．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为 ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米 ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压 ④火箭发动机某部件体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 8．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 9．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则 （1）________， （2）与表示的两个数的积是________． 10．教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 11．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 迁移创新 1．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 2．设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 3．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.2 平方根与立方根 课标要点 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义与符号表示，明晰平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，熟练掌握平方根与立方根的各项基本性质。 2.能够准确计算常见完全平方数、完全立方数的方根，会用夹逼法估算无理数范围、比较无理数大小，会借助计算器完成方根近似计算，提升运算能力。 3.通过类比平方根与立方根的探究过程，掌握类比推理思想，利用算术平方根双重非负性解决简单求值问题，增强符号意识与逻辑推理能力。 4.能结合正方形面积、正方体体积等实际情境建立数学模型，运用方根运算解决基础实际问题，培养数学应用意识与严谨规范的解题习惯。 学习重难点 重点： 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念、符号表示及基本性质，能正确区分平方根与算术平方根。 2.会利用平方、立方的互逆运算，熟练求常见完全平方数、完全立方数的平方根和立方根。 3.掌握无理数的简单估算方法，能够比较无理数的大小，具备基本的实数运算能力。 难点： 1.理解并运用算术平方根的双重非负性解决求值、取值范围类题型。 2.准确辨析平方根与立方根的性质差异，理解 “负数无平方根、负数有立方根” 的本质区别。 3.灵活运用方根知识结合实际情境建立数学模型，解决面积、体积相关的实际应用问题。 知识点 平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，也叫作二次方根。求一个数的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 公式：若，则 特别提醒 只有非负数才有平方根，被开方数必须满足，负数不存在平方根，开平方运算在实数范围内仅对非负数有效。 易错提醒 易忽略正数有两个平方根，做题时只写出正平方根，漏掉负平方根；误认为任意实数都可以开平方，出现对负数开平方的错误写法。 教材延伸 利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正确。 随学随练 1．16的平方根为（     ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】D 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 的平方根为． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数， ∴不存在平方后等于的实数，即没有平方根． 3．4的平方根是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】， 的平方根是． 4．（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示的算术平方根. ∵， ∴． 5．的值等于________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 6．13的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 7．已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 知识点 算术平方根 基本概念：利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正确。 公式：算术平方根：；双重非负性： 特别提醒 符号自带非负属性，只要式子中出现，无需额外标注正负，它天然代表非负数；算术平方根是平方根的一部分。 易错提醒 把的值当成16的平方根；混淆平方根与算术平方根的表述，题目要求算术平方根却写出；忽略被开方数取值范围，在时强行化简。 教材延伸 算术平方根的双重非负性是八年级实数章节核心隐藏考点，常和绝对值、完全平方组合出题，是后续根式化简、二次根式学习的基础。 随学随练 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 的算术平方根是． 2．的算术平方根是_________． 【答案】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． 知识点 平方根的性质 定义：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0 只有一个平方根，就是0本身；③负数没有平方根。 公式：若正数的两个平方根为，则， 特别提醒 已知一个正数的其中一个平方根，直接取它的相反数就能得到另一个平方根；0 是唯一一个平方根与算术平方根相等的数。 易错提醒 误以为正数的平方根一正一负，相加不为 0；认为 0 有两个平方根；做题时看到平方根就默认一定有两个，忽略 0 的特殊情况 教材延伸 利用“正数两个平方根互为相反数”可以建立方程，求解含字母参数的取值，是填空高频考题。 随学随练 1．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵与是该正数的两个平方根 ∴ 解得 ． 2．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 3．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，求出，即可得解． 【详解】解：与是同一个数的两个不相等的平方根， ， 解得， ， 这个数是． 4．已知的平方根是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 5．正数的两个平方根分别是和，则___________；_______________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于的一元一次方程，求解得到的值，再根据平方根的定义计算得到的值． 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴． 知识点 算术平方根恒等变形公式 概念：根据算术平方根与平方的互逆关系，推导出两条核心化简公式，用于代数式化简与计算。 公式：； 特别提醒 成立前提是，若无此条件，式子无意义；化简结果一定是非负数，必须借助绝对值完成化简。 易错提醒 不加限制条件直接写；化简时直接写成，不讨论正负，丢掉绝对值符号，造成符号错误。 教材延伸 此两条公式贯穿整个初中二次根式章节，是根式化简、取值范围、化简求值必考公式，也是中考计算高频考点。 随学随练 1．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 2．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、 ，故C正确； D、，故D错误． 知识点 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根，也叫三次方根；求一个数立方根的运算叫做开立方，立方与开立方互为逆运算。 公式：若，则，可取全体实数 特别提醒 立方根的根指数3绝对不能省略，省略后就变成算术平方根，含义完全改变；全体实数均存在唯一立方根，无取值限制。 易错提醒 。 教材延伸 立方运算可以验证立方根，任意实数开立方后再立方，结果等于原数，可用于验算计算题。 随学随练 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 2．的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【详解】∵， 又， 的立方根是， 即的立方根是． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根性质，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意． 4．64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴64的平方根为， ∵，， ∴的立方根为． 5．写出一个立方根不大于2的整数：________． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：， ∴小于或等于8的整数均可， ∴这个整数可以是1（答案不唯一）． 6．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 7．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 知识点6 立方根的性质 定义：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0；一个数的立方根符号与被开方数符号完全一致。 公式：；； 特别提醒 立方根不存在非负限制，被开方数正负均可；可直接把负号移出根号外，简化计算。 易错提醒 化简时得出2；混淆平方根与立方根性质，给正数立方根写出两个结果；化简多余添加绝对值。 教材延伸 利用可把负被开方数转化为正数立方根计算，大幅简化负数立方根运算，是简便运算常用技巧。 随学随练 1．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据偶次方根、奇次方根的性质计算即可． 【详解】A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用n次方根的性质进行计算，当n为奇数时， ，当n为偶数时，． 2．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 知识点7平方根与立方根对比辨析 定义：平方根仅对非负数有意义，根不唯一；立方根对全体实数有意义，根唯一，二者在存在条件、根的个数、符号规则上完全不同。 随学随练特别提醒 根指数2可省略，根指数 3 不可省略；平方根结果非负限定，立方根结果与被开方数同号。 易错提醒 做题时混用两类方根性质，把平方根规则套用在立方根上，或将立方根规则套用在平方根上。 教材延伸 考试常以选择题形式考查二者异同辨析，属于经典易错题，也是判断学生概念是否扎实的标尺。 1．下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，通过举反例排除错误选项． 【详解】解：A．∵的平方根是，立方根是，∴A错误． B．∵负数没有平方根，∴B错误． C．∵的算术平方根是，的算术平方根是，均等于原数；的算术平方根是，大于原数，∴C错误． D．设互为相反数的两个数为与，∵它们的立方根分别为和，∴两个数互为相反数时，它们的立方根也互为相反数，∴D正确． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．无理数就是开方开不尽的数 C．立方根等于它本身的数是1和0 D．实数包括有理数、无理数和零 【答案】C 【详解】解：选项A：∵，的平方根是，∴的平方根是，A错误． 选项B：∵无理数是无限不循环小数，例如是无理数，但它不是开方开不尽得到的数，∴B错误． 选项C：∵的立方根是，的立方根是，的立方根是，∴立方根等于它本身的数是和，C正确． 选项D：∵零属于有理数，实数分为有理数和无理数，分类重复，∴D错误． 3．下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根定义和立方根的定义判断各选项． 【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．有理数和数轴上的点一一对应 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 【答案】B 【分析】本题考查了实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义等，根据实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、实数和数轴上的点一一对应，原选项说法不正确，不符合题意； 、任何实数都有立方根，原选项说法正确，符合题意； 、实数分为正实数，和负实数，原选项说法不正确，不符合题意； 、若一个数的平方根等于它本身，则这个数是，原选项说法不正确，不符合题意； 故选：． 5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根逐项分析即可得解． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确，符合题意； ②无理数是无限不循环小数，故原说法错误，不符合题意； ③1的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； ④的立方根为，故原说法错误，不符合题意； ⑤16的平方根是，用式子表示是，故原说法错误，不符合题意； ⑥，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 知识点8 特殊数的方根 定义：部分特殊数字的平方根、算术平方根、立方根恰好等于自身。 随学随练特别提醒 只有0的平方根等于自身，1的平方根是，不等于1；仅有立方根等于自身，不存在算术平方根。 易错提醒 错误认为1的平方根是1；认为的算术平方根是1；记错立方根等于本身的数字，漏掉。 教材延伸 该组结论常在方程、参数求值题中作为隐藏条件使用，熟记可快速秒杀小题。 1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【详解】解：∵立方根等于本身的数为，平方根为本身的数只有0， 故这个数为0. 2．一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】根据负数没有平方根先排除错误选项，再验证剩余数是否满足条件即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴排除含的选项， ∵的平方根是，的立方根是，， ∴不满足条件，排除， ∵的平方根是，的立方根也是，满足立方根等于它的平方根， ∴这个数是，故选项符合题意． 3．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 4．立方根与它本身相同的数是（    ） A．0或±1 B．0或1 C．0或－1 D．0 【答案】A 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：0立方根等于是0，1立方根等于是1，-1立方根等于是-1． 立方根与它本身相同的数是0或±1， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，立方根的定义，熟记概念是解题的关键． 5．有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：① 平方根是本身的数：∵ 的平方根是 ，不等于它本身，只有 的平方根是它本身，∴①错误； ② 算术平方根是本身的数：∵ 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴算术平方根是本身的数是 和 ，∴②正确； ③ 立方根是本身的数：∵ ，，，∴立方根是本身的数有 ，，，③正确； ④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根， 不存在平方根，只有 满足条件，∴④错误． 综上，正确的说法是②③． 知识点9 无理数的估算（夹逼法） 定义：利用被开方数左右相邻的完全平方数或完全立方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分与小数部分。 公式：若（为正整数），则 特别提醒 估算时优先找相邻完全平方数，区间范围越小，估算精度越高；估算大小可统一平方后比较。 易错提醒 估算时找错相邻完全平方数；比较两个根式大小时，直接比较根号外数字而不平方，得出相反大小关系。 教材延伸 夹逼估算法是实数大小比较、无理数整数部分求解的核心方法，也是后续实数运算、根式近似计算的基础。 随学随练 1．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 2．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【分析】通过比较77与相邻完全平方数的大小，估算的范围． 【详解】解：∵，，， ∴． 3．若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 4．估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 【答案】B 【分析】找出与23相邻的两个完全平方数，即可估算出的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴，即的值在4和5之间． 5．估算的值在（     ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】先找到与26相邻的两个完全平方数，估算出的取值范围，再推出的取值范围即可． 【详解】解：∵ ∴，即 不等式三边同时加1，得 因此的值在6和7之间． 6．与最接近的整数是______． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． 7．根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．，，则______． 【答案】 【分析】根据立方根运算的规律，被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点向右移动一位，进行计算即可． 【详解】解：由立方根的规律：∵， ∴． 知识点10 算术平方根双重非负性综合应用 定义：，结合三大非负数：平方、绝对值、算术平方根，若干个非负数相加和为 0，则每一项都等于0。 公式：若，则，解得 特别提醒 只有相加等于 0 时，才能判定每个非负数均为 0；若为相乘、相除，不适用此规律。 易错提醒 非负数之和为0时，只令其中一项为0，其余忽略；题目隐藏被开方数内含字母，忽略限制条件。 教材延伸 本知识点是本章重难点压轴小题必考题型，在单元测试、期中期末试卷中高频出现，属于必须熟练掌握的核心解题模型。 随学随练 1．若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 4．若实数，同时满足，，则________． 【答案】 【分析】先根据平方的性质求出的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的值，最后代入原方程求出，计算即可． 【详解】解：， 是算术平方根， ，即， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，代入 得 ， 两边平方得， 解得， ． 5．如果式子，那么______． 【答案】 【分析】先由非负数的性质求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 知识点11 开方在实际问题中的应用 定义：已知正方形面积求边长，使用算术平方根；已知正方体体积求棱长，使用立方根，建立几何量与开方运算的数学模型。 公式：正方形面积，边长；正方体体积，棱长 特别提醒 实际几何长度为正数，因此面积开方只取算术平方根，不取负根；体积开立方无需取舍，直接得出棱长。 易错提醒 求解边长时写出正负两个答案，忽略长度不能为负的现实意义；单位不统一直接代入计算，造成结果错误。 教材延伸 此类应用题是本章唯一综合应用题题型，承接几何与实数运算，为后续勾股定理计算打下运算基础。 随学随练 1．一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形边长最大不超过长方形的宽，需先根据长方形的面积与长宽比求出宽，再对比选项． 【详解】解：设长方形的长为，宽为（）. ∵ ∴ ∴ 长方形的宽为 ∵ 裁出的正方形边长最大不超过长方形的宽 又∵，，， ∴ 边长为的正方形符合要求． 2．图1是10个边长为1的正方形组成的图形纸，沿图2所示的虚线剪开，再拼成图3所示的大正方形，则大正方形的边长是（     ） A．3 B．3.5 C．10 D． 【答案】D 【分析】根据剪拼前后图形的面积不变，先求出原图形的面积，再根据正方形面积公式求出边长即可． 【详解】解：∵图形由10个边长为1的小正方形组成 ∴原图形的总面积为 ∵剪拼前后图形的面积不变，且拼成的是一个大正方形 ∴大正方形的面积为10 设大正方形的边长为，则 ∵ ∴． 3．如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（     ）两个相邻的整数之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】A 【分析】利用正方体的体积公式结合题目条件得出该正方体铁块的棱长，确定被开立方数的值在哪两个相邻整数的立方之间即可得到解． 【详解】解：正方体的体积为棱长的三次方， 该正方体铁块的棱长为， ，，， 该正方体铁块的棱长位于3和4之间． 4．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 5．如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为．    (1)求正方形的边长； (2)请通过计算说明铁丝是否够用． 【答案】(1) (2)铁丝够用 【分析】（1）利用算术平方根的定义求解； （2）设长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积为”列方程求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为：； （2）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：或（舍去）， ∴长方形的长为，宽为． ∴长方形的周长， ∵正方形的周长为． ∴铁丝够用． 6．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为 ， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 拓展 平方根、立方根中的运算能力 运算能力是本章最核心的数学素养，指学生能够依据平方根、立方根的定义、性质与运算法则，规范、准确、灵活地完成开平方、开立方运算、根式化简、估算运算及混合运算。学生不仅要机械计算完全平方数、完全立方数的方根，更要理解乘方与开方互逆运算的内在逻辑，明晰运算依据，减少盲目计算，逐步形成严谨规范的运算习惯，完成从有理数运算到实数运算的思维过渡，为后续二次根式、实数混合运算、勾股定理计算筑牢运算根基。 素养拓展要点 1.熟练运用恒等式、、进行代数式化简，规避符号错误与条件疏漏； 2.借助夹逼估算方法，对无理数进行近似取值、大小比较，培养估算意识与合理估算能力； 3.在解方程、实际应用题运算中，能根据实际情境取舍运算结果，区分平方根双解与实际问题唯一正解，提升运算的合理性。 活学活用 1．有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 【答案】(1) (2) 理由：三个数为、、，三个数均为正数， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出；根据立方根等于本身的数为，求出；根据算术平方根的整数部分和小数部分确定方法求出； （2）先求出三个数，再根据无理数的大小比较方法解答即可． 【详解】（1）解：∵有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和， ∴， 解得； ∵，立方根等于本身的数为， ∴， 将代入得：，解得； ∵， ∴的整数部分为，小数部分； （2）略 2．根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或 (3)约 【分析】（1）根据算术平方根和平方根的定义从表格中得出结果即可； （2）从表格中分别找出的平方和的平方，找到位于这两个平方之间的正整数即为所求的正整数a； （3）关系式中代入，解出，根据表格中的数得出的大概取值即可． 【详解】（1）解：由表格得的算术平方根是，的平方根是； （2）解：由表格得，， 介于与之间，和之间的正整数有，， 满足条件的正整数a为或； （3）解：， 当时，， 由表格得介于和之间， 该物体到达地面大概需要． 拓展 符号意识与推理能力素养 符号意识侧重学生理解、、三类根式符号的数学含义，读懂符号自带的取值限制与正负属性，能用符号简洁表达数量关系与运算规则；推理能力依托类比推理、归纳推理展开，通过类比平方根探究过程自主推导立方根性质，归纳两类方根的异同，利用算术平方根双重非负性、平方根互为相反数等性质完成逻辑推导、参数求值，完成从具象数字计算到抽象符号推理的进阶，发展演绎推理思维。 素养拓展要点 1.能根据根式符号判断被开方数的取值范围，依据的非负性推理字母隐含限制条件； 2.借助类比推理，对比平方根、立方根在存在条件、根的个数、符号特征上的区别，构建系统化知识逻辑； 3.针对“多个非负数之和为0” 题型，依靠逻辑推理得出每一项均为 0 的结论，完成参数求解，锻炼严谨的逻辑推导能力。 活学活用 1.小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 2．如图①是一张面积为400平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300平方厘米的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据． (2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． (3)小丽做了如下探究活动： 【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为2． 我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为________． 【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接后的图形． 拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的边长． 【答案】(1)裁剪方案和数据如图所示： (2)不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴长方形的长为， ∵，超过了原正方形纸片的边长， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． (3)活动1：； 活动2：裁剪痕迹和拼接图，如图所示： 拼成的两个正方形边长相等，边长是 【分析】（1）将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4个面积相等的长方形，每个小长方形的宽度为5厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300平方厘米的长方形纸片； （2）通过计算长方形纸片的长，得出长超过了原正方形纸片的边长，从而得出小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （3）设拼成后的正方形的边长为，利用拼成正方形的面积来建立方程求出结果． 【详解】（1）解：如图所示： ∵正方形纸片的面积为400平方厘米， ∴正方形纸片的边长为20厘米， 将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4个面积相等的长方形，每个小长方形的宽度为5厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300平方厘米的长方形纸片，如图所示： （2）略 （3）解：活动1：设拼成后的正方形的边长为， ∴， ∴（负值舍去）； 活动2：裁剪图略； 由等面积的变形可得：这两个正方形的面积都为5， 设正方形的边长为， ∴， ∴（负值舍去）． 题型 求平方根、算术平方根 解题贴士 牢记平方与开平方互为逆运算，先思考哪个数的平方等于被开方数；求平方根必须写出两个结果，求算术平方根只写非负结果；对于小数、分数，先分别对分子分母开方再化简，最终结果化为最简形式，切记负数不存在平方根，无需作答. ▌例1 49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ 49的算术平方根是． ▌例2 的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键； 先计算16的算术平方根，再求该结果的平方根． 【详解】∵， 又 ∵ 4的平方根是， ∴的平方根是． 故选：C． ▌对点练1-1．的值是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：． ▌对点练1-2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． ▌对点练1-3．25的算术平方根是__________． 【答案】5 【详解】解：的算术平方根是. 题型 求立方根 解题贴士 利用立方与开立方互逆运算，直接寻找立方后等于被开方数的数；利用公式，直接将根号内负数转化为正数开立方，简化负数立方根计算；立方根仅有唯一结果，无论被开方数正负，均不用添加正负号，根指数 3 书写时不可省略. ▌例1的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于64的数，即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴ 64的立方根是4. ▌对点练1-1计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ▌对点练1-2化简：_______． 【答案】 【详解】解： ． 题型 平方根性质运用 解题贴士 牢牢抓住核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根相加等于0，列出一元一次方程求解参数；求出参数后代回平方根，将平方根平方即可算出原正数，注意0只有一个平方根，该性质不适用于0. ▌例1已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． ▌对点练1-1若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根即的算术平方根， ∴的算术平方根为． ∴结果为． ▌对点练1-2若和都是3的平方根，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义求解，可得答案． 【详解】解：3的平方根是， 由题意知， ∴， 解得， 则， ∴， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 题型 利用算术平方根双重非负性求值 解题贴士 熟记初中三大非负数：，若多个非负数相加结果为 0，则每一项必须单独等于 0；分别令根号内式子、平方项、绝对值内部代数式等于0，依次解出各个未知数，最后代入代数式完成整体求值，解题第一步优先锁定被开方数必须≥0 的隐藏限制条件. ▌例1若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． ▌对点练1-1等腰三角形的两条边长满足，则其周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质与等腰三角形的三边关系，先利用非负数的性质求出边长、，再结合三角形三边关系判断等腰三角形的腰长，进而计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，，∴解得，． ∵该三角形是等腰三角形，边长为和，需分情况讨论腰长： 情况1：若腰长为，底边长为，则三边为、、， ∵，不满足“三角形两边之和大于第三边”，∴此情况不成立； 情况2：若腰长为，底边长为，则三边为、、， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为． 故选：B． ▌对点练1-2已知，则的值是___________． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性．根据二次根式和绝对值的非负性，结合已知条件求出x和y的值，从而求得的值． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴且， ∴且， 即且， ∴． 题型 恒等公式化简 解题贴士 严格套用固定公式：；，化简二次根号下平方式必须先写绝对值，再根据字母取值范围去掉绝对值符号；立方根公式无需判断正负，直接化简即可，不用添加绝对值，区分平方根与立方根化简公式的巨大差异，避免混用出错. ▌例1_________． 【答案】2 【详解】解： ▌对点练1-1计算：_____． 【答案】 【详解】解：． ▌对点练1-2的绝对值是________． 【答案】/0.25 【分析】先根据立方根的定义计算出的值，再根据绝对值的性质计算最终结果． 【详解】解：，则． 题型 无理数夹逼估算 解题贴士 使用夹逼法，先找出与被开方数相邻的两个完全平方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分；小数部分=原无理数整数部分；比较根式大小时，可将两个数同时平方，只需比较平方后的数字大小即可，平方后数值越大，原数越大. ▌例1估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴． ▌对点练1-1估计的值在（  ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】找出和11相邻的两个完全平方数，即可估算出的范围． 【详解】解：∵， ∴，即， 的值在到之间． ▌对点练1-2若整数满足，则等于（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】用夹逼法估算出和的取值范围，再找出该范围内的整数即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∵，且为整数， ∴，即， ∴整数． 题型7 利用开方解方程 解题贴士 整体换元思想，把括号内代数式看成整体；若方程为平方形式，整体开方后必须带上正负号，得到两个一元一次方程，分别求解得出两个解；若为立方形式，整体直接开立方，仅有唯一解，不需要正负号；当平方等式右侧为负数时，方程无实数解，立方等式右侧任意实数均有解. ▌例1求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． ▌对点练1-1求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解： 开平方，得． 当时，解得 ； 当时，解得． 所以或； （2） 解： 整理，得． 开立方，得 ． 解得． ▌对点练1-2计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： （2）解： 或 题型8 双层开方陷阱易错题 解题贴士 分层分步计算，不可一步直接作答；先计算外层根号的数值，再对计算得出的结果二次求算术平方根或平方根，极易直接把外层结果当成最终答案，忽略二次开方要求，做题时务必看清题目完整表述，拆解两步运算，规避命题陷阱. ▌例1的平方根是________， 【答案】 3 【详解】解：的平方根是. ▌对点练1-1的立方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，掌握定义是解题关键． ，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】， 所以的立方根即为的立方根，为， 故答案为：． ▌对点练1-2的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的性质化简已知式子，再根据平方根的定义计算最终结果．解题时需注意审题，不要混淆化简结果与待求的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 题型9 平方根与立方根概念综合辨析 解题贴士 逐项辨析概念，牢记核心区别：负数无平方根但有立方根；正数平方根两个、立方根一个；算术平方根一定是非负数；根指数 2 可省略、根指数 3 不可省略；举出反例推翻错误说法，利用特殊值 0、1、-1 快速验证语句对错，排除干扰选项. ▌例1下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； B．，所以，的立方根是，因此本选项错误，不符合题意； C．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； D．，所以，是的平方根，因此本选项正确，符合题意； ▌对点练1-1下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． ▌对点练1-2下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的， 说法①正确，符合题意； 无理数是无限不循环小数，其中开方开不尽的数只是其中一部分， 说法②错误，不符合题意； 立方根等于它本身的数有和0，共3个， 说法③错误，不符合题意； 的平方根是，用式子表示是， 说法④错误，不符合题意． 题型10 与几何问题的实际应用 解题贴士 正方形面积公式，边长，现实中长度不能为负，因此只选取算术平方根作为最终答案，舍去负根；正方体体积，棱长直接用立方根计算，结果唯一；作答前统一题目单位，代入数值计算后规范写出单位，完成作答. ▌例1如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1确定直角三角形的两直角边长，结合图2判断为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴剪开得到的直角三角形的两直角边长分别为和， 由图2可知，中间正方形的边长即为直角三角形的斜边， ∴根据勾股定理得． ▌例2魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故选：A． ▌对点练1-1如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，空白部分小正方形的面积为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，大正方形的边长为长方形的长和宽的和， ∴， ∵， ∴. ▌对点练1-2如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 题型11 规律探究型问题 解题贴士 观察多组式子，归纳通用规律：被开方数小数点每向右（左）移动两位，算术平方根小数点同向移动一位；被开方数小数点每移动三位，立方根小数点同向移动一位；利用总结出的规律，快速口算同类根式近似值，提升做题效率. ▌例1若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． ▌例2已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1-1根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． ▌对点练1-2我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴只需先求的立方根； 第一步，确定位数： ∵ ， ，且 ， ∴，即是两位数； 第二步，确定个位数字： ∵的个位数字是，中只有的立方的个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步，确定十位数字： 划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 题型12 与整数部分或小数部分有关的求值 解题贴士 先用夹逼法估算出无理数的整数部分，确定的值；再用无理数减去整数部分得到小数部分；最后把数值代入代数式，完成有理数加减运算，解题关键在于准确估算无理数大致范围，避免估算区间出错. ▌例1已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． ▌对点练1-1阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 【答案】 【分析】先根据不等式性质确定的整数范围，得到的整数部分，再根据题目定义，用减去其整数部分得到小数部分的值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分． ▌对点练1-2阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 题型13 平方根与立方根综合求值问题 解题贴士 依据平方根、立方根定义列式，利用平方根互为相反数、立方根唯一性建立方程求出未知数，再将数值代入代数式化简求值，严格遵循两类方根定义限制条件，防止概念混用出错. ▌例1已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． ▌对点练1-1按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． ▌对点练1-2已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 基础通关 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，需注意区分原式结果和原式结果的平方根两个概念． 【详解】解：， ， ， 又， 的平方根是， 即的平方根是． 2．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是-3 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的平方根是5 【答案】B 【详解】解：∵负数没有平方根，是负数，∴A选项错误； ∵，∴的立方根是，∴B选项正确； 若，则或，∴C选项错误； ∵，∴的平方根是，∴D选项错误． 3．关于，下列说法正确的是（     ） A．它是一个有理数 B．它是的算术平方根 C．面积为的正方形的边长 D． 【答案】C 【分析】根据无理数的概念，算术平方根的定义，正方形面积公式以及无理数的估算，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵是开方开不尽的数，属于无理数，不是有理数，∴A错误． B选项，∵的算术平方根是，的算术平方根不是，∴B错误． C选项，∵正方形面积等于边长的平方，∴面积为的正方形边长为，∴C正确． D选项，∵，，可得，∴D错误． 4．若，则等于（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质与立方根的计算，利用“几个非负数的和为时，每个非负数都为”求出，的值，再代入计算立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 计算得， ∴． 5．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可得，得到，进而化简式子． 【详解】解：根据算术平方根的性质：， 原式可转化为：， 由数轴可知，实数的取值范围是，因此， ， 化简结果为． 7．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 8．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 9．写出满足的所有整数：______． 【答案】和 【分析】对和大小的估算，得到的大致范围，确定满足条件的整数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴满足的整数有，． 10．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，正方形的边长为， ∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 ∴点在刻度尺上对应的数为． 11．代数式的最小值为____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． 12．计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的意义进行化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 13．计算： 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算和有理数的混合运算． 解题思路是先分别计算出每一项的值，再按照有理数加减运算法则计算最终结果． 【详解】解： ． 14．已知正数m的两个不同的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1； (2)7． 【分析】（1）由平方根的性质建立方程求解即可； （2）先求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意得， 解得， a的值为1． （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 15．如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． (1)请在图中画出一个面积为5的格点正方形． (2)在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）画出边长为的正方形即可； （2）画出所有面积为5的正方形即可． 【详解】（1）略 （2）解：画出所有面积为5的正方形，如图， 共有4个面积为5的格点正方形． 素养提升 1．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 2．实数最接近下列哪一个整数（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用平方运算确定的取值范围，再推导的范围，即可判断最接近的整数． 【详解】解：，， ， ， ∴， 在和之间，最接近的整数是． 3．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的，它的算术平方根缩小为原来的，利用该性质结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码， ∴数对应的密码为， ∵数对应的密码约为， ∴， ∴． 4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 5．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为 ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米 ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压 ④火箭发动机某部件体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，逐个分析． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ，是无限不循环小数，因此是无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共个． 6．如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是． 7．公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 8．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 9．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则 （1）________， （2）与表示的两个数的积是________． 【答案】 【分析】（1）第n排有n个数，且按照1、、的顺序，每3个数为一个循环排列，确定第5排第3列是第几个数即可得到答案； （2）同（1）确定第8排第2列是第几个数和第2014排第2014列是第几个数即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，第n排有n个数，且按照1、、的顺序，每3个数为一个循环排列， ， ， ∴； （2）， ， ， ∴，， ∴与表示的两个数的积是． 10．教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 11．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 迁移创新 1．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1)42，110 (2)14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 2．设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得 当时， ∵，则 ∴； ②； ③ 【分析】（1）分别计算，，，的值，代入条件，即可求解； （2）①，将代入第一问得到的关系式，因为，所以可以对等式进行变形推导，得到和的关系。 ②，先利用和联立方程求解的值，再利用得到的关系式，结合第一问的参数关系式，联立求解，最后计算； 对于③，先由得到的一个等式，结合第一问的关系式，推导与的关系，再代入，得出，，进而求得关于的代数式，根据随的增大而减小，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴ ∴ 即， ∴； （2）①略； ②由，得：，则 由，得，则 联立，解得： 由，得 ∴ 代入得， 解得： ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴， 代入得， ∴ ∵，即，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 代入得 ∴ 即 ∴ ∵， ∴， 又∵为整数，则 ∵ ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为 3．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)；见解析 【分析】（1）根据正方形的面积求解它的边长即可； （2）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可； （3）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可. 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； （2）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示； （3）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $