专题2.6 二次根式的加减（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦二次根式的加减运算核心知识点，衔接已学的二次根式乘除，明确加减实质为合并同类二次根式，梳理运算步骤，构建从乘除到加减的完整运算体系，为混合运算及应用奠定学习支架。 资料通过8大题型系统归纳，例题与变式结合，如题型8矩形背景墙问题培养应用意识，题型7规律探索发展创新意识，估算题型提升数感。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化运算能力与推理意识。

专题2.6 二次根式的加减（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 二次根式的加减运算】 2 【题型2 比较二次根式的大小】 2 【题型3 二次根式的混合运算】 2 【题型4 二次根式的化简求值（已知字母的值）】 3 【题型5 二次根式的化简求值（已知条件式）】 3 【题型6 二次根式的估算】 4 【题型7 二次根式的规律探索】 4 【题型8 二次根式运算的应用】 5 考点1 二次根式的乘除 知识点1 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点2 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【题型1 二次根式的加减运算】 【例1】计算：______． 【变式1-1】（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）为使算式的计算结果为有理数，则“□”中应填写的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，甲、乙两张纸条宽相同，长都是，甲的左端与数轴上的表示的点重合，乙的右端与数轴上的表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为________． 【变式1-3】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________． 【题型2 比较二次根式的大小】 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【变式2-1】比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【题型3 二次根式的混合运算】 【例4】（25-26八年级下·江苏南京·期末）与相乘，积为有理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】计算． (1) (2) 【变式3-2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-3】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 【题型4 二次根式的化简求值（已知字母的值）】 【例4】已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：．其中． 【变式4-3】先化简，再求值． ，其中，． 【题型5 二次根式的化简求值（已知条件式）】 【例5】已知，求的值． 【变式5-1】已知实数x，y满足，求的值． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【变式5-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【题型6 二次根式的估算】 【例6】已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且，则_____． 【变式6-1】（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 【变式6-2】（24-25九年级下·重庆·阶段检测）（原创题）实数在两个相邻的整数与之间，则整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（25-26八年级下·重庆石柱·期中）式子的值介于下列哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型7 二次根式的规律探索】 【例7】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 【变式7-1】观察下列等式： ①，②，③，… 请你根据以上规律，写出第4个等式：__________． 【变式7-2】观察3个式子：，，．猜想第四个式子得：_____；依此类推，按照每个等式反映的规律，第个二次根式的计算结果是______． 【变式7-3】综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：______； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______，并证明你的猜想； (3)应用运算规律． 化简：． 【题型8 二次根式运算的应用】 【例8】（25-26八年级下·吉林·期中）某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【变式8-1】（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【变式8-2】（25-26八年级下·云南昆明·期中）社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面积为（   ）      A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 二次根式的加减（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 二次根式的加减运算】 2 【题型2 比较二次根式的大小】 3 【题型3 二次根式的混合运算】 5 【题型4 二次根式的化简求值（已知字母的值）】 7 【题型5 二次根式的化简求值（已知条件式）】 9 【题型6 二次根式的估算】 11 【题型7 二次根式的规律探索】 13 【题型8 二次根式运算的应用】 16 考点1 二次根式的乘除 知识点1 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点2 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【题型1 二次根式的加减运算】 【例1】计算：______． 【答案】 【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1-1】（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）为使算式的计算结果为有理数，则“□”中应填写的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式展开，再分别代入不同运算符号计算，根据结果是否为有理数做出判断即可. 【详解】解： 对各选项分别验证： A 、填时，，是有理数，符合题意； B 、填时，，是无理数，不符合题意； C、填时，，是无理数，不符合题意； D、填时，，是无理数，不符合题意； 【变式1-2】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，甲、乙两张纸条宽相同，长都是，甲的左端与数轴上的表示的点重合，乙的右端与数轴上的表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为________． 【答案】 【分析】先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为． 【变式1-3】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【题型2 比较二次根式的大小】 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【题型3 二次根式的混合运算】 【例4】（25-26八年级下·江苏南京·期末）与相乘，积为有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘法法则或平方差公式计算乘积，再判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：A选项：，结果是无理数，不符合要求； B选项，结果是无理数，不符合要求； C选项：，结果是无理数，不符合要求； D选项：，是有理数，符合要求． 【变式3-1】计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算二次根式的乘法，再化为最简二次根式，最后算加减； （2）先化简二次根式，然后算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：     . 【变式3-2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 【变式3-3】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：由定义，得： （2）解：由定义，得： ． 【题型4 二次根式的化简求值（已知字母的值）】 【例4】已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】（1）根据已知条件求得，，然后利用完全平方公式将原式变形求解即可； （2）将原式变形，再将，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ 【变式4-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 【答案】，4 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及熟练地运用完全平方公式． 分别将a，b代入中计算；先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可． 【详解】解： 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再去括号合并同类二次根式，然后把代入计算即可． 【详解】 ， 当时， 原式． 【变式4-3】先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 当，时， 原式． 【题型5 二次根式的化简求值（已知条件式）】 【例5】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 【变式5-1】已知实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质及二次根式求值．两个非负数（平方根）之和为0，根据非负数性质，每个非负数必为0，据此求出x、y，代入目标表达式计算即可． 【详解】解：由非负数性质，，且， 故， 即，， 代入表达式得： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】， 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，从而可得，再根据二次根式的运算法则进行化简，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当，时，原式． 【变式5-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 【题型6 二次根式的估算】 【例6】已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．对估算出大小，从而求出整数部分和小数部分，把，代入，化简得出，进而得出且，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 把，代入，得      化简得：，     ∴且， 解得：，．     ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级下·重庆·阶段检测）（原创题）实数在两个相邻的整数与之间，则整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先计算二次根式可得，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∵实数在两个相邻的整数与之间， ∴， 故选：C． 【变式6-3】（25-26八年级下·重庆石柱·期中）式子的值介于下列哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再通过估算无理数的大小确定原式的范围，即可得到答案． 【详解】解： ， 又 ， 即， 不等式各项同减得：， 即， 原式的值介于和之间． 【题型7 二次根式的规律探索】 【例7】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 【答案】C 【分析】首先根据题意，得出一般规律，代入数字相加即可得解． 【详解】解：第个等式：，     第个等式：， 第个等式：，     第个等式：， …… 第n个等式：， ∴ = ，故C正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案． 【变式7-1】观察下列等式： ①，②，③，… 请你根据以上规律，写出第4个等式：__________． 【答案】 【分析】由已知的等式，可归纳出规律：，n为大于0的自然数． 【详解】解：由已知等式，总结规律：， ∴第4个等式为，即； 故答案为： 【点睛】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与续数的关系是解题的关键． 【变式7-2】观察3个式子：，，．猜想第四个式子得：_____；依此类推，按照每个等式反映的规律，第个二次根式的计算结果是______． 【答案】 【分析】利用题中的等式可得第四个式子的结果为，第n个二次根式的结果为，然后进行分式的加减运算即可． 【详解】解：∵； ； ； ∴第四个式子为； 第n个二次根式为． 故答案为；． 【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，列代数式．找出结果与序号之间的关系是解题的关键． 【变式7-3】综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：______； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______，并证明你的猜想； (3)应用运算规律． 化简：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行列式即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4： 故答案为． （2）解：猜想：，证明如下： 左边．右边， 所以猜想成立． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算、数字的变化规律等知识点，由所给的式子总结出存在的规律是解答的关键． 【题型8 二次根式运算的应用】 【例8】（25-26八年级下·吉林·期中）某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算可得； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得． 【详解】（1）解： ， 答：电视背景墙的周长为． （2）解： （元）， 答：整个电视背景壁纸需要花费元． 【变式8-1】（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 【变式8-2】（25-26八年级下·云南昆明·期中）社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面积为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定能裁剪的长方形的条数，再确定镶边时长方形的长，由此可求出正方形作品的边长，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 根据图②的裁剪长方形，如图所示， ∵， ∴， ∴能裁剪的纸条的条数为（条）， 根据题意，， 则， 依次类推，第三条长方形的长为， ∴总长度为：，且宽为， ∴按图③镶边，如图所示， ∴， ∴， ∴正方形美术作品的面积为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $