2.2 平方根与立方根（一） 平方根 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.2平方根 知识归纳与题型总结 考点01 算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 考向01 求一个数的算术平方根 【例1】在数学史上，无理数的发现推动了数学的进一步发展，下列实数中是无理数的是（     ） A．1 B． C． D． 考向02 利用算术平方根的非负性解题 【例2】若，为实数，且，则__________． 考向03 估计算术平方根的取值范围 【例3】根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 考向04 与算术平方根有关的规律探索题 【例4】观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 考向05 算术平方根的实际应用 【例5】根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【对点1】下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【对点2】若实数，满足，则的值是__________． 【对点3】下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【对点4】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【对点5】下列实数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 考点02 算术平方根和平方根的区别和联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 考向01 平方根概念理解 【例1】已知是9的平方根，则的值是__________． 考向02 求一个数的平方根 【例2】下列说法正确的是（     ） A．的平方根是-3 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的平方根是5 考向03 求代数式的平方根 【例3】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 考向04 已知一个数的平方根，求这个数 【例4】已知一个正数的两个平方根分别为和，那么＝_________． 考向05 利用平方根解方程 【例5】如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【对点1】下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【对点2】16的平方根是______． 【对点3】已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数． (1)求出，，的值； (2)求的平方根． 【对点4】一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【对点5】已知，则______． 考点03 开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 考点04 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 一、选择题 1．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 2．下列说法正确的是（     ） A．所有的实数都可以用数轴上的点来表示 B．无限小数都是无理数 C．的绝对值是 D．的平方根是 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 5．利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 6．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．正方形面积为13，其边长是x，以下说法正确的是（     ） A．x是有理数 B． C． D．在数轴上找不到表示实数x的点 8．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 9．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 10．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 12．若a，b是2026的两个平方根（），则______． 13．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 14．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 15．某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 三、计算题 16．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)求a、b、m的值； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 17．如图，在长方形内两个正方形，的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图形中阴影部分的面积． 18．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，则小长方形中裁剪线的长度（图中的虚线）为 ； (2)如图2，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则所拼成的大正方形的边长为 ； (3)能否在图2中的大正方形内裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．若能，求裁得的长方形纸片的长和宽（精确到0.1）；若不能，请说明理由．（） 19．阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 20．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.2平方根 知识归纳与题型总结 考点01 算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 考向01 求一个数的算术平方根 【例1】在数学史上，无理数的发现推动了数学的进一步发展，下列实数中是无理数的是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、1是整数，是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是有限小数，可化为分数，是有理数，故此选项不符合题意； D、是分数，是有理数，故此选项不符合题意． 考向02 利用算术平方根的非负性解题 【例2】若，为实数，且，则__________． 【答案】4 【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 考向03 估计算术平方根的取值范围 【例3】根据下表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2)若介于与之间，请直接写出满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或 (3)约 【分析】（1）根据算术平方根和平方根的定义从表格中得出结果即可； （2）从表格中分别找出的平方和的平方，找到位于这两个平方之间的正整数即为所求的正整数a； （3）关系式中代入，解出，根据表格中的数得出的大概取值即可． 【详解】（1）解：由表格得的算术平方根是，的平方根是； （2）解：由表格得，， 介于与之间，和之间的正整数有，， 满足条件的正整数a为或； （3）解：， 当时，， 由表格得介于和之间， 该物体到达地面大概需要． 考向04 与算术平方根有关的规律探索题 【例4】观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 考向05 算术平方根的实际应用 【例5】根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能装下，理由： 圆柱形蛋糕的直径为， ， ，即， ， ， ，即， 这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 【分析】（1）设圆柱形蛋糕的半径为，根据题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （2）通过立方根的定义即可求解； （3）通过无理数的估算，实数比较大小即可求解． 【详解】（1）解：设圆柱形蛋糕的半径为， ， （负数舍去）， （2）解：， 答：这个正方体礼品盒的棱长为； （3）略 【对点1】下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，是整数，属于有理数，选项A错误； 是有限小数，属于有理数，选项B错误； 是分数，属于有理数，选项C错误； 是无限不循环小数，属于无理数，选项D正确． 【对点2】若实数，满足，则的值是__________． 【答案】1 【分析】非负性求出的值，即可得出结果. 【详解】解：， ∴， ∴， ∴. 【对点3】下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 【对点4】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 【对点5】下列实数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用负数比较大小的规则即可求解． 【详解】解：，，，， ，即， ， 最小的数是． 考点02 算术平方根和平方根的区别和联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 考向01 平方根概念理解 【例1】已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 考向02 求一个数的平方根 【例2】下列说法正确的是（     ） A．的平方根是-3 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的平方根是5 【答案】B 【详解】解：∵负数没有平方根，是负数，∴A选项错误； ∵，∴的立方根是，∴B选项正确； 若，则或，∴C选项错误； ∵，∴的平方根是，∴D选项错误． 考向03 求代数式的平方根 【例3】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程，求出的值，再求出正数即可； （2）根据立方根的定义求出值，再代入代数式求平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的立方根为 ∴， 解得：， ∴，16的平方根为， ∴的平方根为． 考向04 已知一个数的平方根，求这个数 【例4】已知一个正数的两个平方根分别为和，那么＝_________． 【答案】16 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解的值，再根据平方根的定义求出的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ， 整理得， 解得， 将代入得， ． 考向05 利用平方根解方程 【例5】如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为，进而根据勾股定理求解即可； （2）先求出和的长度，进而运用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为． ， 为直角三角形， 解得， 答：初始状态下的水平距离的长为； （2）解：由于斜梁的长度比水平距离多， ∴斜梁的长为， 由题意得，降低后竖直高度为． 在中，， 解得． ∴斜梁底部移动距离为， 答：斜梁落点C向外移动了． 【对点1】下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 【对点2】16的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 【对点3】已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数． (1)求出，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义及相反数的性质，熟练掌握相关的知识点是解决本题的关键． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ∴， ∴； 的立方根是， ， ； ∵与互为相反数， ； （2），，， ， 的平方根为． 【对点4】一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用正数的平方根的性质求解，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出参数的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 整理得 解得， 将代入，得， ∴这个正数为． 【对点5】已知，则______． 【答案】 【详解】， ， ， 根据平方根的定义可得． 考点03 开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 考点04 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 一、选择题 1．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边，结合勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，得 ，， 分两种情况讨论： ① 当，都为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长为； ② 当为斜边，为直角边时，第三边为直角边， 由勾股定理得，第三边长为； ∴ 此直角三角形的第三边为或． 2．下列说法正确的是（     ） A．所有的实数都可以用数轴上的点来表示 B．无限小数都是无理数 C．的绝对值是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】根据实数与数轴的对应关系，无理数定义，绝对值计算，平方根与算术平方根的概念，对选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，根据实数与数轴的对应关系，所有的实数都可以用数轴上的点来表示，该说法正确，符合题意； 对于选项B，无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意； 对于选项C，，，，原说法错误，不符合题意； 对于选项D，，9的平方根是，的平方根是，原说法错误，不符合题意； 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴边长， ∵， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点所表示的数为． 4．下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据算术平方根有意义的条件以及平方根、算术平方根的定义，即可判断． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3）无意义，故（3）错误； （4），故（4）错误； （5），故（5）错误； 综上所述，错误的共个． 5．利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 【详解】解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 6．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 7．正方形面积为13，其边长是x，以下说法正确的是（     ） A．x是有理数 B． C． D．在数轴上找不到表示实数x的点 【答案】C 【分析】先根据正方形面积公式求出边长，再结合无理数定义、无理数大小估算、实数与数轴的关系逐一判断选项即可. 【详解】解：由正方形面积公式可得，边长为正数， ∴ ， ∵ 是无理数， 因此选项A错误； ∵ ，，且， ∴ ， 因此选项B错误，选项C正确； ∵ 实数与数轴上的点一一对应，所有实数都能在数轴上找到对应点， 因此选项D错误. 8．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的性质可得，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：正方形的面积为5， , 由作图可知，在数轴上，表示的数为， 点E所表示的数为． 9．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 【答案】D 【分析】设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离，依次判断各个选项． 【详解】解：设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离， 最小距离：当水平距离时，m； 距离取值范围：， 两人之间的距离不可能为，A错误； 由两人之间的距离先变小后变大，到达终点线时，两人之间的距离仍为，则，两人之间的距离不可能为，B错误； 若出发时乙在前，初始乙领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再拉回到8m，意味着甲需要先追上乙、再反超乙8m，总相对位移16m，若甲匀速、乙匀速，甲速度恒定大于乙，全程持续拉大差距，横向距离会先减小再增大，因此甲可能匀速，C错误； 若出发时甲在前，初始甲领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再回到8m，需要乙先追上甲、再反超甲8m，乙全程匀速，若甲速度先慢后快：前期甲慢，乙快速拉近差距至相遇（，距离最小），后期甲加速，若甲加速后速度仍小于乙，乙会继续拉开差距至8m，满足距离先变小后变大、终点距离10m，这种运动情况成立．D正确． 10．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 二、填空题 11．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 12．若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可. 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， ， ． 13．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 14．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 15．某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 【答案】 【分析】初始所有扑克牌反面向上，每张牌被翻动的次数等于对应桌子编号的正因数个数，翻动奇数次后牌变为正面向上，而只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数，故只需计算到中完全平方数的个数即可． 【详解】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为（，为正整数）的桌子，当指令数字是的因数时，是的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号的扑克牌被翻动次数等于的正因数个数； 若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次， ∵对任意正整数，正因数总是成对出现（一个正整数能分解成两个正整数的乘积），且只有完全平方数的算术平方根是重复因数， ∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数． ∵在到中，完全平方数为，共个， ∴正面向上的张数是10． 三、计算题 16．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)求a、b、m的值； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：由（1）可知，且， ∴， ∴，， ∴. 17．如图，在长方形内两个正方形，的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式求出的长，进而求出的长，再根据长方形的周长公式求解即可； （2）求出长方形的面积，再减去两个正方形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴， ∴， ∴长方形的周长； （2）解：， ∴图形中阴影部分的面积为． 18．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，则小长方形中裁剪线的长度（图中的虚线）为 ； (2)如图2，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则所拼成的大正方形的边长为 ； (3)能否在图2中的大正方形内裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．若能，求裁得的长方形纸片的长和宽（精确到0.1）；若不能，请说明理由．（） 【答案】(1) (2)4 (3)解：不能裁出，理由如下： 设长方形长，宽()，由面积为12： ， 因此：长， 宽， 已知大正方形边长为，长方形长，超出大正方形边长，不能裁出． 【分析】（1）虚线是长2、宽1的长方形的对角线，利用勾股定理计算对角线长． （2）先算两个小正方形总面积，总面积等于大正方形面积，再开方求边长． （3）设长宽分别为、，根据面积列方程求出长宽，再和大正方形边长4比较，若长大于4则不能裁出． 【详解】（1）解：长方形长，宽，设虚线长为： ； （2）解：单个小正方形边长，单个面积： ， 两个总面积：， 设大正方形边长为，则，（边长取正）； （3）略 19．阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又，且， ． 又， ， ， ． 故． 又，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解：， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 20．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)；见解析 【分析】（1）根据正方形的面积求解它的边长即可； （2）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可； （3）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可. 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； （2）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示； （3）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $