14.2 三角形全等的判定（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定定理，从定理定义、标准书写格式到隐含条件挖掘、易错判定区分，构建完整学习支架。 资料通过分知识点讲解配“即学即练”，典例精析结合变式巩固，培养学生几何直观与推理意识，如尺规作图依据SSS体现数学眼光，规范证明书写强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

第14章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 课标要点 1.熟记 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 四种全等判定定理，分清每种判定的边角位置要求。 2.规范书写每种判定的数学证明格式，条件对应有序，结尾标注判定依据。 3.能结合图形找出公共边、对顶角等隐含条件，选用合适定理证明三角形全等。 4.区分 SSA、AAA 等错误判定方式，规避证明过程中对应、顺序类常见错误。 学习重难点 重点： 1.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 四条判定定理，明确各定理边角对应位置规则。 2.规范全等证明的数学书写格式，条件方程组与全等结论完整规范书写。 3.从几何图形中挖掘公共边、对顶角等隐藏等量条件，灵活选用判定定理。 难点： 1.区分 SAS 夹角与 SSA 对角，容易误用两边一对角去证明三角形全等。 2.辨别 ASA 夹边与 AAS 对边，做题混淆两种角型判定的边的位置关系。 3.证明时顶点字母不对应、条件书写顺序混乱，导致对应边角匹配出错。 知识点一 边边边（SSS）判定定理 1.定理定义 两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等，简记为边边边或SSS。 2.标准数学语言书写 在和中， 3.特点 仅依靠三边长度就能判定全等，无需寻找相等角，常用于带有公共边、线段等量代换的证明题。 即学即练 1．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 知识点二 边角边（SAS）判定定理 1.定理定义 两个三角形如果有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为边角边或SAS。 2.标准数学语言书写 在和中， 3.书写与使用要求 相等的角必须是两条已知边夹住的内角，两边及对角（SSA）不能判定全等。 易错提醒 混淆SAS中“夹角”与“对角”： 误用两边和其中一边的对角（SSA）判定全等，SSA无法固定三角形形状，不能作为判定定理。 即学即练 3．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，与全等吗？ 知识点三 角边角（ASA）判定定理 1.定理定义 两个三角形如果有两个角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为角边角或ASA。 2.标准数学语言书写 在和中， 3.书写与使用要求 条件按“角—夹边—角”顺序书写，相等线段必须是两组相等角中间的公共夹边。 即学即练 5．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点，都在线段上，，，．求证：． 知识点四 角角边（AAS）判定定理 1.定理定义 两个三角形如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为角角边或AAS。 2.标准数学语言书写 在和中， 3.补充说明 AAS可结合三角形内角和由ASA推导得出 知识点五 斜边、直角边（HL）判定定理 1.定理定义 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 2.标准数学语言书写 在Rt和中， 3.补充说明 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt” 即学即练 7．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 8．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 题型01 用SSS判定三角形全等 典｜例｜精｜析 【例1】如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【例2】和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【变式1-3】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)若，， 求的度数． 题型02 用SAS判定三角形全等 典｜例｜精｜析 【例3】如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【例4】如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，，加一个条件 ，并用证明． 【变式2-2】如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【变式2-3】如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 题型03 用ASA判定三角形全等 典｜例｜精｜析 【例5】如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【例6】如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】小明周末在小区玩耍时，准备利用所学数学知识测量对面楼的高．如图．小明在距离楼米的点处利用测角仪看点．此时的度数为，点到的距离为20米．之后小明向前走一定的距离到达点．并利用测角仪看点，此时的度数为，看点时的的度数为，并且．已知楼高20米，求楼的高． 题型04 用AAS判定三角形全等 典｜例｜精｜析 【例7】一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【例8】将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【变式4-2】如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 【变式4-3】如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 题型05 用HL判定三角形全等 典｜例｜精｜析 【例9】如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【例10】如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在与中，于点．若，求证：． 【变式5-2】如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【变式5-3】如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 题型06 添加条件使三角形全等 解题贴士 先观察题干已给出的边角等量，判断现有条件对应哪种判定定理，缺少哪一组等量。 根据 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 的规则，补充缺失的一组对应边或对应角，保证条件匹配。 多解类题目分情况讨论：分别思考补充边、补充角两种可能性，写出所有符合要求的条件。 若图形为直角三角形，可优先考虑补充直角边、斜边，使用 HL 完成全等证明。 典｜例｜精｜析 【例11】如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【例12】如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【变式6-3】如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 题型07 全等三角形的判定和性质综合 典｜例｜精｜析 【例13】如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【例14】如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【变式7-2】如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式7-3】如图，． (1)尺规作图：在延长线上截取，作交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明：． 证：∵， ∴______________（______________） ∵在中， 且 ∴（______________） 在与中 （______________） ∵ ∴． 基础通关 一、单选题 1．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 8．如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 9．如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 三、解答题 10．如图，，且，，求证：． 11．如图，在中，点在边上，，． (1)用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； (2)结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 12．如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 素养提升 1．如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 2．如图，已知在中，是的平分线，，垂足为，是的中点，求证：． 3．如图，有一个8×8的正方形网格，点A，B，C都在正方形网格的格点上，在给定的网格中按要求画图（仅用无刻度直尺作图）． (1)在图1中，连接请确定格点M，使得； (2)在图2中，连接，取的中点O，请确定格点N，使得． 4．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 迁移创新 1．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 2．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 3．在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． (1)如图1，若，直接写出点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； (3)在（2）的条件下，求证：点是的中点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第14章 全等三角形 14.2三角形全等的判定 课时目标 1.熟记SSS、SAS、ASA、AAS、L四种全等判定定理，分清每种判定的边角位置要 求。 课标要点 2规范书写每种判定的数学证明格式，条件对应有序，结尾标注判定依据。 3能结合图形找出公共边、对顶角等隐含条件，选用合适定理证明三角形全等。 4.区分SSA、AAA等错误判定方式，规避证明过程中对应、顺序类常见错误。 重点： 1.掌握SSS、SAS、ASA、AAS、L四条判定定理，明确各定理边角对应位置规则。 2规范全等证明的数学书写格式，条件方程组与全等结论完整规范书写。 3.从几何图形中挖掘公共边、对顶角等隐藏等量条件，灵活选用判定定理。 学习重难点 难点： 1.区分SAS夹角与SSA对角，容易误用两边一对角去证明三角形全等。 2.辨别ASA夹边与AAS对边，做题混淆两种角型判定的边的位置关系。 3证明时顶点字母不对应、条件书写顺序混乱，导致对应边角匹配出错。 清主线 课时内容导图 1/51 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判定内容：三条边分剂对应相等，两三角形全等 SSS(边边边) 使用场景：图形存在公共边、毁段等量代接题型 判定内容：两边及共央角对应相等 SAS(边角边) 关键要求：相等的角必须是两条己知边的夹角 判定内容：两个角及其夹边对应相等 三角形全等四大判定定理 ASA(角边角) 关健要求：相等线段位于两组相等角中间 判定内容：两个角及其中一个角的对边对应相等 AAS(角角边) 补充说明：可通过三角形内角和结合ASA推导得出 HL(斜边、直角边) 判定内容：斜边与一条直角边对应相等 【仅直角三角形】 书写要求：三角形前标注，仅限直角三角形使用 三角形全等 1.书写规范：边角一一对应，条件顺序将合判定名称迈辑 的判定 书写与判定禁忌 2.不可用作判定：SSA(两边一对角)、AAA(三对角相等) 3.证明格式：全等结论后括号标注SSS/SAS/ASAAAS 用SSS判定三角形全等 用SAS判定三角形全等 用ASA判定三角形全等 常见题型 用AAS判定三角形全等 用HL判定三角形全等 添加条件使三角形全等 全等三角形的判定和性质综合 理新知 教材全盘梳理 《◇知识点一黄 边边边(SSS)判定定理 1.定理定义 两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等，简记为边边边或 SSS。 2.标准数学语言书写 AB=DE 在△ABC和△DEF中 BC=EF,.△ABC≈△(SSS) AC=DF 3.特点 仅依靠三边长度就能判定全等，无需寻找相等角，常用于带有公共边、线段等量代换的证明题。 2/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《父即学即练 1.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A'OB'=∠AOB的依据是() 一B D 一B A.SSS B.SAS CAAS D.ASA 【答案】A 【详解】解：由作图方法可得OD=OC=OD'=OC',CD=C'D', :.△CD0≌△C'D'O(SsS), .∠DOC=∠D'O'C", 即∠A'O'B=∠AOB 2.如图，点A,E,F,D在同一直线上，AB=DC,BF=CE,AE=DF.求证：△ABF≌△DCE. E 0 B 【答案】 证明：AE=DF, ∴.AE+EF=DF+EF, .AF =DE. 在△ABF与△DCE中 AB=DC BF=CE AF=DE AABF≌aDCE(SSS) 【详解】略 3/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇知识点二 边角边(SAS)判定定理 1.定理定义 两个三角形如果有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为边 角边或SAS。 2.标准数学语言书写 AB-DE 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D,.∴.△ABC≈△(SAS) AC=DF 3.书写与使用要求 相等的角必须是两条已知边夹住的内角，两边及对角(SSA)不能判定全等。 易错提醒 混淆SAS中“夹角”与“对角”： 误用两边和其中一边的对角(SSA)判定全等，SSA无法固定三角形形状，不能作为判定定理。 。即学即练 3.下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是() B 54° 60° 66 66° 666° 60 54° 60A b 【答案】C 4/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题可得∠A=180°-∠C-∠B=180°-60°-54°=66° A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意： B选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意： C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“SAS”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意 4.如图，AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC,△ABC与△ADE全等吗？ 【答案】△ABC与△ADE全等 【详解】解：△ABC与△ADE全等， .∠BAE=∠DAC .∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC ∴.∠BAC=∠DAE .AB=AD,AC=AE ·.△ABC≌△ADE(SAS) ◇知识点三 角边角(ASA)判定定理 1.定理定义 两个三角形如果有两个角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为角边角或ASA。 2.标准数学语言书写 ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中， BC=EF,∴.△ABC=△(ASA) ∠C=∠F 3.书写与使用要求 条件按“角一夹边一角”顺序书写，相等线段必须是两组相等角中间的公共 夹边。 5/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《今即学即练 5.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三 角形.他的依据是() A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【答案】B 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据ASA即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等ASA. 6.如图，点E,C都在线段BF上，BE=CF,∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.求证：△ABC≌aDEF E 【答案】 证明：BE=CF, .BE+CE=CF+CE,BC=EF 在△ABC和△DEF中， [∠B=∠DEF BC=EF I∠ACB=∠F :△ABC≌aDEF(ASA 【详解】略 6/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇知识点四 角角边(AAS) 判定定理 1.定理定义 两个三角形如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为角角边 或AAS。 2.标准数学语言书写 ∠A=∠D 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E,∴.△ABC≈△(AAS) BC=EF 3.补充说明 AAS可结合三角形内角和由ASA推导得出 。知识点五 斜边、直角边(HL)判定定理 1.定理定义 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"L")。 2.标准数学语言书写 A 在Rt△ABC和Rt△DEF中， AC=DF ,.△ABC≈△(HL】 BC=EF 3.补充说明 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“t” 。。。。 《父即学即练 7.如图，己知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明△ACB≌△BDA,全等的依据是 (用字母表示) D B 【答案】HL 【详解】解：∠ACB=∠BDA=90°. 7/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ACB和△BDA为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AC=BD AB=BA' ÷△ACB≌△BDA(HL). 则全等的依据是HL, 8.如图，在△AEC和△DFB中，点A、B、C、D在一条直线上，已知EA⊥AC,FD⊥BD,AE=DF, 若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB,需添加什么条件？写出来并证明. E 【答案】解：条件是EC=FB,证明如下： EA⊥AC,FD⊥BD, ∴.∠EAC=∠FDB=90°， ∴△AEC和△DFB是直角三角形， 在Rt△AEC和Rt△DFB中， 「EC=FB AE=DF .∴RtAAEC≌RtADFB(HL) 【详解】略 通题型 解题能力构建 ◆题型01用SSS判定三角形全等 典1例1精析 【例1】如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明 CDI‖AB,证明过程中判定△CMN≌△EFG的依据是(） 8/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B N A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS 【答案】C 【详解】由尺规作图可知， EG=EF=CM=CN,且MN=GF. 在△EFG和△CMN中 EF =CM EG=CN GF=MN :.△CMN≌△EFG(SSS) .∠FEG=∠MCN, .CD‖AB 【例2】△ABD和△ACE都为等腰三角形，A为顶角的顶点，连接BC、DE,则BC=DE,且 ∠BAD=30°，求∠CAE的度数， D 【答案】∠CAE=30° 【详解】解：，△ABD和△ACE都为等腰三角形，A为顶角的顶点， ∴.AB=AD,AC=AE, 在△ABC和△ADE中， 「AB=AD .AC=AE BC=DE .△ABC≌aADE(SSS). ∴.∠BAC=∠DAE. 9/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE, ∠BAD=30° .∠CAE=30° 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过SSS全等实现角的全等转化，关键是证 △ABC≌△ADE,得到LCAE=∠BAD 变式巩1固 【变式1-1】如图是5×4的正方形网格，△ABC的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角 形，画与△ABC仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画()个. A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【详解】解：如图所示，△BCD△BCE,aBCF,△ABG,△ABH均与△ABC全等且仅有一条公共边， 故选：B H G 【变式I-2】如图，点C,D在线段BE上，且BD=EC,AB=FE,AC=FD.试说明：∠B=∠E. B D 【答案】解：，BD=EC, ∴.BD-CD=EC-CD, ..BC=ED .AB=FE,AC=FD, 10/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.AABC≌AFED(SSS), ∠B=∠E. 【详解】略 【变式1-3】如图，点A,B,C,D在同一条直线上，AB=CD,AM=BN,CM=DN. B (I)求证：△ACM≌aBDN: (2)若∠M=70°，∠D=32°，求∠A的度数. 【答案】(1) 解：AB=CD, ∴.AB+BC=CD+BC,即CA=DB, 在△ACM和△BDN中， CA=DB AM=BN CM=DN ∴.△ACM≌aBDN(SSS) (2)78° 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知△ACM≌aBDN, ∴.∠ACM=∠D=32° :∠A+∠M+∠ACM=180°，∠M=70°， ∴.∠A=180°-∠M-∠ACM=180°-70°-32°=78°. ◆题型02用SAS判定三角形全等 典1例1精1析 【例3】如图，AB⊥BD,AB∥DE,AB=ED,若以“SAS”为依据来判定△ABC≌△EDC，,还需添 加一个条件为 11/51 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BC=CD(答案不唯一) 【详解】解：当BC=CD时， AB⊥BD,AB∥DE, .DE⊥BD. .∠B=∠D=90°， .AB=ED,BC=CD :.△ABC≌△EDC(SAS), ∴.可添加BC=CD 【例4】如图，∠C=90°，BC=4,AC=5,射线AP⊥AC于A,点D和E分别在线段AC和射线AP上运动， 且DE=AB.当AE= 时，以点A,B,C为顶点的三角形与△ADE全等. P 【答案】4或5 【详解】解：，AP⊥AC, .∠ACB=∠EAD=90°， ,以点A,B,C为顶点的三角形与△ADE全等， 当AE=BC=4,AD=AC=5时，此时，点D与点C重合，△EAD2aBCA(SAS), 当AE=AC=5,AD=BC=4时，△EAD≌△BCA(SAS) 综上所述：AE=4或5时，以点A,B,C为顶点的三角形与△ADE全等. 变式巩1固 【变式2-1】如图，OA=OB,加一个条件，并用SAS证明△AOC≌aBOD 12/51 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】OC=OD(答案不唯一) 【详解】解：添加条件：OC=OD,理由如下， 在△AOC和△BOD中： OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD .△AOC≌ABOD(SAS) 【变式2-2】如图，在△ABC和△EDC中，AC=EC,BC=DC,∠ECB=∠ACD.请判断△ABC和 △EDC是否全等？为什么？ E 【答案】解：△ABC和△EDC全等，理由如下， :∠ECB=∠ACD」 ∴，∠ECB-∠ACE=∠ACD-∠ACE, ∴.∠ACB=∠ECD, 在△ABC和△EDC中， AC=EC ∠ACB=∠ECD BC=DC ·.△ABC≌△EDC(SAS). 【详解】略 【变式2-3】如图，某桥梁的钢架结构中，△ABC和△DEF的顶点B,C,E,F在同一直线上.己知 AB∥DE,且AB=DE,同时点C是BE的中点，点E是CF的中点.则判定△ABC≌aDEF的依据是 13/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【答案】A 【详解】解：AB∥DE, ∴.∠B=∠DEF, :点C是BE的中点，点E是CF的中点， .'BC=CE=EF, AB=DE, .△ABC≌aDEF(SAS) ◆题型03用ASA判定三角形全等 典1例1精析 【例5】如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C和点F处，甲看向地面上点B处的 视线与他自己身体的夹角为∠BAC,乙看向地面上点E处的视线与他自己身体的夹角为∠EDF,已知 AC⊥BE于点C,DF⊥BE于点F,图中所有的点都在同一平面内，当AC=DF,∠BAC=∠EDF时， 根据全等三角形的知识可得到BC=EF,这里直接判定△ABC和△DEF全等的依据是() B A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由AC⊥BE,DF⊥BE,可得∠ACB=∠DFE=90°， ,∠BAC=∠EDF,AC=DF, 且AC恰好是∠BAC和∠ACB的夹边，DF恰好是∠EDF和∠DFE的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的ASA(角边角)判定依据. 14/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例6】如图，AB=AC,CD‖AB,且∠ABE=∠CAD,延长BE交AD于点F. (I)求证：△ABE≌aCAD: (2)若点E是AC的中点，CD=3,△ABE的周长比△BCE的周长大2，求△ABC的周长 【答案】(1)证明：，CD∥AB, ∴.∠BAE=∠ACD 在△ABE和△CAD中， ∠BAE=∠ACD AB=AC ∠ABE=∠CAD △ABE≌aCAD(ASA): (2)16 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：，△ABE≌aCAD,且CD=3, .'AE=CD=3. ,点E是AC的中点， .'AE=CE=3,AC=AB=6. :△ABE的周长比aBCE的周长大2， (AB+AE+BE-(BC+BE+CE)=2. 即(6+3+BE)-(BC+BE+3)=2, 则6+3-BC-3=2, .BC=4, ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=6+6+4=16, 变式巩固 15/51 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-l】如图1，己知La、∠P和线段c,试作△ABC,使∠A=∠a,∠B=∠p,AB=c.我们用尺 规作图得到如图2所示的△ABC,又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是 得到判定三角形全等的方法是() 图1 图2 A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】C 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA. 【变式3-2】如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点 D,测得∠ABC=90°，CD=BC(B、C、D三点共线)，过点D作DE⊥BD,使得点A、C、E在同 一直线上，得到△ABC≌△EDC,测得DE的长就是A、B两点之间的距离，这里判定△ABC≌△EDC 的依据是() A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【答案】D 【详解】解：：DE⊥BD, .∠EDC=90°， ∴.∠ABC=∠EDC=90°， 由题可得BC=DC,∠ACB=∠ECD. ∴△ABC≌aEDC(ASA) 【变式33】小明周末在小区玩耍时，准备利用所学数学知识测量对面楼CD的高.如图.小明在距离AB 楼6米的点E处利用测角仪看点D.此时∠DEC的度数为a,点E到CD的距离为20米.之后小明向前走 一定的距离到达点F.并利用测角仪看点A,此时∠AFB的度数为B,看点D时的∠DFC的度数为45°， 16/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 并且a+B=90°.已知AB楼高20米，求楼CD的高. D B 【答案】13米 【详解】解：根据题意得，BE=6米，EC=20米，∠B=∠C=90°， ∴.∠A+∠AFB=90°， :a+B=90°，即∠AFB+∠DEC=90°， .∠A=∠DEC, :AB=20米，EC=20米， ∴.AB=CE .△ABF≌aECD(ASA), ..CD=BF, 设CD=BF=x, .∠DFC=45°. ∴.∠FDC=45°，则CF=CD=x, ∴.EF=20-x,BF=6+20-x=26-x, x=26-x, 解得x=13, ∴楼CD的高为13米。 ◆题型04用AAS判定三角形全等 典1例1精」析 【例7】一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间， 如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a=7Cm,则DE的长 为_cm 17/51 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B a E 【答案】49 【详解】解：由题意得，∠ACB=90°，AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°， ..a=7cm, .AD=4a=28cm,BE =3a=21cm .∠CAD+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE. AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°， :.△ACD2ACBE(AMS), .CE=AD=28cm,CD=BE=21cm, .DE=CD+CE =21+28=49cm 【例8】将△ABC平移得到△DEF,DE经过BC的中点G,已知AB=3,则DG= B D C 3 【答案】21.5 【详解】解：，△ABC平移得到△DEF, ∴AD∥BE,AB=DE=3 ∴.∠GBE=∠GCD,∠GEB=∠GDC :G是边BC的中点， ∴.BG=GC, 6 D 18/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I∠GBE=∠GCD ∠GEB=∠GDC, BG=CG .ABGE≌aCGD(AAS). DG-GE-1DE 2 :DG=3 : 变式巩固 【变式4-1】如图，∠A=∠B,∠I=∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O. B Q A 1入 D (1)若∠2=40°，求∠AEB的度数； (2)若∠EDC=∠C,求证：△AEC≌△BED 【答案】(1)40° (2)证明：：∠EDC=∠C, .'EC=ED, 由(1)可知：∠AEB=∠1， 又1=∠2， .∠2=∠AEB, ∴.∠2+∠AED=∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED, 在△AEC和△BED中， ∠A=∠B ∠AEC=∠BED EC=ED .△AEC≌aBED(AAS). 【分析】 【详解】(I)解：：∠A=∠B,∠BOE=∠AOD,点D在AC边上，AE和BD相交于点O, ∴.∠AEB=∠I, 19/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，∠1=∠2，∠2=40° ∴∠AEB=∠1=∠2=40°： (2)略 【变式4-2】如图，已知AB∥DE,点A、C、D在同一条直线上，∠BAE=∠BAD+∠B,且AE=BC. 求证：△ABC≌△DAE: E B 【答案】证明：，AB∥DE, ∴.∠D=∠CAB .∠BAE=∠BAD+∠EAD,∠BAE=∠BAD+∠B, ∴.∠EAD=∠B, 在△ABC和△DAE中， ∠D=∠CAB ∠EAD=∠B, AE=BC .△ABC≌aDAE(AAS) 【详解】证明：略： 【变式4-3】如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上方一点，且∠ADB=90°， CE⊥AD B (I)求证：△ACE≌△BAD (2)若BD=9,CE=20,求DE的长. 【答案】(1)证明：∠CAB=90°，∠ADB=90°，CE⊥AD, ∴.∠CAB=∠AEC=∠BDA=90°， ∴.∠ACE+∠CAE=90°，∠BAD+∠CAE=90°， 20/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACE=∠BAD, 在△ACE和△BAD中， ∠AEC=∠BDA=90° ∠ACE=∠BAD AB=AC AACESABAD(AAS): (2)11 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：△ACE≌ABAD .AE=BD=9.AD=CE=20 ∴.DE=AD-AE=20-9=11 ◆题型05用HL判定三角形全等 典1例1精1析 【例9】如图，在R1aABC和R1aEDF中，∠BAC=∠DEF=9O°，AE=CF,A、E、C、F四点共线， 若要用“HL”直接判定R1aABC≌RIAEDF,则可以添加的条件是： D E 【答案】BC=DF 【详解】解：，AE=CF, ∴AE+CE=CF+CE,即AC=EF, 又：∠BAC=∠DEF=90°， ∴若要用“HL”证明R1△ABC≌Rt△EDF还需要添加的条件为“一组斜边相等”，即BC=DF 【例10】如图，己知Rt△ABC≌Rt△DBE,其中∠C=∠DEB=90°，DE的延长线与AC相交于点F,连 接BF. 21/51 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A (I)求证：△BCF2aBEF: (2)若EF=1,DE=4,求AF的长. 【答案】(1)证明：∠DEB=90°， .∠BEF=90° Rt△ABC≌Rt△DBE, ∴.BC=BE, 在Rt△BCF和RtABEF中， BE=BE BC=BE' :.RtABCFS≌RtABEF(HL)； (2)3 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：Rt△ABC≌Rt△DBE, :DE=AC, DE=4, .AC=4, :RtABCF≌RtABEF, ..CF=EF, EF=1, ∴.CF=1, .AF=AC-CF=4-1=3」 变式巩固 【变式5-l】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E,AB=BC,BE=CD.若CD∥AE,求证： AE=BD 22/51 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B 【答案】证明：：AE⊥BD, ∴.∠AEB=90° CD∥AE, ∴∠AEB=∠BDC=90°， 在Rt△ABE和RtABCD中， AB=BC BE=CD' .Rt△ABE≌Rt△BCD(HL): ∴，AE=BD 【详解】略 【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=3,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AD 上移动，P№=AB,则当AP=时，才能使△ABC和△AP№全等. D B 【答案】3或6 【详解】解：，AC⊥AD .∠PA0=90°， .△APO是直角三角形， .PO=AB .①当AP=BC=3时，则Rt△ABC≌Rt△OPA(HL),符合题意： ②当AP=AC=6时，则Rt△ABC≌Rt△POA(HL),符合题意： 23/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，当AP=3或AP=6时，才能使△ABC和△APO全等. 【变式5-3】如图，CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D,且BC=CD, D C (I)求证：△ABC≌aADC: (②)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积. 【答案】(I)证明：：CB⊥AB,CD⊥AD, .∠B=∠D=90°， :在Rt△ABC和Rt△ADC中， AC=AC BC=DC' :.Rt△ABC≌Rt△ADC(HL). (2)12 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：：Rt△ABC≌Rt△ADC(HL). .BC=DC=3. ,∠B=90°， ÷84=24B-BC=×4x3=6, 1 1 2 SRLAADC SRIAABC =6, .S四边形ABCD=SABC+S,ADC=6+6=12 24/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型06添加条件使三角形全等 解题贴士 先观察题干已给出的边角等量，判断现有条件对应哪种判定定理，缺少哪一组等量。 根据SSS/SAS/ASA/AAS/L的规则，补充缺失的一组对应边或对应角，保证条件匹配。 多解类题目分情况讨论：分别思考补充边、补充角两种可能性，写出所有符合要求的条件。 若图形为直角三角形，可优先考虑补充直角边、斜边，使用L完成全等证明。 典例1精1析 【例11】如图所示，已知∠I=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是() B A.BD=CD B.∠B=∠C C.AB=AC D.AD平分∠BAC 【答案】C 【详解】解：A、添加BD=CD可利用SAS定理判定△ABD≌aACD,故此选项不合题意： B、添加∠B=∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意； C、添加AB=AC不能判定△ABD≌△ACD,故此选项符合题意： D、添加AD平分∠BAC,则∠BAD=∠CAD 可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意， 【例12】如图，已知AD平分∠BAC,连接BD、CD,若要判定△ABD≌△ACD,则需要添加的条件是： (只写一个) 【答案】∠ADB=∠ADC(或AB=AC或∠B=∠C,答案不唯一) 【详解】解：AD是∠BAC的角平分线， .∠BAD=∠CAD, 25/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又AD=AD, ∴.当添加∠ADB=∠ADC或AB=AC或∠B=∠C时，△ABD≌aACD,分别属于ASA、SAS、AAS的判定 条件，答案不唯一，选择一种即可. 变式巩固 【变式6-1】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，要使△ABC≌△DCB,下面是四个同学补充的 条件，其中错误的是() A.AB=CD B.AC=BD C.∠ABC=∠DCB D.∠ABD=∠ACD 【答案】D 【详解】解：已知∠A=∠D=90°，BC=CB, 对于A,若AB=CD 在Rt△ABC和RtADCB中， BC=CB AB=DC' :Rt△ABC2Rt△DCB(HL),条件正确，故本选项不符合题意： 对于B,若AC=BD, 在Rt△ABC和RtADCB中， BC=CB AC=DB' :.Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),条件正确，故本选项不符合题意； 对于C,若∠ABC=∠DCB. 在△ABC和△DCB中， ∠A=∠D ∠ABC=∠DCB BC=CB ∴△ABC2△DCB(AAS),条件正确，故本选项不符合题意； 对于D,设AC与BD交于点O, 26/51 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C.:∠A=∠D=90°∠AOB=∠DOC “.∠ABD=∠ACD,此结论由已知条件即可推出，无法判定△ABC≌△DCB,条件错误，故本选项符合 题意 【变式6-2】如图，∠ABC=∠DCB,要得到△ABC≌△DCB,添加的一个条件可以是 (填一个 即可)· 【答案】∠A=∠D(答案不唯一) 【详解】解：：∠ABC=∠DCB和BC=CB ∴.当添加∠A=∠D时，可用AAS来判定△ABC≌△DCB 【变式6-3】如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=CE,AC=DF,如果要使△ABC≌aDEF, 需要添加的一个条件是 D 【答案】AB=DE(答案不唯一) 【详解】解：，BF=CE, ·BF+CF=CE+CF,即BC=EF, .AC=DF, 若添加AB=DE, .△ABC≌△DEF(SSS): 若添加∠ACB=∠DFE, △ABC≌aDEF(SAS): 若添加DF∥AC,则∠ACB=∠DFE, 27/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC≌aDEF(SAS) 。题型07全等三角形的判定和性质综合 典1例1精」析 【例13】如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD和CE交于O,AO的延长 线交BC于F,则图中全等的直角三角形有() A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 【答案】B 【详解】解：BD⊥AC,CE⊥AB, ∠ADB=∠AEC=90°， AC=AB, ∴∠ACB=∠ABC, ①在△AEC和△ADB中 [∠CAE=∠BAD ·{∠AEC=∠ADB=90 AC=AB ∴.△AEC≌△ADB(AAS) .CE=BD,AE=AD,∠ACE=∠ABD AB=AC ∴.∠CBE=∠BCD. ②在△BCE和ACBD中 I∠CBE=∠BCD ∠CEB=∠BDC=90° BC=BC :.△BCE≌aCBD(AAS) .BE =CD, 28/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③在RtAAOD和Rt△AOE中 「AO=AO AD=AE :.Rt△AOD≌Rt△AOE(HL) .OD=OE,∠DAO=∠EAO ④在△COD和△BOE中 ∠COD=∠BOE ∠CDO=∠BEO=90° OD=OE ∴.ACOD≌△BOE(AAS) ⑤在△CAF和△BAF中 AC=AB :∠CAF=∠BAF AF=AF ∴.△CAF≌△BAF(AAS) .∠CFA=∠BFA=90°， ⑥在Rt△COF和Rt△BOF中 「CO=BO OF=OF ∴.RtACOF≌RtABOF(HL)） ∴.共有6对全等的直角三角形. 【例14】如图，AB=AD,BC=DC,点E在AC上.求证： (I)AC平分∠BAD, (2 BE=DE. 【答案】(I)证明：在△ABC与△ADC中， 29/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD AC=AC BC=DC .△ABC≌aADC(SSS). :∠BAC=∠DAC, 即AC平分∠BAD (2)证明：由(1)得∠BAE=∠DAE, 在△BAE与△DAE中， BA=DA ∠BAE=∠DAE AE=AE .△BAE≌aDAE(SAS). .BE=DE 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 变式巩固 【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC 上，且∠EAF=)BAD.当BC-5”DC=8”CF=2时，CE的周长等于 B C 【答案】17 【详解】解：在DF上取点G,使DG=BE, 30/51 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D· ∠ABE+∠ABC=180°∠ABC+∠ADC=180° .∠D=∠ABE, 在△ADG与△ABE中， (AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DG .△ABE≌aADG(SAS), ∴.AG=AE,∠EAB=∠DAG, ∴∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, :∠EAF=I∠BAD. 2 :∠EAF=)∠EAG. 2 .∠FAE=∠GAF, 在△AFG与△AFE中， AG=AE ∠FAG=∠EAF」 AF=AF :.△AFG≌aAFE(SAS). .'.EF=FG .EF+BE=FG+DG=CD+CF ∴.aCEF的周长等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF, BC=5,DC=8,CF=2, ∴.aCEF的周长等于8+2+5+2=17. 【变式7-2】如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O,OB=AC=7,点F在射线BC上，且CF=AO, 动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点从点A出发，沿射 线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运动，设运动时间为秒， 31/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当△AOP与△FCO全等时，t的值为() A.4 7-6 77 77 B C.4或6 D.4或2 【答案】D 【详解】解：①当点F在BC延长线上时：设t秒时，P、分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ, D CF=AO∠AOP=∠EOD=180°-∠DCE=∠FCQ :当△AOP≌△FC2时，OP=C2, .OB=AC=7, ..OP=1,CO=AC-A0=7-3t ∴.t=7-31 架阳1一子 ②当点F在BC之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ, D儿 A2.:CF=A0∠A0P=∠EOD=180°-∠DCE=∠FC2 .当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ, .OB=AC=7. ..OP=1.CO=A0-AC=31-7. ∴.t=3t-7 7 解得(=2： 32/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 综上，1=4或1= 2 故选：D 【变式7-3】如图，∠B=∠ACD. D (I)尺规作图：在BC延长线上截取CE=AB,作LCEF=∠ACD交CD延长线于点F;(不写作法，保留作图 痕迹) (2)证明：BE=AB+EF」 证：：∠B=∠ACD,LCEF=∠ACD ∴ ( ,在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180° 且∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° .∠A=∠DCE( 在△ABC与ACEF中 「∠A=∠FCE AB=CE ∠B=∠CEF ∴.△ABC≌aCEF(ASA) :BC=EF ∵CE=AB ∴.BE=CE+BC=AB+EF, 【答案】(1)见详解 (2)∠B=∠CEF(等量代换)：等式的性质：全等三角形的对应边相等 【分析】 【详解】(1)根据题意可得，在BC延长线上截取CE=AB,作∠CEF=∠ACD交CD延长线于点F 33/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：BE=AB+EF 证：，∠B=∠ACD,LCEF=∠ACD ∴.∠B=∠CEF(等量代换) :在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180° 且∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° :.∠A=∠DCE(等式的性质) 在△ABC与△CEF中 「∠A=∠FCE AB=CE ∠B=∠CEF ∴.△ABC≌ACEF(ASA) “.BC=EF(全等三角形的对应边相等) .CE=AB .'BE=CE+BC=AB+EF 刷好题 课时巩固精炼 c基础通关 一、单选题 1.用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判 定的方法是() A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 【答案】A 【详解】解：如图，用直尺和圆规画∠AOB'=∠AOB的作图如下， 由作图过程可知，OD=OC=OD'=OC,CD=C'D',据此利用SSS可证明△CDO≌aC"D'O'. D/B A 2.如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，己知∠ACB=∠E,BC=CE,添加以下条件 后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是() 34/51 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.AB=CD B.AB∥DE C.AC=DE D.∠B=∠DCE 【答案】A 【详解】解：A、∠ACB和∠E的对边分别是AB和CD,符合SSA,不能判定△ABC≌△DCE,故A符合题 意： B、由AB∥DE推出∠A=∠CDE,而∠ACB=∠E,BC=CE,由AAS判定△ABC≌aDCE,故B不符合题 意： C、AC=DE,而∠ACB=∠E,BC=CE,由SAS判定△ABC≌△DCE,故C不符合题意； D、∠B=∠DCE,而LACB=∠E,BC=CE,由ASA判定△ABC≌aDCE,故D不符合题意. 3.如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条AD,BC的中点连在一起，量得A,B 之间的距离为5cm,AD=BC=16cm,则内槽宽(CD的长度)为() D A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm 【答案】D 【详解】解：连接AB,CD, 6 :AD,BC的中点连在一起， ..OC=OB.OA=OD 35/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠COD=∠AOB, .aOCD≌aOAB(SAS), 即CD=AB 故CD=AB=5cm」 4.如图，点D为△ABC内一点，点P为△ABC外一点，连接CD,BD,BP,DP,且BC=BP,CD平 分∠ACB,∠DBP=∠DBC,∠ACB=62°，则∠P的度数为() A.20° B.28° C.31° D.36 【答案】C 【详解】解：CD平分∠ACB,∠ACB=62°， ÷∠BCD=∠ACB=3I, 2 在△BCD和△BPD中， BC=BP ∠DBC=∠DBP BD=BD .:ABCD≌ABPD(SAS), .∠P=∠BCD=3I°」 5.如图，∠MON=110°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若 分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C,连接OC,则∠AOC的大小是 () M B A.50° B.55° C.60° D.65° 【答案】B 36/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接AB,AC,BC, B N 由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB 0C=0C, ·.△OAC≌aOBC(SSS), &∠40C=2B0C=240B=55 6.如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠I+∠2+∠3=() 2 3 A.105° B.135 C.120° D.115 【答案】B 【详解】解：如图， B 3 E D :AC=DE,BC=AD,∠ACB=∠ADE=90°. .△ABC≌aEAD(S,A,S). ∠I=∠DAE, .∠1+∠3=∠DAE+∠3=90° 由图可知，∠2=45° .∠1+∠2+∠3=90°+45°=135° 37/51 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 7.如图，在Rt△ABC和RtAECD中，∠ACB=∠EDC=90°，BC=CD,若要用“HL”直接判定 Rt△ABC≌Rt△ECD,则需要添加的条件是 【答案】 AB=EC 【详解】∠ACB=∠EDC=90° 在RtAABC和RIAECD中， AB=EC BC=CD ∴.RtAABCS≌RIAECD(HL) 故需添加条件AB=EC 8.如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(0,4)，点C的坐标为（一1,0）， 则点B的坐标为 【答案】(3-) 【详解】解：由题意得，A0=4,0C=1 过点B作BI⊥x轴于点I,则∠CB=∠COA=90°， 由题意得，CA=CB,∠ACB=90° 38/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠1=∠3=90°-∠2 .△ACO≌aCBI(AAS) .BI=C0=1,CI=A0=4 ∴.0I=C1-C0=3 B(3,-1). 9.如图，已知在4×6的方格中，点A、B、C、D、E均在格点上，那么∠CDE-∠BAC= 度 E B C 【答案】90 【详解】解：取格点F,连接CF,DF, ,CF=BC=2,DF=AC=4,∠DFC=∠ACB=90°. ·.aCDF≌aBAC(SAS), ∴.∠CDF=∠BAC, .∠CDE-∠BAC=∠CDE-∠CDF=∠EDF=90° 三、解答题 I0.如图，AB∥DE,且AF=CD,∠B=∠E,求证：BC=EF. 【答案】证明：：AB∥DE, 39/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠D, .AF =CD. ·AF-CF=CD-CF,即AC=DF. 又，∠B=∠E, :.△ABC≌△DEF(AAS) ..BC=EF 【详解】略 11.如图，在△ABC中，点E在边BC上，AB∥DE,AB=DE. E C (I)用尺规完成基本作图：在射线EC上作线段EF,使得EF=BC,连接DF: (2)结合(1)所作的图形，求证AC∥DF.请完成下面的证明： 证明：AB∥DE, .∠B=∠DEF(①) 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠B=∠DEF ② ,∴.△ABC≌△DEF(SAS) .∠ACB= ③ .AC∥DF D 【答案】(1) B (②)两直线平行，同位角相等：BC=EF；∠DFE 【分析】 40/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 I2.如图，在等腰△ABC中，BA=BC,点F在AB边上，延长CF交AD于点E,BD=BE, ∠ABC=∠DBE (I)求证：AD=CE: (2)若∠ABC=30°，∠AFC=45°，求∠EAB的度数. 【答案】(I)证明：：∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE, 即∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， BA=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE ∴.△ABD≌aCBE(SAS), .AD=CE: (2)15 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：，∠ABC=30°，∠AFC=45°， .∠BCF=45°-30°=15°， :△ABD≌aCBE, ∠EAB=∠BCF=15. 【©素养提升 1.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,E为CD的中点，过点E作EF⊥AB,垂足为F,EF=4,AB=3, 则梯形ABCD的面积为 41/51 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F B 【答案】 12 【详解】解：延长AE交BC的延长线于点G,连接BE, D --.G ,AD‖BC, .ADII BG. .∠D=∠DCG ,E为CD的中点， .DE=CE, 在△ADE和△GCE中， [∠D=∠DCG DE=CE ∠AED=∠GEC .△ADE≌△GCE(ASA. .S.ADE=S.GCE:AE=GE, ·.S梯形BCD=S网边形BCE+S。ADE=S网边形ABCE+S,GCE=SABG, AE=GE, BE是△ABG的中线， .S。BG=2SABE, EF⊥AB,EF=4,AB=3, Ss号4BF=x3x4=6, 2 ∴.S梯形ACD=2×6=12 42/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，己知在△ABC中，AD是∠A的平分线，CD⊥AD,垂足为D,G是BC的中点，求证： ∠B=∠DGC Q 【答案】证明：如图，延长CD交AB于点E,连接EG、BD, 是 的平分线， E .D G C.:AD ∠A CD⊥AD ∴.∠CAD=∠EAD,∠ADC=∠ADE=90°， 又AD=AD, .AADC≌△ADE(ASA), ∴CD=DE, :G是BC的中点， ÷5.a=2.as, 11 :SDsG=7SsCD=2X2】 S.BCE=4 .S.DEG=S.D8G :△DEG和△DBG是同底三角形， ∴.△DEG和△DBG在底边DG上的高相等，即点E、B到DG的距离相等， ∴.BE∥DG, .∠ABC=∠DGC. 43/51 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】略 3.如图，有一个8×8的正方形网格，点A,B,C都在正方形网格的格点上，在给定的网格中按要求画图 (仅用无刻度直尺作图)· 图1 图2 (I)在图1中，连接AC请确定格点M,使得BM∥AC： (②)在图2中，连接AB,取AB的中点O,请确定格点N,使得ON⊥AB 【答案】(1)如图(1)所示： M 图(1) (2)如图(2)所示： 图(2) 【分析】 【详解】(1)解：连接AC,看AC走向，从点A到点C是向右平移3格，向下平移1格， 从点B出发，向右平移3格，向下平移1格，确定点M位置， 连接BM,此时BM∥AC: 44/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 如图所示：以AB为对角线找出长方形ADBE, 则DB=AE,BD∥AE, ∴.∠BDO=∠AEO 又：∠DOB=∠EOA, :.ADOB≌AEOA(AAS), ∴.OB=OA, 即点O为AB中点， 点A向左数2格为点F,点O向下数2格为点H,点H向右数3格为点N, 如图所示，AF=OH,FO=HN,∠AFO=∠OHN=90°， ∴△AFO2aOHN(SAS), ∴.∠HON=∠FAO. ∠F0A+∠FAO=90°， ∴.∠FOA+∠HON=90°， .∠AON=90°. 此时ON⊥AB 4.如图，点F,G分别在△ADE的AD,DE边上，C,B依次为GF延长线上两点，AB=AD, ∠BAF=∠CAE,∠B=∠D (I)求证：BC=DE: (2)若∠B=35°，∠AFB=78°，求∠DGB的度数，并直接写出当LCAB=_时，DE AC 45/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)证明：：∠BAF=∠CAE, ∴.∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC. .∠BAC=∠FAE AB=AD,∠B=∠D, AABC≌△ADE(ASA) BC=DE」 (2)67°：32 【分析】 【详解】(1)证明：略 (2)解：∠B=35, ∴.∠D=∠B=35° ∠GFD=∠AFB=78°， .∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67°， .DE AC. ∴.∠ACG=∠DGB=67° ∴.∠CAB=∠ACG-∠B=67°-35°=32°（三角形外角性质）. 迁移创新 1.如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架AD⊥BC,垂足为点O,DE=DF, AD平分∠EDF,这样设计能够保证两翼宽度一致（即OB=OC),从而平稳飞行. B D 图① 图② (1)请说明这样设计的理由： (2)要给骨架贴上布面，连接BD、CD,若风筝主骨架AD的长为40cm,BC=50cm,则需要的布料面积 46/51 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (即四边形ABDC的面积)是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：，AD平分∠EDF, .∠EDA=∠FDA, 在△ADE和△ADF中， 「DE=DF ∠EDA=∠FDA, DA=DA .△ADE≌aADF(SAS), .∠EAD=∠FAD :AD⊥BC,垂足为点O, ∴.∠AOB=∠AOC=90°， 在△ABO和△ACO中， ∠BAO=∠CAO A0=40 ∠AOB=∠AOC .△ABO≌△ACO(ASA, ∴.OB=OC: (2)1000cm2 【分析】 【详解】(1)略： (2)解：根据题意，连接BD,CD D 图② AD⊥BC, 47/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sc-号Bc01,Sam号Bc-0D, 1 ':S四边形ABDC=SABC+S,BCD ÷a-号c-0A+号ac-0D-号acoA+0)-号Bc-AD-x0x0=1o0lamr). 2.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°. 图1 图2 ()如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由. (②)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由， 【答案】(I)BD=CE,理由如下： :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， .AB=AC,AD=AE, .AB-AD=AC-AE, .'.BD=CE: (②)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于FG, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ,AB=AC,AD=AE,LBAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE .△ABD≌aACE(SAS). ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, ,∠AFB=∠GFC, 48/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD, ∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 3.在平面直角坐标系中，B、C在坐标轴上，其中B(b,O)、C(O,C),△ABC满足CA=CB, ∠ACB=90°，∠ABC=∠CAB=45°，其中点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，AB交y轴负半 轴于点D. A B B D 图1 图2 ()如图1，若Vc-1+(b-2}=0,直接写出点B的坐标为 一，点C的坐标为 (2)如图2，AE⊥AB交x轴负半轴于点E,连接CE,CF⊥CE,CE交AB于点F.求证：CE=CF； (3)在(2)的条件下，求证：点D是AF的中点. 【答案】(1)(2,0)，(0,1) (2)证明：AE⊥AB, .∠EAB=90°， .∠EAC=90°-∠CAB=90°-45°=45°」 .∠EAC=∠ABC=45°，即∠EAC=∠FBC, :CE⊥CF, ∴.∠ECF=∠ACB=90°， ∴.∠ECA=90°-∠ACF=∠FCB」 在△ECA和△FCB中， ∠ECA=∠FCB CA=CB ∠EAC=∠FBC 49/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ECA≌aFCB(ASA). :.CE=CF: (3)证明：如图3，过点F作FN⊥CD于点N,过点A作AM⊥CD于点M, D 图3 ,∠ECF=∠EOC=∠CNF=90° ∴.∠ECO+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°， .∠ECO=∠CFN, 在△EOC和CNF中， ∠EOC=∠CNF ∠ECO=∠CFN. CE=CF .△EOC≌aCNF(AAS). ∴.OC=FN, 同理可证△BOC≌△CMA, ..OC=AM, .FN=AM, 在△FND和△AMD中， ∠FDN=∠ADM ∠FND=∠AMD=90° FN=AM .aFND≌aAMD(AAS). ∴.DF=AD, 即点D是AF的中点， 【分析】 【详解】(1)解：：vc-1≥0(b-2}≥0，c-1+(b-2)}=0, 50/51 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .c-1=0,b-2=0. 解得：c=1,b=2, B(2,0),C(0,1); (2)略 (3)略 51/51