第14.2课《三角形全等的判定》讲义 2026—2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，从全等三角形定义的六个条件出发，逐步研究较少条件的判定方法，形成SAS、ASA、AAS、SSS及直角三角形HL判定，结合尺规作图，构建“条件—判定—全等—性质”的完整推理链，通过课前诊断衔接旧知，分课时逐步深化。 该资料以推理能力和几何直观为核心，通过操作猜想、规范证明（如SAS中夹角识别）及尺规作图（如作角等于已知角依据SSS）落实探究过程。课中教师可依托证明模型分步教学，课后学生通过易错辨析、检测和小结巩固，提升逻辑推理与应用意识。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十四章 14.2 三角形全等的判定 第14.2课《三角形全等的判定》讲义 2026—2027学年｜人教版数学八年级上册（2025秋版）｜新授课讲义｜建议课时：6课时 内容定位　本节从全等三角形定义所包含的六个相等条件出发，研究用较少条件判定两个三角形全等的方法，形成“边角边、角边角、角角边、边边边”和直角三角形的“斜边、直角边”。教材还安排了与判定原理相联系的尺规作图。学习重点不是背诵字母，而是辨认条件的位置关系、建立对应顺序，并按“条件—判定—全等—性质”完成推理。 一、学习目标与素养指向 1. 能说明一个或两个边、角条件通常不能保证三角形全等，并能辨析“两边及夹角”与“两边及其中一边的对角”。 1. 能在具体图形中选择SAS、ASA、AAS、SSS或HL判定两个三角形全等，规范写出对应关系和判定依据。 1. 能运用全等三角形证明线段相等或角相等，形成“已知—依据—结论”的证明链。 1. 能按教材步骤完成作一个角等于已知角、已知三边作三角形等基本尺规作图，并说明作图依据。 素养指向　推理能力、几何直观、空间观念、应用意识。通过操作猜想、重合说明和规范证明，经历从条件研究到基本事实、再到性质应用的完整过程。 二、课时安排与学习成果 课时 核心任务 学习成果 第1课时 从一个、两个条件的反例进入SAS。 能识别夹角并用SAS完成基础证明。 第2课时 研究ASA并由内角和得到AAS。 能区分夹边与一组等角的对边。 第3课时 研究SSS、三角形稳定性和已知三边作三角形。 能用SSS证明并说明三边作图条件。 第4课时 作一个角等于已知角；按SAS、ASA条件作三角形。 能写出作法并说明全等依据。 第5课时 研究直角三角形的HL判定。 能先确认直角三角形，再对应斜边和直角边。 第6课时 综合选择判定方法，证明线段或角相等。 能完成四步证明链并进行对应关系检查。 三、课前衔接与诊断 1. 若△ABC≌△DEF，写出三组相等的对应边和三组相等的对应角。 1. 三角形的内角和是多少？若两个三角形有两个角分别相等，它们的第三个角有什么关系？ 1. 两直线平行的判定中，你会使用哪一种角的相等关系？ 1. 直角三角形中，直角所对的边叫什么？组成直角的两条边叫什么？ 诊断答案　1. 按A↔D、B↔E、C↔F列出。2. 180°，第三个角也相等。3. 同位角相等或内错角相等。4. 斜边，直角边。 四、从六个条件到较少条件 研究起点　若两个三角形三条边分别相等、三个角分别相等，依据全等三角形的定义能够判定它们全等。问题是：是否需要六个条件？可以按照条件由少到多研究。 1. 只有一边或一角分别相等，不能确定三角形的形状和大小。 1. 只有两边、一边一角或两角分别相等，仍可能画出不全等的三角形，因此不能作为一般判定方法。 1. 研究三个条件时，要按“几条边、几个角”分类，还要关注相等边与相等角在三角形中的位置关系。 1. 观察、画图和测量用于发现规律；一般结论需要依据重合、基本事实或推理论证。 五种可用判定条件的对应位置（示意图不作为测量依据） 不能保证全等的两类典型条件　两边和其中一边的对角分别相等，两个三角形不一定全等；三个角分别相等，也只能确定形状，不能确定大小。不要把它们写成全等判定。 五、边角边（SAS） 基本事实　两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 SAS证明中“两边及其夹角”的位置关系（示意图不作为测量依据） 项目 规范理解 夹角 两条已知相等边的公共端点处的角。例如已知AB、AC分别对应相等时，夹角是∠A。 常见隐含条件 公共边等于自身；角平分线得到两角相等；对顶角相等；中点得到两段相等。每条都要写清依据。 结论用途 判定全等后，再用全等三角形的性质得到目标线段相等或目标角相等。 六、角边角（ASA）与角角边（AAS） 基本事实　两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 判定方法　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 1. ASA中的已知边位于两个已知角之间，是它们的夹边。写对应关系时先对应两个角的顶点，再对应夹边。 1. AAS可由ASA得到：两个角分别相等，由三角形内角和可知第三个角也相等，原来给出的边便成为另两角的夹边，于是可用ASA判定全等。 1. 使用AAS时要明确给定边是哪一组等角的对边，避免把两个三角形的边角对应顺序写错。 条件结构 识别关键词 核验方式 ASA 两个角＋这两个角的夹边 边的两个端点正好是两个已知角的顶点。 AAS 两个角＋其中一组等角的对边 先由角顶点建立对应，再检查给定边的对角。 七、边边边（SSS）与三角形的稳定性 基本事实　三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 三边条件确定三角形并可用于证明（示意图不作为测量依据） 1. 三边分别相等时，三个顶点的位置随之确定，两个三角形能够完全重合。 1. 三根木条钉成三角形木架后，形状、大小不随意改变，这说明三角形具有稳定性；生活中的支架常利用这一性质。 1. 已知三条线段作三角形时，三条线段必须满足任意两条线段的和大于第三条线段，否则两弧不能形成符合条件的交点。 八、尺规作图：把判定条件转化为确定图形 作图任务 基本步骤与原理 作一个角等于已知角 以已知角顶点为圆心作弧，得到一个小三角形的三条边；在新射线上复制这三条边，所得三角形与原小三角形由SSS全等，因此对应角相等。 已知三边作三角形 先作一边，再分别以两端点为圆心、另两边为半径作弧，交点确定第三个顶点；作图依据是SSS。 已知两边及夹角作三角形 先作给定角，再在两条边上分别截取给定长度，连接两个端点；作图依据是SAS。 已知两角及夹边作三角形 先作给定线段，再在线段两端分别作给定角，两条射线的交点为第三个顶点；作图依据是ASA。 作平行线 先作截线，再在另一点处作与已知同位角（或内错角）相等的角，依据平行线的判定得到所作直线与已知直线平行。 ★规范　尺规作图中的“直尺”指没有刻度的直尺；作图步骤要保留圆弧和交点，并在作法后说明依据。 九、直角三角形的斜边、直角边（HL） 判定方法　斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 HL中的斜边与直角边必须分别对应（示意图不作为测量依据） 1. 第一步先说明两个三角形都是直角三角形，不能只看图形像直角。 1. 第二步找斜边：斜边是直角所对的边；再找一组分别相等的直角边。 1. HL只适用于两个直角三角形。一般三角形有两边分别相等，不能直接判定全等。 1. 若已知两直角边分别相等，也可用SAS，因为两直角的大小相等且是两直角边的夹角。 十、证明模型：由已知到目标结论 步骤 要做什么 自检问题 1. 找三角形 观察待证线段或角分别位于哪两个三角形中。 目标量能否成为对应边或对应角？ 2. 找条件 从已知、图形基本关系中收集边相等、角相等。 每个条件是否有明确依据？ 3. 选判定 按条件结构选择SAS、ASA、AAS、SSS或HL。 夹角、夹边、斜边的位置是否正确？ 4. 写全等式 按对应顶点顺序写出两个三角形全等。 三组条件与全等式是否同序？ 5. 用性质 由对应边相等或对应角相等得到结论。 目标量确实是对应量吗？ 十一、重点、高频考点与易错辨析 ★重点　五种判定方法的条件结构及对应位置；由全等推出线段相等或角相等。 ★高频　含公共边、角平分线、中点、对顶角、垂直等条件的全等证明。设问常为“求证某两线段或两角相等”。 ★规范　证明中必须写出相等条件、全等式和判定依据；结论使用全等三角形的性质。 ★应用　不能直接测量的距离可转化为一个全等三角形中的对应边，再测量可到达位置上的线段。 错误1：两边及一角分别相等就用SAS　只有当这个角是两条已知边的夹角时才符合SAS；若是其中一边的对角，不能据此判定。 错误2：三个角分别相等就判定全等　三个角只能确定形状，不能确定大小，可得到大小不同的同形三角形。 错误3：见到直角就用HL　HL还必须同时具备斜边分别相等和一直角边分别相等，并且两个三角形都要说明为直角三角形。 错误4：先写全等，再补条件　应先依据已知列出足够条件，再按对应顺序写全等式，避免循环论证。 十二、经典例题 经典例题｜SAS证明角相等 题目　如图，AC＝AD，AB平分∠CAD。求证：∠C＝∠D。 例题图：AC＝AD，AB为公共边并平分∠CAD（示意图不作为测量依据） 思路分析　目标角分别在△ABC和△ABD中。AC＝AD为一组边，AB为公共边，角平分线给出∠CAB＝∠DAB，正好是两边的夹角。 规范解答　∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB。在△ABC和△ABD中，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD（SAS）。∴∠C＝∠D（全等三角形的对应角相等）。 结果检验　三组条件在全等式中依次对应；∠C与∠D是对应角。 经典例题｜HL证明线段相等 题目　已知AC⊥BC，DF⊥EF，AB＝DE，AC＝DF。求证：BC＝EF。 例题图：斜边AB＝DE，直角边AC＝DF（示意图不作为测量依据） 思路分析　△ABC与△DEF都是直角三角形；AB、DE分别为斜边，AC、DF分别为直角边，符合HL。 规范解答　∵AC⊥BC，DF⊥EF，∴∠C＝∠F＝90°。在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。∴BC＝EF（全等三角形的对应边相等）。 结果检验　全等式的对应为A↔D、B↔E、C↔F，目标边BC与EF对应。 十三、变式训练 变式1　在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D。若要用SAS判定全等，还需补充哪一组边相等？ 参考解答　应补充AC＝DF，使∠A、∠D成为两组已知相等边的夹角。 变式2　两个三角形有两角分别相等。若再有一组对应边相等，是否一定全等？ 参考解答　一定。若该边是两角的夹边，用ASA；若该边是一组等角的对边，用AAS。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 填空：两边和它们的______分别相等的两个三角形全等。 1. 判断：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定全等。 1. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，BC＝EF，可用______判定两三角形全等。 1. 已知△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，应使用哪一种判定方法？ 1. 已知三条线段长分别为2 cm、3 cm、6 cm，能否按这三边作出三角形？ 检测答案　1. 夹角。2. 错。3. HL。4. ASA。5. 不能，因为2＋3＜6。 本课小结 一般三角形的判定：SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形还可使用HL。 条件辨析：SAS关注夹角，ASA关注夹边，AAS关注一组等角的对边，HL关注斜边和一直角边。 不能保证全等：两边和其中一边的对角分别相等；三个角分别相等。 证明主线：找三角形→找条件→选判定→写全等式→用对应边或对应角相等。 尺规作图把相等条件落实为确定图形，作图结论可用相应的全等判定说明。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $