5.1.1 任意角（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦任意角概念，涵盖正角、负角、零角的定义，终边相同的角的集合表示，以及象限角与轴线角的判定。通过圆周运动实例导入，衔接初中0°~360°角的知识，以“角的范围扩大”“方向明确”为支架，引导学生从旧知过渡到任意角的学习。 其亮点在于以互动探究（如齿轮旋转方向问题）和直观图示（终边相同角的图像）为核心，结合数学眼光观察现实情境（如体操动作角度），用数学思维推理终边相同角的规律，通过“学海拾贝”结构化小结整合知识。分层次训练（牛刀小试、举一反三）帮助学生巩固，教师可借助此资料提升教学效率，培养学生的抽象能力与几何直观。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第五章 三角函数 5.1.1 任意角 5.1任意角和弧度制 学 习 目 标 1 2 3 理解任意角的定义，区分初中锐角、钝角、平角、周角与高中任意角的区别，掌握正角、负角、零角的概念及判定规则。 掌握象限角、轴线角的定义，能够准确判断任意角所属的象限，识别轴线角的特征。 理解终边相同的角的本质，熟练掌握终边相同角的集合表示方法，并能运用其进行简单的角度计算与化简。 动点绕圆周运动 知识讲解 互动探究 新课引入 圆周运动是一种常见的周期性变化现象. 如图,⊙O 上的点 P以 A 为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点 P 的位置变化呢? 我们知道,角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形,在 图中,射线的端点是圆心 0,它从起始位置 OA 按逆时针方向旋转到 终止位置 OP,形成一个角,射线 OA,OP 分别是角 的始边和终边. 始边 终边 当角 α 确定时,终边 OP 的位置就确定了.这时,射线 OP 与⊙O 的交点 P 也就确定了.由此想到,可以借助角 α 的大小变化刻画点 P 的位置变化. 3 目标一：任意角的概念 角的范围需扩大 知识讲解 互动探究 新课引入 现实生活中随处可见超出 0°~360°范围的角.例如,体操中有"前空翻转体 540 度“”后空翻转体 720 度“这样的动作名称,已经超出0°~360°范围的角。 由初中知识可知,射线 OA 绕端点 O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置,在这个过程中可以得到 0°~360°范围内的角.如果继续旋转,那么所得到的角就超出这个范围了.所以,为了借助角的大小变化刻画圆周运动,需要先扩大角的范围. 5 角度的方向需明确 知识讲解 互动探究 新课引入 这里不仅有超出0°~360°范围的角,而且旋转的方向也不相同;又如,下图是两个齿轮旋转的示意图,被动轮随着主动轮的旋转而旋转,而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向. 问题:如图,若主动轮旋转两周,你能准确描述出被动轮旋转的现象吗? 通过观察,可知:主动轮和被动轮的旋转方向是相反的,但题中未给明主动轮旋转方向,故同样不能判断被动主动轮轮旋转方向,无法准确描述被动轮旋转现象. 6 正角、负角与零角 知识讲解 互动探究 新课引入 我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角,这样,零角的始边与终边重合.如果 α 是零角,那么 α = 0°. 7 正角、负角与零角 知识讲解 互动探究 新课引入 图(1)中的角是一个正角,它等于750°; 图(2)中,正角 α=210°,负角 β=-150°, γ=-660°. 正常情况下,如果以零时为起始位置,那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角. 8 任意角 知识讲解 互动探究 新课引入 这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 相等角 设角 α 由射线 OA 绕端点 0 旋转而成,角 β 由射线 O’A’绕端 点0′旋转而成,如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 α=β. 两角 加法 设 α, β 是任意两个角.我们规定,把角 α 的终边旋转角 β , 这时终边所对应的角是 α + β . 注意:如果角a与角B的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称a=B; 用图像表示角时,箭头的方向体现角的正负,因此箭头不能少. 9 任意角 知识讲解 互动探究 新课引入 任意角相反角 类似于实数 a 的相反数是 -,我们引入任意角 的相反角的概念. 如图,我们把射线 OA 绕端点 0 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角 的相反角记为 - . 10 任意角 知识讲解 互动探究 新课引入 角的减法 于是,像实数减法的"减去一个数等于加上这个数的相反数"一样,我们有 α - β = a + ( − β). 这样,角的减法可以转化为角的加法. 如图,类比实数的加减运算,说说将的终边再次逆时针旋转𝛃后该如何表示? 思考 把角 α 的终边旋转角 β, 这时终边所对应的角是 α + β ; 若将α的终边顺时针旋转β后又该如何表示? 顺时针旋转的角阝为负角,这时终边所对应的角是α-|β|; 11 目标二：终边相同的角 概念的形成 知识讲解 互动探究 新课引入 结合上述发现,完成下列填空: -390°=-30°+(-360°); 330°=-30°+(360°) 分别将30°、-390°及330°的角,画在坐标系中,结合图象说说，你有什么发现? 思考 由图可知,角的终边OB除了可以表示-30°的 角之外,还可以表示-390°,330°等角; 即:30°、-390°及330°是终边相同的角. 13 终边相同角 知识讲解 互动探究 新课引入 思考 结合上述例题,你发现了终边相同的角的变化规律吗? 规律:由图可知,与-30°终边相同的这些角都可以表示成-30°角与k个周角的和,其中k∈Z; -390°=-30°-360° (k=-1); 330°=30°+ 360° (k=1). 总结 一般地,所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合:S={ β | β = α + k·360°, k∈Z} 即:任一与α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意 (1)α是任意角; (2)集合中a与k·360°间用“+”连接; 如:k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角. 14 终边相同角 写出与=-910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°<β< 360°的元素B写出来. 典例分析 牛刀小试 解:与=-910°终边相同的角的集合为{𝛃|𝛃=-910°+k·360°, k∈Z}, -720°<β<360°,即-720°<-910°+k·360°<360°, k∈Z, ∴k可取1,2,3; 当k=1时,𝛃=-910°+360°=-550°; 当k=2时,𝛃=-910°+2×360°=-190°; 当k=3时,𝛃=-910°+3×360°=170°. 先写成含k的通式，再对k一一进行讨论。 目标三：象限角与轴线角 象限角与轴线角 知识讲解 互动探究 新课引入 我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 例如,图中的30°角、-120°角分别是第一象限角和第三象限角. 思考:若角的终边在坐标轴上,那么角还是象限角吗? 若角的终边在坐标轴(x/y)上,那么这个角不属于任何一个象限,我们把这样的叫轴线角,如右图的角y. 17 象限角与轴线 角 已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合; 请作出下列各角,并判断它们分别是第几象限角. ① 65°; ② 155°; ③ -135°; ④ 288°. 典例分析 牛刀小试 解:如图所示,作出各角的终边;由图可知: 注意:作图时,可根据角的正负判断角的旋转方向。 象限角与轴线 角 下列说法中正确说法的序号为 . ① 锐角都是第一象限角; ② 第一象限角一定不是负角; ③ 小于180°的角是钝角、直角或锐角; ④ 始边和终边重合的角是零角. 典例分析 牛刀小试 注意:负角中的“负”表示的是角的方向,而不是角的大小,因此不能 单纯的认为-360°的角小于180°的角. 1.象限角只能反映角的终边所在象限,不能反映角的大小; 2.负角中的“负”表示的是角的方向,而不是角的大小; 因此不能片面的用象限、正负判断角的大小, 象限角与轴线 知识讲解 互动探究 新课引入 象限角 象限角 α 的集合表示 第一象限角 {} 第二象限角 { } 第三象限角 { } 第四象限角 { } 角 终边的位置 象限角 的集合表示 在 x 轴的非负半轴上 在 x 轴的非正半轴上 在 y 轴的非负半轴上 在 y 轴的非正半轴上 在 x 轴上 在 y 轴上 在坐标轴上 20 象限角与轴线 角 写出终边在 y 轴上的角的集合. 典例分析 牛刀小试 解析： 在 范围内，终边在 轴上的角有两个，即 、 角（如图）. 因此，所有与 角终边相同的角构成集合 而所有与 角终边相同的角构成集合 S = S₁ U S₂ = {β|β = 90° + 2k · 180°, k ∈ Z} U {β|β = 90° + 180° + 2k · 180°, k ∈ Z} = {β|β = 90° + 2k · 180°, k ∈ Z} U {β|β = 90° + (2k + 1)180°, k ∈ Z} = {β|β = 90° + n · 180°, n ∈ Z}. 半角象限 若是第二象限角,请确定的终边所在的位置. 典例分析 牛刀小试 解:因为a是第二象限角,所以, ; 所以, ; k = 2n (n∈Z)时, , ; k=2n+1(n∈Z)时, , ; 所以的终边位于第一或者第三象限. 口诀：一二的一半在一三 三四的一半在二四 三分角象限 若a是第二象限角,请确定的终边所在的位置. 典例分析 牛刀小试 解：运用图示法判断象限； 从 x 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成 3 部分， 并且依次标上①②③④，则标②的就是 所在的 区域.（注：原角 是第几象限，就找对应标号） 也可以把𝛂角用象限角表示，求其三分角表达式，对k按：3的整倍，3的整倍余1，余2讨论。 目标四：针对训练 举一反三 1. 把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是() A.120° B.-120° C.240° D.-240° 解析:按顺时针方向旋转形成的角是负角,排除A,C;又由题意知旋转的角度 是240°,排除B.故选D. 2.某次数学考试从上午8时30分开始,考了2小时,从考试开始到考试结束分 针转过了() A.360° B.720° C.-360° D.-720° 解析:∵分针转一圈(即1小时)是−360°,∴从考试开始到考试结束分针转过 了-720°.故选D. 举一反三 3.已知角a=1345°,则角的终边在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：1345°=360°×3+265°, 故∝ 与265°的角终边相同,其中265°在第三象 限,故角的终边在第三象限.故选C. 4.与–457°角终边相同的角的集合是() A.{α] α=k·360°+457°, k ∈Z} B.{a| a=k·360°+97°,k∈Z} C.{a| a=k·360°+263°, k ∈ Z} D.{a| a=k·360°−263°, k ∈ Z} 解析: 263°=-457°+360°×2,所以263°角与–457°角的终边相同,所以与 —457°角终边相同的角可写作a=k·360°+263°,k∈Z.故选 C. 举一反三 5.(多选)下列各角中,与63°终边相同的有() A. 423° B. 1143° C. -117° D. -297° 解析: 423°=63°+360°,即63°与423°终边相同,A 正确; 1143°=63°+3×360°,即63°与1143°终边相同,B 正确; -117° = 63°-180°,即63°与−117°终边不相同,C错误; -297° = 63°-360°,即63°与−297°终边相同,D 正确. 故选 ABD. 目标五：小结 学海拾贝 一、 角的概念推广 任意角：不再局限于 ，角可以任意大，也可以为负 正角：按逆时针方向旋转形成的角，负角：按顺时针方向旋转形成的角。 零角：射线没有任何旋转。 . 终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成一个集合： （注： 表示整数，相差 的整数倍） 学海拾贝 二、 象限角及坐标轴上的角（核心记忆点） 根据角的终边所在位置，可以归纳为以下集合表示（k∈Z）： 终边位置 集合表示 x 轴非负半轴 x 轴非正半轴 y 轴非负半轴 y 轴非正半轴 x 轴（整条轴） (每 重复一次) y 轴（整条轴） 坐标轴（x轴或y轴） (每 重复一次) 学海拾贝 三、 解题的“图示法”（“等分象限”技巧） 当题目要求确定 所在的象限时（例如 在哪），可以使用图示法： 1. 等分：将每个象限从 轴正半轴开始，逆时针等分成 个部分（如果是 ，则每个象限分成 3 份，共 12 个区域）。 2. 标号：逆时针依次循环标上 （即象限的编号）。 3. 找号：若原角 是第几象限角，就在图上找到标有该数字的区域，对应的区域即为 所在的位置。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $