5.1.1　任意角新授课 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件围绕“任意角”展开，涵盖正角、负角、零角的概念，象限角及终边相同的角的集合表示，通过跳水运动员转体问题情境导入，衔接初中静态角定义，逐步扩展到动态角概念，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过典型例题（如终边相同角的集合求解）和跟踪训练发展数学思维，结合通性通法总结帮助学生用数学语言表达规律。学生能提升抽象与直观想象能力，教师可依托系统内容高效教学。

5.1.1　任意角 新课程标准解读 核心素养 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，了解象 限角的概念 数学抽象 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的 角所组成的集合 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩.跳水 （Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以 特定动作入水的运动. 目录 数学·必修第一册 【问题】　如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动 员转过的角度是多少？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　任意角的概念 1. 角的概念 角可以看成 绕着它的 旋转所成的图形. 一条射线　 端点　 目录 数学·必修第一册 2. 角的表示 如图，（1）始边：射线的 位置 OA ； （2）终边：射线的 位置 OB ； （3）顶点：射线的端点 O ； （4）记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠ AOB ”. 起始　 终止　 目录 数学·必修第一册 3. 角的分类 目录 数学·必修第一册 【想一想】 1. 始边与终边重合的角一定是零角吗？ 提示：不一定.只有始边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才 是零角. 2. 正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据组成角的射线是否旋转及旋转方向. 目录 数学·必修第一册 知识点二　角的加、减法 设α，β是任意两个角： （1）角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角 是 .α＋β角的始边为α的始边，终边为β的终边； （2）相反角：把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两 个角叫做互为 ，角α的相反角记为 ⁠； （3）角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反 数”一样，我们有α－β＝α＋（－β）.这样，角的减法可以 转化为角的加法. α＋β　 相反角　 －α　 目录 数学·必修第一册 知识点三　象限角与终边相同的角 1. 象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的 始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 ⁠在第几象 限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ⁠ ，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 2. 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 一个集合 S ＝ ，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α与 的和. 原点　 x 　 终边　 象限角　 坐标轴 上　 {β｜β＝α＋ k ·360°， k ∈Z}　 整数个周角　 目录 数学·必修第一册 提醒　对集合 S ＝{β｜β＝α＋ k ·360°， k ∈Z}的理解：①角α 为任意角，“ k ∈Z”不能省略；② k ·360°与α中间要用“＋”连 接， k ·360°－α可理解成 k ·360°＋（－α）；③相等的角的终 边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数 个，它们相差360°的整数倍. 目录 数学·必修第一册 1. 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为（　　） A. 120° B. －120° C. －60° D. 60° 解析： 　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即 为－ ×360°＝－120°. 目录 数学·必修第一册 2. 下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是（　　） 解析： 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°，k∈Z，当k = -1时，37° - 180° = -143°，所以，-143°角的终边与37°角的终边在同一直线上.故答案为：D. A. -37° B. 143° C. 379° D. -143° 目录 数学·必修第一册 3. 角α＝－60°＋ k ·180°（ k ∈Z）的终边落在（　　） A. 第四象限 B. 第一、二象限 C. 第一象限 D. 第二、四象限 解析： 　令 k ＝0，则α＝－60°，角α的终边在第四象限；再令 k ＝1，则α＝－60°＋180°＝120°，角α的终边在第二象限， 故选D. 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 任意角的概念 【例1】　（多选）下列说法正确的是（　　） A. 锐角都是第一象限角 B. 第一象限角一定不是负角 C. 小于180°的角是钝角、直角或锐角 D. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 目录 数学·必修第一册 解析： 　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是 第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所 以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或 锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90° 角，所以不一定是钝角，所以D正确. 目录 数学·必修第一册 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概 念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论 正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要 举一个反例即可. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转120°到达 OB 位置，由 OB 位置顺时 针旋转270°到达 OC 位置，则∠ AOC ＝（　　） A. 150° B. －150° C. 390° D. －390° 解析： 　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以∠ AOC ＝ 120°＋（－270°）＝－150°，故选B. 目录 数学·必修第一册 2. 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（　　） A. 60°，720° B. －60°，－720° C. －30°，－360° D. －60°，720° 解析： 　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都 是负的，而 ×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针 和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 目录 数学·必修第一册 题型二 终边相同的角 【例2】　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列 条件的角： （1）最小的正角； （1）最小的正角为315°. 解：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°， 即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋ k ·360°， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册 （2）最大的负角； 解：最大的负角为－45°. （3）－360°～720°范围内的角. 解： －360°～720°范围内的角分别是－45°，315°， 675°. 目录 数学·必修第一册 通性通法 终边相同的角的表示 （1）终边相同的角都可以表示成α＋ k ·360°（ k ∈Z）的形式； （2）终边相同的角相差360°的整数倍； （3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 若角2α与240°角的终边相同，则α＝（　　） A. 120°＋ k ·360°， k ∈Z B. 120°＋ k ·180°， k ∈Z C. 240°＋ k ·360°， k ∈Z D. 240°＋ k ·180°， k ∈Z 解析： 　角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋ k ·360°， k ∈Z，则α＝120°＋ k ·180°， k ∈Z. 目录 数学·必修第一册 2. 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内 与75°角终边相同的角. 解：与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β｜β＝ k ·360°＋ 75°， k ∈Z}. 当360°≤β≤1 080°，即360°≤ k ·360°＋75°≤1 080°时， 解得 ≤ k ≤2 .又 k ∈Z，所以 k ＝1或 k ＝2. 当 k ＝1时，β＝435°；当 k ＝2时，β＝795°. 终上所述，在360°～1 080°范围内且与75°角终边相同的角为 435°角和795°角. 目录 数学·必修第一册 题型三 象限角 【例3】　（1）（多选）在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 解析： 第二象限角α需满足 k ·360°＋90°＜α＜ k ·360° ＋180°， k ∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限 角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C. 目录 数学·必修第一册 （2）已知α是第二象限角，则角 所在的象限为（　　） A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限 C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限 目录 数学·必修第一册 解析： ∵α是第二象限角，∴ k ·360°＋90°＜α＜ k ·360°＋ 180°（ k ∈Z）.∴ ·360°＋45°＜ ＜ ·360°＋90°（ k ∈Z）.当 k 为偶数时，令 k ＝2 n （ n ∈Z），得 n ·360°＋45°＜ ＜ n ·360°＋90°，这表明 是第一象限角；当 k 为奇数时，令 k ＝2 n ＋1（ n ∈Z），得 n ·360°＋225°＜ ＜ n ·360°＋ 270°，这表明 是第三象限角.∴ 为第一或第三象限角. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 （变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置. 解：∵α是第二象限角， ∴ k ·360°＋90°＜α＜ k ·360°＋180°（ k ∈Z）. ∴ k ·720°＋180°＜2α＜ k ·720°＋360°（ k ∈Z）. ∴角2α的终边在第三或第四象限或在 y 轴的非正半轴上. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 给定一个角，判断它是第几象限角的思路 判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋ k ·360°（其中 k ∈Z，β在0°～360°范围内）的形式，观察角β的终边所在的 象限即可. 2. n α或 所在象限的判断方法 （1）用不等式表示出角 n α或 的范围； （2）用旋转的观点确定角 n α或 所在象限. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1.  角的终边所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： ，则与终边相同，故角的终边所在的象限是第三象限.故答案为：C. 目录 数学·必修第一册 2. 已知750°＜α＜800°，那么 是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析： 　因为750°＜α＜800°，所以375°＜ ＜400°，所以 角 终边位于第一象限，故选A. 目录 数学·必修第一册 题型四 区域（间）角及终边在已知直线上的角的表示 【例4】　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值 范围. 目录 数学·必修第一册 解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α｜α＝ 30°＋ k ·180°， k ∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在 直线上的角的集合为 S2＝{α｜α＝105°＋ k ·180°， k ∈Z}，因此， 终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α｜30°＋ k ·180°≤α ＜105°＋ k ·180°， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 求解终边在某条直（射）线上的角的集合的思路 （1）若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β｜β＝ k ·180°＋α， k ∈Z}； （2）若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β｜β＝ k ·360°＋α， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册 2. 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～ 360°范围内的角α和β，写出最简区间{ x ｜α＜ x ＜β}，其中β －α＜360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即 得区域角集合. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 已知，如图所示. （1）分别写出终边落在 OA ， OB 位置上的角的集合； 解： 终边落在 OA 位置上的角的集合为 {α｜α＝210°＋ k ·360°， k ∈Z}，终边落在 OB 位置上的角的集合为{α｜α＝300°＋ k ·360°， k ∈Z}. （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. 解： 终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是{α｜210°＋ k ·360°≤α≤300°＋ k ·360°， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册 1. 把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是 （　　） A. 120° B. －120° C. 240° D. －240° 解析： 　一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角 是－240°，故选D. 目录 数学·必修第一册 2. －495°角的终边与下列哪个角的终边相同（　　） A. 135° B. 45° C. 225° D. －225° 解析： 因为－495°＝－2×360°＋225°，所以与－495°角 终边相同的是225°角.故选C. 目录 数学·必修第一册 3. 已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线 OA 与 y 轴正半 轴的夹角为30°，则α＝（　　） A. －480° B. －240° C. 150° D. 480° 解析： 　由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为 480°，∴α＝480°. 目录 数学·必修第一册 4. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们 分别是第几象限角： （1）－150°；（2）650°. 解：（1）因为－150°＝－360°＋210°， 所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角. （2）因为650°＝360°＋290°， 所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290° 角，它是第四象限角. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若α是第四象限角，则180°－α是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析： 　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故 180°－α是第三象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 已知集合 A ＝{α｜α＝ k ·90°－36°， k ∈Z}， B ＝{β｜－ 180°＜β＜180°}，则 A ∩ B ＝（　　） A. {－36°，54°} B. {－126°，144°} C. {－126°，－36°，54°，144°} D. {－126°，54°} 解析：C　在集合 A 中，令 k 取不同的整数，即取 k ＝－1，得α＝ －126°；取 k ＝0，得α＝－36°；取 k ＝1，得α＝54°；取 k ＝ 2，得α＝144°.所以 A ∩ B ＝{－126°，－36°，54°， 144°}，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. （2025秋·宝山区校级期末）下列说法正确的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大，例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角，故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 目录 数学·必修第一册 对于D，若是第二象限角，则有，，则，， 当为奇数时，为第三象限角， 当为偶数时，为第一象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 故选：D. 目录 数学·必修第一册 4. （多选）角α＝45°＋ k ·180°（ k ∈Z）的终边落在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　当 k ＝2 m ＋1（ m ∈Z）时，α＝2 m ·180°＋225°＝ m ·360°＋225°（ m ∈Z），故α为第三象限角；当 k ＝2 m （ m ∈Z）时，α＝ m ·360°＋45°（ m ∈Z），故α为第一象限角.故 α的终边落在第一或第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 终边在 x 轴上的角的集合可表示为 ⁠ ⁠. 解析：由题意，若α的终边在 x 轴上，则α＝ m ·360°， m ∈Z或α ＝180°＋ m ·360°， m ∈Z，即α＝ k ·180°， k ∈Z，故终边在 x 轴上的角的集合可表示成{α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}. {α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. (2026春·乐平市校级期中) 与45°角终边相同的角的集合是（　　） 解析：与45°角终边相同的角的集合是. 故选: A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.  B.  C.  D.  目录 数学·必修第一册 7. 已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相 同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝ ，β ＝ ⁠. 解析：∵角α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜ α－β＜90°.由题意可知，α＋β＝－280°＋ k1·360°， k1∈Z，∴α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋ k2·360°， k2∈Z，∴α－β＝－50°②.由①②得，α＝15°，β＝65°. 15°　 65°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 若α为△ ABC 的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α ＝ ⁠. 解析：∵4α＝120°＋ k ·360°， k ∈Z，∴α＝30°＋ k ·90°， k ∈Z，又∵0°＜α＜180°，∴当 k ＝1时，α＝120°；当 k ＝0 时，α＝30°. 120°或30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $