第5章 5.1.2 弧度制（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦弧度制，涵盖概念、角度弧度转化、弧度表示角及扇形公式。通过类比长度质量单位制导入，衔接初中角度制，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，用表格对比公式培养数学语言，扇形最值问题发展数学思维。帮助学生建立数与形的联系，教师可借助分层练习提升教学效率。

5.1.2 弧度制 第五章　§5.1　任意角和弧度制 <<< 1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.(重点) 2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.(难点) 学习目标 度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 导 语 一、弧度制的概念 二、角度制与弧度制的相互转化 课时对点练 三、利用弧度表示角 随堂演练 内容索引 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 弧度制的概念 一 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的. 在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 问题1 提示　因为l1=所以=n·.故. 射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧PP1的长为l， 由l=可知，弧长l与半径r的比值为=n·.若在射线OA上 问题2 任取一点Q(不同于点O)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1，则弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 1.弧度制 我们规定：长度等于 长的 所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 2.弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么. 3.一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . 半径 圆弧 正数 负数 0 知识梳理 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 注 意 点 <<< 9 　下列命题中，假命题是 A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 例 1 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题. 解析 √ 10 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 反 思 感 悟 11 下列各命题中，真命题是 A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 解析 跟踪训练1 √ 12 二 角度制与弧度制的相互转化 提示　因为半径为r的圆的周长为l=2πr，故圆周角的弧度数α=2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系. 根据公式|α|=你能得出圆周角的弧度数吗？ 问题3 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad 2π rad=_____ 180°= rad π rad=_____ 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30°=57°18' 度数×=弧度数 弧度数×=度数 2π 360° π 180° 知识梳理 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° ____ 90° 120° 135° 150° _____ 270° 360° 弧度 0 ___ ___ ___ ____ ____ π ___ 60° 180° 2π (1)弧度单位rad可以省略. (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 注 意 点 <<< 17 　把下列角度化成弧度，弧度化成角度： (1)37°30'； 例 2 37°30'=37.5°=°=. 解 (2)-216°； -216°=-216×=-. 解 18 (3)2； 2=2×°=°. 解 (4)-. -=-°=-396°. 解 19 角度与弧度换算技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键， 由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×°=度数. 反 思 感 悟 20 将下列角度与弧度进行互化： (1； 跟踪训练2 °=15 330°. 解 (2)-； -=-°=-105°. 解 21 (3)10°； 10°=10×. 解 (4)-855°. -855°=-855×=-. 解 22 利用弧度表示角 三 　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 例 3 -1 125°=-1 125×=-=-8π+ 其中<2π，所以角是第四象限角， 所以-1 125°角是第四象限角. 解 24 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用. 反 思 感 悟 25 (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为 A. B. C. D. 150°=150×故与150°角终边相同的角的集合为. 解析 跟踪训练3 √ 26 (2)终边落在图中阴影部分(包含边界)的角的集合为(用弧 度制表示)　　　　　　　　　　　　　　　　　. 结合图象，设终边落在阴影部分(包含边界)的角是α，满足条件的角的集合是 . 解 　 27 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 四 提示　角度制下，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式为l=面积公式为S=.n°= rad，弧度制下，扇形的弧长公式为l=αR，面积公式为S=αR2. 角度制中，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长和面积公式是什么？n°换算成弧度是多少弧度？记相应的弧度数为α，你能写出弧度制下扇形的弧长和面积公式吗？ 问题4 扇形的弧长与面积公式(R是扇形所在圆的半径，n°为扇形的圆心角的度数，α表示扇形的圆心角的弧度数) 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l= (0<α<2π) S=_____=_____(0<α<2π) αR2 αR lR 知识梳理 30 　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 例 4 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 整理得R2-5R+4=0，解得R=1或R=4. 当R=1时，l=8，此时，θ=8>2π，舍去. 当R=4时，l=2，此时，θ=. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 解 31 已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 延伸探究 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l+2r=4， 所以l=4-2r 所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1， 所以当r=1时，S最大，且Smax=1， 此时，θ==2. 故当r=1，θ=2时，扇形的面积最大，最大值为1. 解 32 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S=lR=αR2，弧长公式：l=αR(其 中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 反 思 感 悟 33 已知某扇形的半径r=2 cm，周长C=cm. (1)求该扇形的面积； 设扇形的弧长为l，因为r=2 cm，由题意，扇形的周长C=2r+l=2×2+l= 4+ 所以l=所以扇形的面积为lr=×2= (cm2). 解 跟踪训练4 34 (2)求在区间(0，3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角. 由(1)可知，圆心角α= 故与α终边相同的角的集合为S= S中符合0<β<3π的元素β有+0×2π=+1×2π= 故在区间(0，3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角为. 解 35 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)角度制与弧度制的相互转化. (3)特殊角的度数与弧度数的对应关系. (4)弧度制下的扇形的弧长与面积公式. 2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区：弧度与角度混用. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 √ 1 2 3 4 对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 解析 1 2 3 4 2.时针经过一小时，转过了 A. rad B.- rad C. rad D.- rad √ 时针经过一小时，转过了-30°， -30°=- rad. 解析 1 2 3 4 3.下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2kπ+k∈Z) B.k·360°-k∈Z) C.k·360°-210°(k∈Z) D.kπ+k∈Z) √ 与角-的终边相同的角的表达式为2kπ-k∈Z)或k·360°-210°(k∈Z). 解析 1 2 3 4 4.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为　　，若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为　　.  根据弧度制的定义，可知该扇形圆心角α的弧度数为2，由扇形的面积公式得S=·α·r2=×2×12=1. 解析 2 1 课时对点练 六 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A C C ABC 　-570° 题号 9 11 12 13 15 答案 2 C B 9 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为α=1 200°=1 200×=3×2π+所以角α与的终边相同， 又<π，所以角α是第二象限角. 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+k∈Z， 所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 当k=-2时，2×(-2)π+=-； 当k=-1时，2×(-1)π+=- 故在区间[-4π，0]上，与角α终边相同的角是--. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为AB=2，由于△ABC为正三角形， 所以以A为圆心的扇形的弧长是×2= 所以莱洛三角形的周长为3×=2π. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为AB=2，由于△ABC为正三角形， 所以以A为圆心的扇形的面积是×2= 又△ABC的面积是×22= 所以莱洛三角形的面积为3个扇形的面积减去2个正三角形的面积， 即×3-2=2π-2. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设内圆弧半径为r， 则AB=CD=OA=OD=r， 所以=rα=2rα， 所以rα+2rα+2r=2l， 则r= 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD =×2rα×2r-×rα×r=αr2 = 当且仅当9α=即α=时，S扇环取得最大值. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)连接OE交BC于F， 则由垂径定理得OE⊥BC， ∠BOE=∠BOC=1， 由(1)知，r= 所以OF=cos 1， 所以EF=OE-OF=2r-cos 1 =1-cos 1). 16 基础巩固 1.下列说法中，错误的是 A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 √ 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若α=-3 rad，则它是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为-π<-3<-所以-3 rad是第三象限角. 解析 3.用弧度制表示与-330°角终边相同的角的集合为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为-330°=-330×=- -+2π= 所以与-330°角终边相同的角为 α=+2kπ，k∈Z. 解析 4.已知圆心角为36°的扇形的弧长为则该扇形的面积为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为36°=所以该扇形的半径为r==4， 因此该扇形的面积为S=×4=. 解析 5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界). 解析 √ 6.下列各角中，终边相同的角是 A.和240° B.-和314° C.- D.3和3° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A选项，240°=不符合题意； 对于B选项，-=-36°，314°-(-36°)=350°，不符合题意； 对于C选项=4π，符合题意； 对于D选项，3≈3×57.3°=171.9°，不符合题意. 解析 7.(多选)下列表示中正确的是 A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B显然正确； 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为其并集为故C正确； 对于D，终边在y=x上的角的集合为其并集为故D不正确. 解析 8.角度202°30'化成弧度为　　，弧度-化成角度为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 　 202°30'=202.5°=π=； -=-°=-570°. 解析 -570° 9.现有一把折扇，打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为　 弧度. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 设扇形的圆心角为α，半径为r， 则解得 解析 10.已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α=1 200°=1 200×=3×2π+所以角α与的终边相同， 又<π，所以角α是第二象限角. 解 (2)在区间[-4π，0]上找出与角α终边相同的角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+k∈Z， 所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 当k=-2时，2×(-2)π+=-； 当k=-1时，2×(-1)π+=- 故在区间[-4π，0]上，与角α终边相同的角是--. 解 11.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为 A.63 cm B.65 cm C.67 cm D.69 cm √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设该扇环内弧的半径为r cm， 则外弧的半径为(r+18) cm，圆心角α=2.5， 所以αr+α(r+18)=89， 即2.5r+2.5(r+18)=89，解得r=8.8， 所以该扇环的外弧长 l=2.5(r+18)=2.5(8.8+18)=67(cm). 解析 16 12.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为 当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×； 但当分针指向2时，时针由10向11移动了 故该时刻的时针与分针所夹的钝角为. 解析 13.终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的 集合为　 　 　　(用弧度制表示). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 　 由题意可知，30°=210°=则终边在直线AB上的角为α=kπ+ k∈Z.又终边在y轴上的角为β=kπ+k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 解析 14.莱洛(Reuleaux)三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名.如图所示，它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若AB=2，求： (1)莱洛三角形的周长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为AB=2，由于△ABC为正三角形， 所以以A为圆心的扇形的弧长是×2= 所以莱洛三角形的周长为3×=2π. 解 16 (2)莱洛三角形的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为AB=2，由于△ABC为正三角形， 所以以A为圆心的扇形的面积是×2= 又△ABC的面积是×22= 所以莱洛三角形的面积为3个扇形的面积减去2个正三角形的面积， 即×3-2=2π-2. 解 16 15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积=弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得的弧田面积约是　　m2.(精确到1 m2) 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =120°，根据题意得， 弦=2×4sin=4m)， 矢=4-4cos=2(m)， 因此，弧田面积=弦×矢+矢2) =×(4×2+22)=4+2≈9(m2). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为α(0 <α<π). (1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设内圆弧半径为r， 则AB=CD=OA=OD=r， 所以=rα=2rα， 所以rα+2rα+2r=2l， 则r= 所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD =×2rα×2r-×rα×r=αr2= 当且仅当9α=即α=时，S扇环取得最大值. 解 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当α=2时，求弧BC的中点E到弦BC的距离. 连接OE交BC于F， 则由垂径定理得OE⊥BC， ∠BOE=∠BOC=1， 由(1)知，r= 所以OF=cos 1， 所以EF=OE-OF=2r-cos 1 =1-cos 1). 解 第五章　§5.1　任意角和弧度制 <<< $