5.3 实际问题与一元一次方程 第1课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的配套问题与工程问题，通过运土劳动问题回顾“审设解答”步骤，创设实际问题到列方程的情境，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于运用表格分析数量关系、一题多解（如设螺栓或螺母工人），结合饮料瓶制作、图书整理等生活实例，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。学生能提升分析问题能力，教师可借助结构化资源高效教学。

解一元一次方程 第 3 节 第5章 第1课时 配套问题和 工程问题 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 会通过列方程解决“配套问题”和“工程问题”，掌握用一元一次方程解决实际问题的方法与步骤，获得分析实际问题的思路与方法. 通过探究如何用一元一次方程解决实际问题，体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，体会建模思想，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力. 发现生活中的实际应用问题,经历动手操作和自主探究的过程,进一步体会数学源于生活而又服务于生活的理念. 列方程解决“配套问题”和“工程问题” 重点 能够准确找出实际问题中的等量关系,并建立模型解决问题. 难点 重 难 点 (2)设抬土的同学有x人, 抬土时，用去 支扁担，用去 只筐. 挑土的人用 　 　　　扁担和　　　　, （3）可列方程 , （4）解方程得 x=　　　　.  知识回顾 七(一)班学生参加运土劳动,其中一部分人挑土,一部分人抬土,一共用了40支扁担和60只筐,问七(一)班一共有多少学生？完成下列填空 筐 思维挑战 根据已学的知识，解实际应用问题，一般要经历哪些步骤？ (1 )挑土时，一支扁担配 箩筐 挑土用的箩筐数量=挑土用的扁担数量的 倍 2 x x 60-x=2 两个 审 设 设 解 答 创设情境 今天这节课,我们来进一步认识一元一次方程在实际生活中的应用. 实际问题 一元一次方程 设未知数 列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法. 5 思 考 新知讲授 探究点1 产品配套问题 车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺拴或2 000个螺母.1个螺拴需要配2个螺母,为使每天生产的螺拴和螺母刚好配套,应安排生产螺拴和螺母的工人各多少名? 1 根螺栓搭配2 个螺母，拧紧后两个螺母相互对顶压紧，形成两处摩擦面；振动工况下依靠螺纹之间增大的摩擦力阻止螺母回转松脱 思 考 新知讲授 探究点1 产品配套问题 车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺拴或2000个螺母.1个螺拴需要配2个螺母,为使每天生产的螺拴和螺母刚好配套,应安排生产螺拴和螺母的工人各多少名? 问题分析 生产螺母工人有 . 每天螺栓的数量为___________，螺母的数量为____________. （3）1 个螺钉需要配 2 个螺母可列方程 . 等量关系：螺母数量 = 螺栓数量×2 (22-x) 1200x 2000(22-x) (2)如果设应安排 x 名工人生产螺栓 （1）螺母与螺栓配套，需要满足怎样的数量关系？ 2000(22-x) = 2×1200x. 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺栓 x 1200 螺母 2000 (22-x) 1200x 2000(22-x) 表格表示 思 考 车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺拴或2000个螺母.1个螺拴需要配2个螺母,为使每天生产的螺拴和螺母刚好配套,应安排生产螺拴和螺母的工人各多少名? 新知讲授 探究点1 产品配套问题 规范解答 解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22-x)名工人生产螺母. 根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列得方程 2000(22-x) = 2×1200x. 解方程，得 x = 10. 22-x = 12. 答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母. 方程两边可以先同时除以400，化简系数 化简方程得：5(22-x) = 2×3x. 新知讲授 探究点1 产品配套问题 如果设 x 名工人生产螺母，怎样列方程？ 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺母 x 2000 螺栓 1200 (22-x) 2000x 1200(22-x) 讨论 车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺拴或2000个螺母.1个螺拴需要配2个螺母,为使每天生产的螺拴和螺母刚好配套,应安排生产螺拴和螺母的工人各多少名? 问题分析 1 个螺钉需要配 2 个螺母可列方程 . 2000x = 2×1200(22-x) 配套物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据. 新知讲授 探究点1 产品配套问题 2000x = 2×1200(22-x) 解：设应安排 x 名工人生产螺母，(22-x)名工人生产螺栓. 由题意得： 解方程，得 x = 12 生产螺栓工人数：22-x = 10. 答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母. 讨论 车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺拴或2000个螺母.1个螺拴需要配2个螺母,为使每天生产的螺拴和螺母刚好配套,应安排生产螺拴和螺母的工人各多少名? 规范解答 如果设 x 名工人生产螺母，怎样列方程？ 化简方程得：5x = 2×3(22-x) 整理方程得：11x = 132 新知讲授 探究点1 产品配套问题 归纳 方法总结 生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系,建立方程.解决配套问题的思路: 1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据. 2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 新知讲授 探究点1 产品配套问题 配套问题中的基本关系 相等关系： m×B 的数量 = n×A 的数量. 若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则: A 的数量 B 的数量 m n = 归纳 典例评析 探究点1 产品配套问题 由题意得 答：用86张铝片制瓶身，则64张制作瓶底，可以正好制成整套的饮料瓶. 解：设用x张铝片制瓶身，则 （150-x）张制作瓶底. 例1. 用铝片做听装饮料瓶，每张铝片可制作瓶身16个或制瓶底43个，一个瓶身与两个瓶底配成一套，现有150张铝片，用多少张制瓶身，多少张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶？ 产品类型 铝片张数 单张产量 总产量 瓶身 x 16 瓶底 43 150-x 16x 43（150-x） 问题分析 规范解答 2×16x=43（150-x） 整理方程得：75x=43×150 解方程得：x=86 制瓶底的铝片数：150-x=64（张） 瓶底数=瓶身数×2 新知讲授 探究点2 工程问题 （2）一件工作,甲独做需要a天完成,乙独做需要b天完成.完成下列填空 若把工作总量设为1,则甲的工作效率是　　　　, 乙的工作效率是　　　　.  甲做x天完成的工作量是　　　　, 乙做x天完成的工作量是　　　　, 甲乙合做x天完成的工作量是　　　　.  x x (+ ) x 讨 论 （1）工程问题中,涉及哪些量?它们之间有什么数量关系? 工作时间 工作量=工作效率×工作时间 工 作 量 工作效率 甲单独工作一天完成的工作量 工作安排 人均时效 人数 工作时间 工作量 开始 x 4 后来 8 典例评析 探究点2 工程问题 例 2 整理一批图书，由 1 人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 多人多时合作：工作量=人均效率×人数×时间 如果设先安排 x 人做 4 h，完成表格填空 1 人整理需要 40 h 完成 问题分析 整理一批图书 总工作量不明确，视作单位1 每人工作时效为： = 1 典例评析 探究点2 工程问题 例 2 整理一批图书，由 1 人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 规范解答 解：设先安排 x 人整理 4 h，后安排（）人工作8小时 因为先后两个时段的工作量之和等于总工作量 答：应先安排 2 人进行整理. 整理方程得： 解得： x = 2. 所以由题意可得： 工程问题中常用的相等关系： 新知讲授 探究点2 工程问题 （1）工作量 = 工作效率 × 工作时间 （3）合作效率 = 各部分的工作效率之和 （4）总工作量 = 各部分的工作量之和 =合作的工作效率×工作时间 = 人均效率×人数×时间 （2）工作效率 = 工作总量不明确，把工作总量看作1. 三个基本量:工作量、工作效率、工作时间. 归纳 审 设 列 解 验 答 用一元一次方程解决实际问题的基本过程： 新知讲授 探究点3 列方程解应用题基本过程 归纳 实际问题 一元一次方程 实际问题 的答案 一元一次方程的解 （x = m） 设未知数，列方程 检 验 解方程 新知讲授 探究点3 列方程解应用题基本过程 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础. ⑴ 弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数； ⑵ 分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）； ⑶ 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； ⑷ 解这个方程，求出未知数的值； ⑸ 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）. 归纳 例3.劳动课上王老师带领七(1)班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面. 19　 26　 典例评析 (1)男生有 人，女生有 人. ②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案. (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ 解：①设分配m名学生制作鼓身， 则(45－m)名学生剪鼓面， 由题意，得：2×2m＝6(45－m)， 解得 m＝27， 则 45－m＝18. 答：应分配27名学生制作鼓身， 18名学生剪鼓面. 例3.劳动课上王老师带领七(1)班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面. 19　 26　 典例评析 (1)男生有 人，女生有 人. ②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案. (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ 解：②由①知分配27名学生制作鼓身， 18名学生剪鼓面， 则1小时可制作小鼓27×2＝54(个)， 还需制作78－54＝24个小鼓， 所以应再加入制作鼓身24÷2＝12(人)， 制作鼓面24×2÷6＝8(人). 则新加入12＋8＝20(人)， 其中12人制作鼓身，8人制作鼓面. 典例评析 例4.一台仪器由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件构成. 用 1 m3 钢材可以做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件，现要用 6 m3 钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 【选自教材P134 练习 第3题】 解:设用 x m3 钢材做 A 部件，则用 (6 - x) m3 钢材做 B 部件. 根据题意得：3×40x = 240(6 - x). 解得 ：x = 4. 做 B 部件的钢材：6 - x = 2， 仪器数量：40x = 160. 答:应用 4 m3 钢材做A部件，2 m3 钢材做 B 部件，才能制作 尽可能多的仪器，最多能制成 160 台仪器. 新知巩固 【教材P134 】 1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 解: 设需要 x 天可以铺好这条管线.根据题意，得： （＋） x＝1. 解得 x ＝ 8. 答: 需要 8 天可以铺好这条管线. 新知巩固 【教材P134 】 2. 在一次劳动课上，有 27 名同学在甲处劳动，有 19 名 同学在乙处劳动. 现在从其他班级另调 20 人去支援， 使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍，应调往甲、 乙两处各多少人？ 解：设调往甲处 x 人，则调往乙处 (20 - x) 人. 根据题意，得： 27 + x = 2(19 + 20 - x). 解得 ：x = 17. 调往乙处人数：20 - x = 3. 答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人. 1.某冷饮店中的种可乐比种可乐每杯贵3元，小霖买了2杯种可乐、3杯种可乐，一共花了31元，问种可乐、种可乐每杯分别是多少元？若设种可乐元，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用天可以铺好这条管线，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 检测反馈 A 解：设种可乐元，则种可乐元，根据题意可得： ． B 解：设要用天可以铺好这条管线，则可列方程： ． 检测反馈 3.某人一天能加工甲种零件50个或加工乙种零件20个,1个甲种零件与2个乙种零件配成一套，30天制作最多的成套产品,若设x天制作甲种零件,则可列方程为　　　　　　　　　.  ‌配套关系‌：甲产量= 乙产量； 由题意可得方程：50x=10(30−x) 。 50x=10(30−x) 分析：设x天制作甲种零件 加工工效 天数 生产数量 甲零件 乙零件 50个/天 20个/天 x天 （30-x）天 50x 个 20(30−x) 个 检测反馈 4.一项工作,甲独做需18天,乙独做需24天,如果两人合做8天后,余下的工作再由甲独做x天完成,那么所列方程为　　　　 　　　.  分析： 工作总量‌设为单位1； 等量关系：‌总工作量 =合作工作量 + 甲独做剩余工作量 。 甲工作效率为 ，乙工作效率为 ​； 两人合作 8 天完成工作量：( + )×8； (​+ ​)×8+ x​=1 解：设甲独再单独做 x 天完成，由题意可得： (​+ ​)×8+ x​=1 拓展提升 1.有辆客车及个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ D 解：由人数不变，可列出方程：， 所以等式④正确； 由客车的辆数不变，可列出方程：， 所以等式③正确． 所以正确的结论是③④． 拓展提升 2.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作? 解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作，由题意可得： (​+ ​) x + =1， 解方程得：x= =2.2; 答：甲、乙一起做还需2.2小时才能完成工作 分析：工作总量‌设为单位1； 等量关系：‌总工作量 =甲独做工作量 +甲乙合作工作量 。 甲工作效率为 ，乙工作效率为 ​； 设甲乙合作 x小时完成工作量：( + )x； 甲独做 30分钟完成工作量： ​= ； 1. (2026•渭南期末)某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴，已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴.要使每天生产的书签和冰箱贴刚好配套，且每位工人只生产书签和冰箱贴中的一种，则厂家安排生产书签的工人人数是( 　) A. 35人 B. 40人 C. 45人 D. 50人 B 真题感知 解：设安排生产书签的工人有 人，则生产冰箱贴的工人有 人。由题意可得： 整理方程得：35x = 1400 解得：x = 40 答：厂家安排生产书签的工人人数是 40 人。 真题感知 2.（2024秋•绥棱县校级期中）某车间有90名工人，每人平均每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？设最多可生产成套产品套，则可列方程为 ． 解：由题意得，， 加工齿轮工效 工作量 工人人数 大齿轮 小齿轮 每人每天20个 每人每天15个 等量关系：加工大齿轮人数+加工小齿轮人数=90 课堂小结 2.工程问题: 工作量=人均效率×人数×时间, 各阶段工作量的和=总工作量. 3.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤: 设、列、解、检、答 相等关系： m×B 的数量 = n×A 的数量. 若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则: A 的数量 B 的数量 m n = 1.产品配套问题 课堂小结 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 实际问题 一元一次方程 实际问题 的答案 一元一次方程的解 （x = m） 设未知数， 列方程 检 验 解方程 1.审:审题,分析题目中的数量关系. 2.设:设适当的未知数,并表示未知量. 3.列:根据题目中的数量关系列方程. 4.解:解这个方程. 5.答:检验并作答. 课后练习 2. 制作一张桌子要用 1 个桌面和 4 条桌腿，1 m3 木材可制作 20 个桌面，或者制作 400 条桌腿. 现有 12 m3 木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 解:设用 x m3 木材制作桌面，则用 (12-x) m3 木材制作桌腿. 根据题意，得 4×20x ＝ 400(12-x). 解得 x = 10. 制作桌腿木料：12 - x ＝ 2. 答:用 10 m3 木材制作桌面，2 m3 木材制作桌腿，才能制作 尽可能多的桌子. 习题 5.3 课本p140页 课后练习 3. 某车间每天能制作 500 个甲种零件，或 250 个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各 1 个配成 1 套产品. 现要用 30 天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？ 解：设甲种零件应制作 x 天，则乙种零件应制作 (30 - x) 天. 根据题意，得 500x ＝ 250(30 - x). 解得 x ＝10. 乙种零件应制作天数： 30 - x ＝ 20. 答：甲种零件应制作 10 天，乙种零件应制作 20 天. 习题 5.3 课本p140页 课后练习 4. 某项工作由甲、乙两人单独做分别需要 7.5 h 和 5 h. 如果让甲、乙两人一起工作 1 h，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？ 解：设剩余部分由乙单独完成需 x h，根据题意，得： 解得 x = 所以 1+x= . 答：一共需要 h. 习题 5.3 课本p140页 课后练习 5. 整理一批数据，由 1 人整理需 80 h 完成. 现在计划先由一些人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h，完成这项工作的 . 怎样安排参与整理数据的具体人数？ 解：设先安排 x 人整理 2 h.根据题意，得： 解得 x ＝ 2. 答:应先安排 2 人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h. 习题 5.3 课本p140页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $