5.3实际问题与一元一次方程 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程解决实际问题，通过配套问题（车间生产螺栓螺母）、工程问题（整理图书）等情境导入，从具体问题抽象出“设列解检答”步骤，延伸至销售、积分、方案选择等典型问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以真实情境问题为载体，通过分类探究培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理列方程）、数学语言（方程模型表达）。如销售盈亏问题分析进价与利润率关系，方案选择问题比较费用，体现模型意识。总结结合核心步骤与问题类型，助学生形成思维框架，为教师提供系统教学案例与方法支持。

一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 1.7.2013 同学们好！今天我们将继续学习第五章《一元一次方程》。前面我们已经学会了如何解方程，今天我们将学习如何运用方程来解决生活中的实际问题。这是数学的魅力所在，也是我们学习数学的最终目的。 ‹#› 情境引入（一）：配套问题 例1 问题描述 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 解题过程 1. 设未知数：设应安排x名工人生产螺栓，则安排(22 - x)名工人生产螺母。 2. 找等量关系列方程： 2000(22 - x) = 2 × 1200x 3. 解方程： 2000(22 - x) = 2400x x = 10 生产螺母的工人：22 - 10 = 12（名） 4. 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。 1.7.2013 本节课我们将分为五个部分。首先，我们会通过一个商场促销的问题，看看数学是如何应用于生活的。然后，我们将学习解决实际问题的一般步骤。接着，通过四个典型的例题，掌握解决不同类型问题的方法。最后进行总结和练习。 ‹#› 情境引入（二）：工程问题 问题呈现 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 解题过程 1. 设应先安排 x 人进行整理。 2. 人均工作效率为 。 3. 列方程： + = 1 1.7.2013 这是一个工程问题的情境引入。首先，我们明确已知条件：1人整理需40小时完成，即人均效率是1/40。问题是先安排一部分人做4小时，再增加2人做8小时完成工作。解题关键是设未知数，根据工作量之和等于总工作量1来列方程。设先安排x人，那么前4小时的工作量是4x/40，后8小时的工作量是8(x+2)/40，两者相加等于1，这样就能列出方程求解了。 ‹#› 新知探究：解决实际问题的基本过程 实际问题 设未知数，列方程 一元一次方程 解方程 一元一次方程的解 → 检验 → 实际问题的答案 核心步骤总结：设 · 列 · 解 · 检 · 答 1.7.2013 解决实际问题，我们通常遵循七个步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答。其中，最关键也是最困难的一步，就是找到题目中的等量关系。只要找到了等量关系，列出方程就水到渠成了。 ‹#› 课堂练习一 1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 解：设需要x天可以铺好这条管线 根据题意，+=1 解得x=8 答：需要8天可以铺好这条管线 2.在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动．现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20-x)人 根据题意，27+x=2[19+(20-x)] 解得x=17，则20-x=3 答：应调往甲处17人，则调往乙处3人. 3.一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 解：设应用x立方米钢材做A部件，(6-x)立方米钢材做B部件 根据题意，3×40x=240×(6-x) 解得x=4，则6-x=2 答：应用4立方米钢材做A部件，2立方米钢材做B部件. 探究1：销售中的盈亏问题 题目：一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 01 盈利衣服的进价计算 设盈利25%的衣服进价为 x 元。 根据售价 = 进价 × (1 + 利润率)，得： 60 = x × (1 + 25%) 解得：x = 60 ÷ 1.25 =48元 02 亏损衣服的进价计算 设亏损25%的衣服进价为 y 元。 根据售价 = 进价 × (1 - 亏损率)，得： 60 = y × (1 - 25%) 解得：y = 60 ÷ 0.75 =80元 总进价：48 + 80 = 128元 | 总售价：60 × 2 = 120元 | 结论：亏损8元 1.7.2013 我们来完整地解一下刚才的促销问题。首先，设成本价为x元。售价是200打八折，也就是160元。根据“售价-成本价=利润”这个等量关系，我们列出方程160 - x = 20。解这个方程，得到x=140。检验一下，成本140，售价160，利润20，完全正确。所以，这件商品的成本价是140元。 ‹#› 课堂练习二 1.某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为30％，每个大书包的利润率为20％．试求两种书包的进价. 解：设小书包进价为x元，则大书包得进价为(x+10)元 根据题意，30%x=20%(x+10) 解得x=20，则x+10=30 答：小书包进价为20元，则大书包得进价为30元. 2.一件商品按成本价提高20％后标价，再打八折销售，售价为144元．售出这件商品是盈利还是亏损？ 解：设商品得成本价为x元 根据题意，0.8×(1+20%)x=144 解得x=150 因为150>144， 所以是亏损 探究2：球赛积分表问题 01 审题与设元 从积分榜获取信息：钢铁队胜10场、负4场，积24分。设胜一场积x分，由其他队可知负一场积1分。 02 列方程与求解 根据“总积分=胜场积分+负场积分”列方程： 10x + 1×4 = 24，化简得10x=20，解得x=2。 03 检验与作答 检验：胜10场积20分+负4场积4分=24分，与积分榜一致。 答：胜一场积2分，负一场积1分。 1.7.2013 这节课我们探究球赛积分表问题。首先从积分榜中提取信息，比如钢铁队胜10场、负4场积24分。我们设胜一场积x分，从其他队伍的积分情况能推断出负一场积1分。接着根据“总积分=胜场积分+负场积分”这个等量关系列方程：10x + 4 = 24，解得x=2。最后检验，胜10场积20分加上负4场积4分，正好是24分，和表格里的信息一致，所以胜一场积2分，负一场积1分。 ‹#› 探究2：球赛积分表问题（续） 一、用代数式表示总积分 若一个队胜y场，则负(14 - y)场， 总积分为：2y + (14 - y) = y + 14 二、探讨：胜场总积分能否等于负场总积分？ 假设能相等，设胜y场，则列方程：2y = 14 - y 解得y = 。因为场数必须是正整数，所以y = 不符合实际意义，因此没有哪个队的胜场总积分能等于负场总积分。 1.7.2013 我们再来看一个工程问题。解决这类问题的关键是把总工作量看作单位“1”。甲队单独做20天完成，所以每天完成1/20。乙队单独做30天完成，每天完成1/30。两队合作，每天完成的工作量就是两者效率之和。设合作x天完成，那么他们x天完成的工作量就是总工作量1。列出方程(1/20 + 1/30)x = 1，解得x=12天。 ‹#› 课堂练习三 1.在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． （1）如果这支球队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？ （2）这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 解：（1）设胜x场，则平(9-x)场 根据题意，3x+(9-x)=21 解得x=6，则9-x=3 答：胜6场，平3场. （2）设胜x场，则平(9-x)场 根据题意，3x=9-x 解得x= ，不是整数不可能 答：不能 2.下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 解：设文艺小组每次活动时间为x h 根据题意， = 解得x=2，则科技小组每次活动时间为 = 1.5h 设九年级文艺小组活动次数为y，科技小组活动次数为z 由题，得2y+1.5z=7.由于y,z都是整数，所以y=z=2 所以九年级文艺活动2次。科技活动2次 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表。 探究3：方案选择问题 📖 问题描述 购买空调时，一级能效空调售价3000元，每小时电费0.32元；三级能效空调售价2600元，每小时电费0.40元。问使用多少年（每年按1000小时计），两种空调的综合费用相等？ 01 设定变量 设使用 t 年，两种空调的综合费用相等。 02 列出方程 一级能效费用： 3000 + 320t ，三级能效费用：2600 + 400t ，故3000 + 320t = 2600 + 400t 。 03 求解方程 移项得：400t - 320t = 3000 - 2600， 解得 t = 5 。 答：使用5年时，两种空调的综合费用相等。 1.7.2013 本页我们来探究方案选择问题，以不同能效空调的综合费用比较为例。首先，明确问题中的两个方案：一级能效空调售价高但电费低，三级能效空调售价低但电费高。解题的关键是找到综合费用相等的临界点。我们设使用t年时费用相等，分别表示出两种空调的综合费用：一级能效是3000元购机费加上每年320元电费，即3000+320t；三级能效是2600元购机费加上每年400元电费，即2600+400t。根据费用相等列出方程3000+320t=2600+400t，求解后得到t=5。这意味着使用5年时，两种空调的综合费用相同；使用时间超过5年，一级能效空调更划算；反之则三级能效更划算。 ‹#› 探究3：方案选择问题（续） 当 t < 5 时 此时2级能效空调的总花费更低。因为使用年限较短，1级能效空调的高购置成本无法通过电费节省来弥补，所以选择2级能效空调更省钱。 当 t > 5 时 此时1级能效空调的总花费更低。随着使用年限增加，电费的持续节省逐渐抵消并超过了初期的购置成本差额，长期使用性价比更高。 结论：使用年限超过5年，1级能效空调更划算。 1.7.2013 我们来总结一下解决实际问题的关键。首先要仔细审题，然后找准等量关系，这是最核心的一步。我们今天学习了销售、行程、工程、分配四类问题的常见等量关系。设未知数时要合理，最后别忘了检验和作答。 ‹#› 课堂练习四 1.在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元．在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1元．复印页数为多少时，两店的收费相同？ 解：设复印页数为x页时，两店的收费相同（x>20） 根据题意，0.12×20+0.09×(x-20)=0.1x 解得x=60 答：复印页数为60页时，两店的收费相同. 2.现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含10次；第二种售价300元，每月包含20次．两种月票超出每月包含次数后，都需要另外购票，票价为25元／次．某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用？ 解：设每月乘车次数为x，10<x<20. 根据题意，200+25(x-10)=300 解得x=14 则x<14时，第一种乘车方式省钱， 当x=14时，二种乘车方式相同 当x＞14时，第二种乘车方式省钱。 总结回顾 01 解决实际问题的基本过程 设、列、解、检、答。 02 四类典型问题 • 配套问题 • 工程问题 • 销售盈亏问题 • 方案选择问题 03 核心思想 将实际问题转化为数学模型（方程），并检验解的实际意义。 💡 课堂寄语：数学不仅是公式的堆砌，更是解决生活难题的“金钥匙”。希望大家在今后的学习和生活中，能带着“建模思维”去观察世界，用理性的逻辑拆解难题，真正做到学以致用，让数学成为你认识世界的有力工具！ 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天的课程。我们学习了解决实际问题的七个步骤，重点掌握了销售、行程、工程、分配这四类典型问题的等量关系。希望大家能学以致用，用数学的眼光去观察和解决生活中的问题。 ‹#› 谢谢观看 1.7.2013 今天的课程就到这里。感谢同学们的积极参与，希望大家课后多做练习，巩固所学知识。我们下节课再见！ ‹#› $