专题21.2(2) 一般的一元二次方程的解法（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一般一元二次方程的解法，系统梳理配方法（含原理、步骤、类型及易错点）和求根公式法（推导过程与应用），构建从配方变形到公式推导再到解法选用的知识脉络，通过知识点解析、即学即练及分题型典例与变式形成学习支架。 该资料以化归思想为核心，通过“原理辨析-步骤规范-综合应用”的设计培养推理意识与运算能力，如配方法分系数为1和不为1的题型训练，求根公式推导强化逻辑推理。综合题型（如阅读理解题）提升应用意识，课中辅助教师分层教学，课后通过变式题和练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

专题21.2（2） 一般的一元二次方程的解法 教学目标 1.理解配方原理，能利用配方将二次三项式变形为完全平方式；熟练用配方法解一元二次方程； 2.能借助配方法完整推导求根公式，熟练运用公式法规范求解任意一元二次方程； 3.理解一元二次方程解法中的化归数学思想，灵活选用适当方法解一元二次方程。 教学重难点 1.重点 配方法和求根公式法解一元二次方程。 2.难点 理解一元二次方程解法中的数学思想，并灵活加以运用。 知识点01 配方法 1.用配方法解一元二次方程 移项， 得 ， 二次项系数化为1，得 ， 配方， 得 ， 即 ． ∵． ． ． 2.配方法解一元二次方程的依据 利用完全平方公式把一元二次方程转化为=p的形式，再用直接开平方法求解。 3.配方的关键步骤 ① 将二次项系数化为1； ② 再移项将常数项移至方程右侧； ③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式； ④ 最后通过直接开平方法求解方程的根． 4.配方法的常见类型： ① 二次项系数为 1的一元二次方程——直接配方； ② 二次项系数不为 1的一元二次方程——先化二次项系数为 1， 再配方； 【易错点睛】 ① 方程右边必须化为0； ② 不可随意两边约去含未知数的因式（容易丢根）； 例：，不能直接除以。 【即学即练】 1. 用配方法解方程： (1)； (2)； 知识点02 求根公式法 1. 求根公式推导依据 对一般形式 用配方法全程推导，最终得到求根公式： 2. 3. 灵活选用适当方法解一元二次方程 （1） 直接开平方法——方程一边是平方的形式，另一边是非负数。 （2） 因式分解法——方程一边可以分成两个因式的积，另一边是0。 （3） 配方法——二次项系数为1，一次项系数为偶数。 （4） 求根公式法——通用方法，系数为整数，系数的绝对值相对偏小。 【即学即练】 1. 解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型01 完全平方式子的辨析 【典例1】填空：（1）____________； （2）____________． 【变式1】______________________． 【变式2】将左边配成完全平方式后，得方程______. 【变式3】把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为___________． 【变式4】填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 题型02 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程：． 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为_____________． 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程：． 【变式4】解方程：． 题型03 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 【变式4】解方程： (1)； (2)． (3) (4) 题型04 用求根公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1】用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【变式2】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 【变式3】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 选用适当的方法解一元二次方程 【典例1】用适当的方法解一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当． （1），应选用________法； （2），应选用_______法； （3），应选用__________法； （4），应选用__________法． 【变式2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法：①因式分解法；②直接开平方法；③配方法；④公式法．请认真观察下列几个方程，先选择最为适当的方法（填序号）再求出方程的根． （1），选择方法________最合适． （2），选择方法________最合适． （3），选择方法________最合适． （4），选择方法________最合适． 【变式3】解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． (3)；（因式分解法） (4)．（因式分解法） 【变式4】用适当的方法解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型06 一元二次方程解法的综合与应用 【典例1】已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【典例2】【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． 【变式1】已知一元二次方程． (1)求该方程的根． (2)若该方程较小的根为一元二次方程的一个根，求m的值． 【变式2】对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． (1)若，则______； (2)若，求的值． 【变式3】降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式4】阅读理解并解答： (1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； (2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 1．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 2．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 4．通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 5．方程配方后写成的形式，则的值为________． 6．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 7．一元二次方程的根是___________． 8．定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 9．解方程 (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 10．用适当的方法解方程． (1) (2) (3)； (4) 1．方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 3．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 4．用公式法解关于x的方程，可求得解为_______． 5．若，则_____． 6．已知和3是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为___________． 7．用适当方法解下列方程 (1) (2) 8．请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 9．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 10．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式恒为正数； (2)若代数式的最大值为，求的值； (3)已知是一个关于的完全平方式，求常数的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2（2） 一般的一元二次方程的解法 教学目标 1.理解配方原理，能利用配方将二次三项式变形为完全平方式；熟练用配方法解一元二次方程； 2.能借助配方法完整推导求根公式，熟练运用公式法规范求解任意一元二次方程； 3.理解一元二次方程解法中的化归数学思想，灵活选用适当方法解一元二次方程。 教学重难点 1.重点 配方法和求根公式法解一元二次方程。 2.难点 理解一元二次方程解法中的数学思想，并灵活加以运用。 知识点01 配方法 1.用配方法解一元二次方程 移项， 得 ， 二次项系数化为1，得 ， 配方， 得 ， 即 ． ∵． ． ． 2.配方法解一元二次方程的依据 利用完全平方公式把一元二次方程转化为=p的形式，再用直接开平方法求解。 3.配方的关键步骤 ① 将二次项系数化为1； ② 再移项将常数项移至方程右侧； ③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式； ④ 最后通过直接开平方法求解方程的根． 4.配方法的常见类型： ① 二次项系数为 1的一元二次方程——直接配方； ② 二次项系数不为 1的一元二次方程——先化二次项系数为 1， 再配方； 【易错点睛】 ① 方程右边必须化为0； ② 不可随意两边约去含未知数的因式（容易丢根）； 例：，不能直接除以。 【即学即练】 1. 用配方法解方程： (1)； (2)； 【详解】（1）解：两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴， 即，； （2）解：两边同时乘以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； 知识点02 求根公式法 1. 求根公式推导依据 对一般形式 用配方法全程推导，最终得到求根公式： 2. 3. 灵活选用适当方法解一元二次方程 （1） 直接开平方法——方程一边是平方的形式，另一边是非负数。 （2） 因式分解法——方程一边可以分成两个因式的积，另一边是0。 （3） 配方法——二次项系数为1，一次项系数为偶数。 （4） 求根公式法——通用方法，系数为整数，系数的绝对值相对偏小。 【即学即练】 1. 用求根公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 题型01 完全平方式子的辨析 【典例1】填空：（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 【详解】解：（1）， （2）． 【变式1】______________________． 【答案】 25 5 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握添加的常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．根据完全平方公式求解． 【详解】解：． 故答案为：25，5． 【变式2】将左边配成完全平方式后，得方程______. 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；首先移项变形成的形式，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 【变式4】填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【答案】 9 3 16 4 / / 【分析】本题考查了配方，根据完全平方公式配方即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：9，3； （2）， 故答案为：16，4； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：，． 题型02 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要 考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用配方法求解方程是解题的关键；因此此题可根据配方法进行求解方程． 【详解】解： ∴． 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键；由题意可先对一元二次方程进行配方，然后可得、的值，进而问题可求解． 【详解】解：由方程可配方得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 【变式3】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的配方法是解题关键． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，再开平方求解得出方程的两个根． 【详解】解：， 配方得，即， 开方得， 解得，． 【变式4】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 题型03 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 【变式1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 【变式2】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 【变式3】用配方法解方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较常见的题目，难度不是很大． （1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）去分母后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2） ， 配方得： ， ∴， （3） ∴ 则 （4） 整理得，， 配方得：， ， ∴． 【变式4】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 即或， ∴，． （2）解：原方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， ∴，． (3) (4) 【答案】(3) (4) 【详解】（3）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； （4）解：  ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 题型04 用求根公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 【变式1】用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 【变式2】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 【变式3】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 【变式4】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，再利用求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定系数计算判别式后代入求根公式即可； （2）方程为一般形式，确定系数计算判别式后代入求根公式求解； （3）先将方程展开并整理为一般形式，再按公式法步骤求解； （4）先展开方程左边，移项整理为一般形式，再用公式法求解． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （2）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （3）解：先将方程整理为一般形式：， 其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （4）解：先将方程整理为一般形式：，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，． 题型05 选用适当的方法解一元二次方程 【典例1】用适当的方法解一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)   (3)   (4)   【详解】（1）解： ∴ 解得： （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得：   （3）解： ∵， ∴ 解得：   （4）解： ∴ ∴或 解得：   【变式1】认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当． （1），应选用________法； （2），应选用_______法； （3），应选用__________法； （4），应选用__________法． 【答案】 直接开平方 配方 因式分解 公式 【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到，用直接开平方法求解； （2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法； （3）先移项，然后提出公因式，用因式分解法； （4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法． 【详解】解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法； （2）的两边都加上64，易配方得，故选配方法； （3）方程，移项得，直接提公因式求解即可，故选因式分解法； （4），二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解． 故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式 【变式2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法：①因式分解法；②直接开平方法；③配方法；④公式法．请认真观察下列几个方程，先选择最为适当的方法（填序号）再求出方程的根． （1），选择方法________最合适． （2），选择方法________最合适． （3），选择方法________最合适． （4），选择方法________最合适． 【答案】 ④ ② ① ③ 【分析】（1）采用公式法进行计算，首先判断根的判别式与的关系，接下来直接计算即可； （2）等式两边直接开平方即可； （3）首先提取公因式，接下来令两个因式分别等于，即可求解； （4）该方程可通过在等式两边加上，将左边配成完全平方式，再直接开平方即可求解． 【详解】解：（1），该方程的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为1 ， 不易进行因式分解，也不具备直接开平方的形式，配方法需要进行配方操作； 故答案为：④． ， （2），此方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数，符合直接开平方法的形式； 故答案为：②． （3），方程的左边可以提取公因式，进行因式分解，得到即可求解； 故答案为：①． （4），该方程可通过在等式两边加上1，将左边配成完全平方式，即，得到，进而求解； 当然也可以用公式法，但配方法相对更简便． 故答案为：③． 【变式3】解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ，，， ， ， ∴，． (3)；（因式分解法） (4)．（因式分解法） 【答案】(3)，． (4)， 【详解】（3）解： (2x+1)(x-3)=0 或， ，． （2）解：原方程可化为， 因式分解，得， 或， ，． 【变式4】用适当的方法解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键. （1）（2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出，判断根的情况，再利用求根公式求解. 【详解】（1）解：原方程移项得， 开平方得. （2）解：原方程开平方得， 解得. （3）解：移项得 配方得， 即 开平方得 解得. （4）解：由原方程可得， 则， 方程有两个不相等的实数根， ， . 题型06 一元二次方程解法的综合与应用 【典例1】已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代入中，可解得，将代入中，得到一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】解：根据题意， 将代入中得，， 解得，， 将代入中得，， 即， 所以，，， 解得，，， 即方程的另一个根是． 答：的值为，方程的另一个根是． 【典例2】【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； 【变式1】已知一元二次方程． (1)求该方程的根． (2)若该方程较小的根为一元二次方程的一个根，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的解，求参数的值，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）将（1）中的较小的根代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）由（1）可知，是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 【变式2】对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． (1)若，则______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解； （2）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）， ， 整理得， ， ， ，． 【变式3】降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 【变式4】阅读理解并解答： (1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； (2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 【答案】(1)2， (2)代数式有最大值59，相应的x的值为7 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干过程，则当时，则，即可作答． （2）模仿题干过程，则，因为，则．当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，． 当时，则， 则代数式的最小值是2，这时相应的x的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ∵， ∴， ∴． 当时，则， 则代数式的最大值是59，这时相应的x的值是． 1．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 配方得， 整理得 ， ∴． 2．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 3．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 4．通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 5．方程配方后写成的形式，则的值为________． 【答案】0 【分析】利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故． 6．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【答案】 大 4 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 7．一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 8．定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义可得，解方程即可． 【详解】解：， 解得， 故答案为． 9．解方程 (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 10．用适当的方法解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 1．方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 2．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 3．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 4．用公式法解关于x的方程，可求得解为_______． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 先计算判别式，再代入求根公式求解即可． 【详解】解：由方程可得，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 则判别式， ， 当时，，则，； 当时，，则，； 综上，方程的解为，． 故答案为：，． 5．若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过换元法，设，将原方程转化为一元二次方程求解，再根据非负性确定值． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 因式分解得， 解得：或． 由于， 故， 故答案为：3． 6．已知和3是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为___________． 【答案】0或4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法，设，将方程转化为，利用已知根和是原方程的根，得到的值，进而求解． 【详解】解：设，则方化为， ∵和3是关于的一元二次方程的两根， ∴和是方程的根， ∴或． 当时，，解得； 当时，，解得； 故方程的根为，． 故答案为：0或4． 7．用适当方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，． （2）解： 移项得 开平方得 解得，． 8．请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 9．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 10．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式恒为正数； (2)若代数式的最大值为，求的值； (3)已知是一个关于的完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)， 【分析】（1）整理多项式可得：原式，根据平方的非负性可知，所以恒为正数 ；   （2）整理多项式可得：原式，根据平方的非负性可知，解方程即可求出的值； （3）整理多项式可得：原式，根据是一个完全平方式，可知，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：整理可得：，    ， ， 则恒为正数 ；       （2）解： ， ， ， ， 整理得：， 解得：，；   （3）解： ， 是一个完全平方式， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $