19.1 平方根与立方根（讲义，4知识4拓展6题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”章节核心知识点，系统梳理算术平方根、平方根、立方根的定义、符号、性质及运算规律，通过对比辨析构建知识支架，从基础定义到双重非负性应用、开方方程求解逐步深入。 资料以新课标核心素养为导向，突出抽象能力与运算能力培养，设计随学随练、分层题型及几何应用实例，如非负性压轴模型和小数点移位规律，助力学生精准掌握易错点，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺。

第19章 实数 19.1 平方根与立方根 课标要点 1. 掌握算术平方根、平方根、立方根的定义、符号、性质，区分三者差异。 2. 熟练开平方、开立方运算，掌握小数点移位规律。 3. 活用算术平方根双重非负性解题，会解简单开方方程。 4. 规避正负根、根式有意义条件等高频易错点。 学习重难点 重点：三类根的定义与符号、核心性质、基础开方计算、简单开方方程求解。 难点：算术平方根与平方根的区分、双重非负性应用、嵌套根式计算、平方根与立方根性质辨析。 高频易错点：漏写平方根负解、混淆两类根式恒等式、负数开方误区、嵌套根式跳步计算。 知识点算术平方根（唯一非负） 定义：若正数，则，规定。 双重非负性（必考）：（被开方数非负）、（结果非负） 恒等式：、 移位规律：被开方数移2位，算术平方根同向移1位 重难点：重点掌握双重非负性的理解与应用、恒等式化简；难点是利用结合字母正负化简求值。 必考题型：① 求任意非负数的算术平方根；② 根式有意义求自变量取值范围；③ 利用双重非负性非负和为0求值；④ 含字母根式化简、小数点移位计算。 易错提醒：① 算术平方根永远非负，绝对无负解，严禁写±；② ，必须加绝对值，需根据字母范围判断正负；③ 被开方数必须≥0，负数无算术平方根；④ 容易混淆“算术平方根”和“平方根”概念。 随学随练 1．（25-26八年级下·上海·期中）19的算术平方根是____________． 【答案】 【详解】解： ，且， 的算术平方根是． 知识点平方根（二次方根） 定义：若，则为的平方根，记作 性质：正数有2个互为相反数的根；0的平方根是0；负数无平方根 运算：开平方与平方互为逆运算 重难点：重点掌握平方根的双重解性质、符号书写；难点是区分平方根与算术平方根、嵌套平方根分步计算、平方方程求解。 必考题型：① 求正数、0的平方根；② 判断根式有无意义；③ 解型一元二次简易方程；④ 嵌套根式求值（先算算术根再求平方根）；⑤ 利用平方根性质求参数。 易错提醒：① 题目问“平方根”必须带，漏写负解是最高频扣分点；② 负数没有平方根，不存在实数解；③ 0的平方根只有0，无正负；④ ≠平方根，仅为正平方根。 随学随练 2．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 【答案】 【详解】解：， ∵ = ， = ， ∴的平方根为． 即的平方根为． 故答案为：． 知识点 立方根（三次方根） 定义：若，则 性质：任意实数都有唯一立方根；正根正、负根负、0根为0 核心公式： 恒等式：、（全体实数适用） 移位规律：被开方数移3位，立方根同向移1位 重难点：重点掌握立方根唯一性、符号迁移公式；难点是平方根与立方根性质辨析、正负立方根化简、立方方程求解。 必考题型：① 求正数、0、负数的立方根；② 立方根小数点移位规律计算；③ 解简易方程；④ 立方根恒等式化简求值；⑤ 与平方根综合辨析选择题。 易错提醒：① 任意实数都有且只有一个立方根，无无解情况；② 立方根符号与被开方数一致，负号可直接移出根号；③ 立方根恒等式无需绝对值，对全体实数成立；④ 混淆平方根、立方根移位位数（2位/3位）。 随学随练 3．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 【答案】0.4 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为 0.4． 知识点 平方根&立方根终极对比（必背辨析） ① 被开方数：平方根仅；立方根全体实数 ② 根的个数：正数2个平方根、1个立方根；负数无平方根、有1个立方根 ③ 符号：算术根恒非负；立方根与被开方数符号一致 重难点：重点精准区分两类根的取值范围、根的个数、符号规则；难点是混合辨析题、多选正误判断题、综合压轴小题。 必考题型：① 正误辨析选择题；② 分类对比填空；③ 结合非负性、方程的综合求值题；④ 根式有意义范围综合判断。 易错提醒：① 误区：认为负数没有方根（错，负数有立方根）；② 误区：认为正数有3个立方根（错，唯一）；③ 混淆两类根的移位规律；④ 混用平方根、立方根恒等式规则。 随学随练 4．（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 拓展 三个符号终极区分 ：算术平方根，只有非负解；：负平方根；：全部平方根（两个） 活学活用 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意； 故选：B 6.求的算术平方根 解：第一步：化简内层 ；第二步：求8的算术平方根为；最终答案： 解题秒杀思路：嵌套根式先化简内层、再处理外层，看清题干是“算术平方根”还是“平方根”，避免多写/漏写±。 拓展 两大易混恒等式 ；（结果必非负） （无取值限制） 活学活用 7.计算 解：，切记不可直接等于-7。 8.计算 解：，立方根无需绝对值，直接还原原数。 解题秒杀思路：平方开方必绝对值，结果恒正；立方开方无限制，正负直接还原。 拓展非负性压轴模型（万能模板） 若，则 原理：所有非负数相加为0，每项必为0 活学活用 9.已知，求的值。 解：由非负性模型得：，解得。 代入得：。 解题秒杀思路：根号、绝对值、平方均为非负数，和为0则每一项单独为0，是固定压轴模板。 拓展根式有意义条件 平方根：；立方根：取全体实数 活学活用 10.求下列式子有意义的取值范围：① ② 解：① 二次根式有意义：，得；② 立方根无限制，取全体实数。 解题秒杀思路：平方根号下限0，立方根号全域通吃。 题型 基础开方计算 ▌例1-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． 【答案】的平方根为 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ， 解得， ∵的平方根是它本身， ∴， ∴， ∴ ， ∴的平方根为． ▌例1-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵3是的一个平方根， ∴， 解得，   是的立方根， ，   ∴， ∴的平方根为． ▌对点练1-1 已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根．解题贴士 口诀：求算术根只取正；求平方根必带±；求立方根符号照搬 【答案】 【详解】解：∵的立方根是的算术平方根是7， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴其平方根为． ▌对点练1-2 已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． 【答案】或11， 【详解】解：∵和是某正数的平方根， ∴或， 解得：或11， ∵的算术平方根为2， ∴， 解得：． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 题型嵌套根式计算 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）的平方根是________． 【答案】 【详解】解：， 设的平方根为， 所以有，即， 故答案为：． ▌例2-2 的立方根是_______________ 【答案】2 【详解】解：，， ∴的立方根是． 解题贴士 技巧：由内向外，逐层化简，绝不跳步 ▌对点练2-1 的立方根是______． 【答案】 【详解】解：， 的立方根为． 故答案为：． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． ▌对点练3-3 已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 题型 非负性求值（填空压轴） ▌例3 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，． ∴，， ，． ∴． 故答案为：． 解题贴士 步骤：判非负式→令各项为0→解方程→代入求值 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）若，则______，______，______． 【答案】 2 0 1 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． 题型 开方方程求解 ▌例4 ）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴． 解题贴士 ：；；无解 ：（唯一解，无正负遗漏） ▌对点练4-1 计算： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：                   ∴ 或                               解得：或 （2）解： ∴ ∴ 解得： ▌对点练4-2 计算 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）， ， ， 解得． ▌对点练4-3 求下列各式中的x的值 (1)； (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解： ， 解得． 题型小数点移位计算 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： ▌例5-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 解题贴士 口诀：平方移二根移一，立方移三根移一，全部同向移动 ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 题型 几何应用题 ▌例6 （25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 解题贴士 步骤：设未知数→列平方/立方方程→舍去负根（长度为正）→作答 ▌对点练6-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 【答案】 【详解】解：设大正方形的边长为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴或（舍去）， ∴大正方形的边长为， 故答案为：． ▌对点练6-2 如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． ▌对点练6-3 （25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；； （2）； 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 基础通关 一、单选题 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 【答案】D 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵，8的立方根是2， ∴ B错误； ∵，当时，， ∴ C错误； ∵ 算术平方根的定义是非负数（包括0）， ∴ D正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．9是的算术平方根 D． 【答案】B 【详解】解： A：，9 的平方根是 ，故 A 错误，不符合题意； B：16的平方根是，故 B 正确，符合题意； C：，9的算术平方根是 3，而非 9，故 C 错误，不符合题意； D：，而非 3，故 D 错误，不符合题意． 故选： B． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个正整数为， ∵的正平方根是， ∴． ∴比大1的数为， ∴ 的正平方根为． 故选C． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意； D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级下·上海·期中）方程的实数解是______． 【答案】 【详解】解： ． 8．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，那么________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，则___________． 【答案】0.338 【详解】解：因为，所以， 故答案为：0.338． 10．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 11．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 三、解答题 12．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， ， ， 解得或． 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级上·上海·阶段检测）实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．    【答案】 【详解】解：根据数轴可得，且， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 【答案】4 【详解】解：根据题意得，a、b互为倒数，则， c、d互为相反数，则， 的绝对值为，则，即， 的算术平方根是8，则，， ． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【答案】1 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）有两块不同规格的正方形瓷砖，大正方形的面积比小正方形多9平方分米，小正方形的边长比大正方形的边长少1分米，求小正方形的面积．如果设小正方形的面积为x平方分米，根据题意，可列出关于x的方程是______． 【答案】 【详解】解：设小正方形的面积为x平方分米，则大正方形的面积为平方分米， 根据题意得：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【答案】或 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， 或， 故答案为：或 5．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 【答案】 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 8．公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 【答案】需要米的篱笆 【详解】解：公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地， （米）， ，， （米）， 扇形为所划区域， （米），扇形的周长（米）， 需要的篱笆长度（米）， 需要米的篱笆． 9．某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1)120 (2)这些金属板不够用，理由见详解 【详解】（1）解：原正方形场地的周长为， 故答案为：120； （2）解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴这些金属板不够用． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【答案】141 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 3．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 【详解】（1）解：由可得： ； 答：此时d的值为． （2）说法错误，理由如下： 站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时， ， ， ， ， ∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 实数 19.1 平方根与立方根 课标要点 1. 掌握算术平方根、平方根、立方根的定义、符号、性质，区分三者差异。 2. 熟练开平方、开立方运算，掌握小数点移位规律。 3. 活用算术平方根双重非负性解题，会解简单开方方程。 4. 规避正负根、根式有意义条件等高频易错点。 学习重难点 重点：三类根的定义与符号、核心性质、基础开方计算、简单开方方程求解。 难点：算术平方根与平方根的区分、双重非负性应用、嵌套根式计算、平方根与立方根性质辨析。 高频易错点：漏写平方根负解、混淆两类根式恒等式、负数开方误区、嵌套根式跳步计算。 知识点算术平方根（唯一非负） 定义：若正数________，则________，规定________。 双重非负性（必考）：________（被开方数非负）、________（结果非负） 恒等式：________、________ 移位规律：被开方数移________位，算术平方根同向移________位 重难点：重点掌握双重非负性的理解与应用、恒等式化简；难点是利用结合字母正负化简求值。 必考题型：① 求任意非负数的算术平方根；② 根式有意义求自变量取值范围；③ 利用双重非负性非负和为0求值；④ 含字母根式化简、小数点移位计算。 易错提醒：① 算术平方根永远非负，绝对无负解，严禁写±；② ，必须加绝对值，需根据字母范围判断正负；③ 被开方数必须≥0，负数无算术平方根；④ 容易混淆“算术平方根”和“平方根”概念。 随学随练 1．（25-26八年级下·上海·期中）19的算术平方根是____________． 知识点平方根（二次方根） 定义：若________，则________为________的平方根，记作________ 性质：正数有________互为相反数的根；0的平方根是________；负数________平方根 运算：________与________互为逆运算 重难点：重点掌握平方根的双重解性质、符号书写；难点是区分平方根与算术平方根、嵌套平方根分步计算、平方方程求解。 必考题型：① 求正数、0的平方根；② 判断根式有无意义；③ 解型一元二次简易方程；④ 嵌套根式求值（先算算术根再求平方根）；⑤ 利用平方根性质求参数。 易错提醒：① 题目问“平方根”必须带，漏写负解是最高频扣分点；② 负数没有平方根，不存在实数解；③ 0的平方根只有0，无正负；④ ≠平方根，仅为正平方根。 随学随练 2．（25-26八年级上·上海·期中）的平方根为________； 知识点 立方根（三次方根） 定义：若________，则________ 性质：________都有唯一立方根；正根________、负根________、0根为________ 核心公式：________ 恒等式：________、________（全体实数适用） 移位规律：被开方数移________位，立方根同向移________位 重难点：重点掌握立方根唯一性、符号迁移公式；难点是平方根与立方根性质辨析、正负立方根化简、立方方程求解。 必考题型：① 求正数、0、负数的立方根；② 立方根小数点移位规律计算；③ 解简易方程；④ 立方根恒等式化简求值；⑤ 与平方根综合辨析选择题。 易错提醒：① 任意实数都有且只有一个立方根，无无解情况；② 立方根符号与被开方数一致，负号可直接移出根号；③ 立方根恒等式无需绝对值，对全体实数成立；④ 混淆平方根、立方根移位位数（2位/3位）。 随学随练 3．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：_______． 知识点 平方根&立方根终极对比（必背辨析） ① 被开方数：平方根仅________；立方根________ ② 根的个数：正数________个平方根、________个立方根；负数________平方根、________立方根 ③ 符号：算术根________；立方根与被开方数________ 重难点：重点精准区分两类根的取值范围、根的个数、符号规则；难点是混合辨析题、多选正误判断题、综合压轴小题。 必考题型：① 正误辨析选择题；② 分类对比填空；③ 结合非负性、方程的综合求值题；④ 根式有意义范围综合判断。 易错提醒：① 误区：认为负数没有方根（错，负数有立方根）；② 误区：认为正数有3个立方根（错，唯一）；③ 混淆两类根的移位规律；④ 混用平方根、立方根恒等式规则。 随学随练 4．（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 拓展 三个符号终极区分 ：算术平方根，只有非负解；：负平方根；：全部平方根（两个） 活学活用 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 6.求的算术平方根 拓展 两大易混恒等式 ；（结果必非负） （无取值限制） 活学活用 7.计算 8.计算 拓展非负性压轴模型（万能模板） 若，则 原理：所有非负数相加为0，每项必为0 活学活用 9.已知，求的值。 拓展根式有意义条件 平方根：；立方根：取全体实数 活学活用 10. 求下列式子有意义的取值范围：① ② 题型 基础开方计算 ▌例1-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． ▌例1-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． ▌对点练1-1 已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根．解题贴士 口诀：求算术根只取正；求平方根必带±；求立方根符号照搬 ▌对点练1-2 已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 题型嵌套根式计算 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）的平方根是________． ▌例2-2 的立方根是_______________ 解题贴士 技巧：由内向外，逐层化简，绝不跳步 ▌对点练2-1 的立方根是______． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． ▌对点练3-3 已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型 非负性求值（填空压轴） ▌例3 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 解题贴士 步骤：判非负式→令各项为0→解方程→代入求值 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）若，则______，______，______． 题型 开方方程求解 ▌例4 ）求下列各式中x的值． (1) (2) 解题贴士 ：；；无解 ：（唯一解，无正负遗漏） ▌对点练4-1 计算： (1) (2) ▌对点练4-2 计算 (1) (2) ▌对点练4-3 求下列各式中的x的值 (1)； (2) 题型小数点移位计算 ▌例5-1 （25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 解题贴士 口诀：平方移二根移一，立方移三根移一，全部同向移动 ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 题型 几何应用题 ▌例6 （25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 解题贴士 步骤：设未知数→列平方/立方方程→舍去负根（长度为正）→作答 ▌对点练6-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． ▌对点练6-2 如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． ▌对点练6-3 （25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 基础通关 一、单选题 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 3．（25-26八年级上·上海崇明·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．9是的算术平方根 D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 二、填空题 7．（25-26八年级下·上海·期中）方程的实数解是______． 8．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，那么________． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，则___________． 10．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 11．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）方程的解是_____． 三、解答题 12．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 14．（25-26八年级上·上海·阶段检测）实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．    15．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）有两块不同规格的正方形瓷砖，大正方形的面积比小正方形多9平方分米，小正方形的边长比大正方形的边长少1分米，求小正方形的面积．如果设小正方形的面积为x平方分米，根据题意，可列出关于x的方程是______． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 5．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 7．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 8．公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 9．某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 3．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $