专题13平面直角坐标系背景下的6大常见重难问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过题型归纳构建平面直角坐标系问题的方法体系，覆盖基础应用到综合拓展，逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|坐标与距离关系、面积割补法、等积变换、新定义翻译|从坐标本质到综合应用，构建问题解决框架| |题型1-6|各3-5题|有序数对规律转化、面积公式应用、平行线性质迁移、全等判定、新定义翻译、坐标规律归纳|从基础表示到综合探究，层层递进，衔接几何与代数| |压轴挑战|含高难题|复杂图形转化、动态问题分类讨论|突破思维上限，培养空间观念与创新意识|

专题13 平面直角坐标系背景下的常见问题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 用有序数对表示位置 题型2 平面直角坐标系与图形面积的综合 题型3 平面直角坐标系与平行线的综合 题型4 平面直角坐标系与全等三角形的综合 题型5 平面直角坐标系背景下的自定义问题 题型6 平面直角坐标系中的规律探究问 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 在平面直角坐标系中解决问题，首先要准确建立或利用坐标系，明确点的坐标、线段长度与坐标差的关系：水平距离为横坐标之差的绝对值，竖直距离为纵坐标之差的绝对值。求图形面积常用割补法、等积变换或坐标公式；涉及平行线可利用平行线间距离处处相等及同底等高；涉及全等三角形要注意横平竖直的线段对应关系。对于新定义或规律探究题，要先把文字定义翻译成坐标运算，再从特殊到一般寻找规律，注意分类讨论和坐标符号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 用有序数对表示位置 题型模版 1.特征：以行、列、序号或新定义给出位置关系，要求用有序数对表示或反推位置。 2.方法：明确有序数对两个量的含义；找数字或位置的排列规律；建立行、列与序号之间的对应关系进行转化。 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）定义：有序数对表示位于第m行第n列的一个数，如：有序数对表示位于第2行第1列的数2． (1)有序数对表示的数是___________； (2)数对应的有序数对是___________． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一台巡检机器人每秒移动一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直移动下去，如第1秒移动到的位置用有序数对表示为，则第50秒时，机器人的位置用有序数对表示为__________． 3．（24-25七年级下·北京·期中）初三年级某班有名学生，所在教室有行列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若小明原来的座位为，调整后的座位为，小明的位置数为______；若某学生的位置数为8，则当取最小值时，的最大值为______． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 将有序数对表示第m行，从左至右第n个数，如表示自然数11． (1)观察每一行的最后一个数，然后请写出第6行的最后一个自然数：_____；有序数对表示的自然数是____； (2)表示自然数2024的有序数对是____； (3)分别记第1行的自然数的个数为，前2行所有自然数的个数为，前3行所有自然数的个数为，以此类推，前行所有自然数的个数为，则____． ◆题型2 平面直角坐标系与图形面积的综合 题型模版 1.特征：已知点的坐标求三角形、四边形等图形的面积，或由面积反求坐标。 2.方法：利用割补法将图形补成矩形再减；用水平宽×铅垂高÷2；等积变换转移顶点；注意坐标符号对距离的影响。 5．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，且满足，点在轴的负半轴上，连接． (1)则___________，___________． (2)如图1，若的面积是面积的倍，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点反向移动．设移动的时间为秒，四边形与的面积分别记为，若存在时间使，请求出的值． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，将直角三角形和直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点，且实数满足． (1)求点的坐标． (2)如图1，点为直线上的动点，连接，设，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，点为直线上的动点，连接．请问是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，在平面直角坐标系中有一个直角，两直角边为，且，． (1)如图①，在平面直角坐标系中，点和点的坐标满足． 请直接写出A、B、C三个点的坐标：A （ ， ）B  （ ， ） C  （ ， ） ； (2)如图②，在平面直角坐标系中，点，与y轴交于点M，与x轴交于点N，求； (3)如图③，在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，且，动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． ◆题型3 平面直角坐标系与平行线的综合 题型模版 1.特征：利用平行线性质（同位角、内错角、同旁内角）或平行线间距离求解坐标与角度。 2.方法：由平行得角相等或同旁内角互补；把角度关系转化为线段比或坐标差；必要时构造“Z”型或“F”型基本图形。 9．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，交y轴于点D． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，D的坐标 ； (2)E是射线上一动点，与的角平分线交于点F． ①如图2，当点E在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，若，求的度数． (3)在射线上是否存在这样的点E，使，若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26七年级下·山东日照·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，其中的算术平方根是2，是的立方根，将线段向上平移个单位得到线段． (1)________，________； (2)若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标； (3)如图2，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论． 11．（25-26七年级下·吉林四平·期末）在直角坐标系中，已知点，，，是的立方根，方程是关于，的二元一次方程，为关于的不等式组的最大整数解． (1)求点、、的坐标； (2)如图，若点为轴负半轴上的一点，点，连接，，当时，，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． (3)如图，若点为轴负半轴上的一点，平分，平分，当时，请直接写出的度数． 12．（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足．    (1)直接写出点 ，点 的坐标； (2)如图，坐标轴上有两动点 ，同时出发，点 从点 出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿 轴正方向以每秒个单位长的速度匀速运动，当点 到达点整个运动随之结束；点 的坐标是，设运动时间为 秒；是否存在 ，使与的面积相等？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且平分，点 是线段上一动点，连接交于点 ，当点 在上运动的过程中， 说明的理由； 直接写出，，之间的数量关系． ◆题型4 平面直角坐标系与全等三角形的综合 题型模版 1.特征：在坐标系背景下证明三角形全等，或用全等求点的坐标、线段长度。 2.方法：根据坐标求水平、竖直线段长；寻找或构造“横平竖直”的对应边；利用AAS、ASA、SAS、HL判定全等；通过对应边相等建立方程。 13．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上． (1)如图①，若 ，，求点C的坐标． (2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标． (3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 14．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 15．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 (1)求、的坐标； (2)如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 16．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个等腰，使等腰的内部（不含边）含两个整点； (2)在图2中画一个，使点纵坐标的平方和等于它们横坐标和的2倍． ◆题型5 平面直角坐标系背景下的自定义问题 题型模版 1.特征：题目先给出新定义（如“开心点”“纵变点”“阶对应点”等），再按定义求解。 2.方法：仔细阅读定义，把文字条件翻译成坐标满足的等式或不等式；按定义逐步计算；注意定义中的限制条件（如整数点、象限等）。 17．已知当，都是实数．且满足时，称为“开心点” （1）判断点，是否为“开心点”，并说明理由； （2）若点是“开心点”，请判断点在第几象限？并说明理由； 18．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是______； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______． 19．（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数的点称为整点，例如 都是整点，且线段上有 三个整点．已知点 ． (1)若实数满足． ①写出点的坐标 ，点的坐标 ； ②线段上整点的个数为 ； (2)当时，线段上恰有个整点，求的取值范围； (3)若线段上整点的个数不少于个且不超过个，直接写出线段长度的取值范围． 20．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，定义：对于点，若点的坐标为，为常数，则把点叫作点的“阶对应点”．例如，点的“3阶对应点”为． (1)点的坐标为， ①点的“阶对应点”的坐标为________； ②若点的阶对应点恰好落在轴上，求点的坐标； (2)已知点，，若对于线段上的任意点，都存在，使点的“阶对应点”恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为，求的取值范围． ◆题型6 平面直角坐标系中的规律探究问 题型模版 1.特征：点在坐标系中按一定规律运动或排列，要求写出一般规律或某一点的坐标。 2.方法：列出前几项坐标，分别观察横坐标、纵坐标的变化规律；常用等差、等比、周期、平方数列；归纳通项后用通项计算。 21．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 22．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）如图，物质甲与物质乙分别由点同时出发，沿正方形的边做环绕运动，物质甲按逆时针方向以1单位/s的速度匀速运动，物质乙按顺时针方向，以2单位/s的速度匀速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是______________． 23．（25-26七年级下·广东广州·期末）广州市人民公园内一圆形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 24．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为______． 25．如图所示，A1（1，），A2（，），A3（2，），A4（3，0）．作折线A1A2A3A4关于点A4的中心对称图形，再做出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线一每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当t＝2020时，点P的坐标为（　　） A．（1010，） B．（2020，） C．（2016，0） D．（1010，） 26．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，则： ①表示的数是______； ②若在，则的值为______． 27．（25-26七年级下·福建福州·期末）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．根据以下素材，探索完成任务． 素材 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为，， 圆 几何中心 圆心 素材 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中，． 任务一 (1)求阴影部分图形的重心坐标；    任务二 (2)求阴影部分图形的重心坐标；    任务三 (3)求阴影部分图形的重心坐标；（结果保留）    28．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点是x轴正半轴上一点，点C是第四象限一点，轴交y轴负半轴于点，且，四边形的面积是16． (1)请直接写出A、B、C三点坐标． (2)如图2，设点D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数． (3)①如图3，当D点在线段上运动时，连接，过点D作交线段BC于点M，的角平分线交于点N，则D点在运动的过程中，的大小是否发生改变，若不变，请直接写出的度数，若改变，请说明理由． ②当D点在y轴正半轴上运动时，连接，过点D作交直线于点M，的角平分线所在直线交于点N，则D点在运动的过程中，的大小是否发生改变，若不变，请直接写出的度数，若改变，请说明理由． 29．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 30．（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且a，b满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________； (2)如图1，，，连接，于，交于点，交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 31．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标： ②当时，求的面积； ③当时，求t的值． 32．（25-26七年级下·广西柳州·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①；②；③；④． (2)设是坐标平面上的动点，且，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 33．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． (1)下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． (2)若点为的“系矩点”，则_____，_____． (3)若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 35．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请求出点B、C的坐标； (2)如图1，点D在线段上，点E从点D出发沿x轴负方向平移，线段轴，．当线段最短时，则的面积； (3)点E在运动过程中，探究，，之间的关系，写出结论的证明过程； 36．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． (1)如图1，当点是的中点时，求点的坐标． (2)如图2，当点在上移动时，连结，交轴于点．求证：． (3)点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积． 37．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．且； (1)如图，直接写出点的坐标：________； (2)如图，点在轴负半轴上，且，连接交轴于点，求点坐标． (3)如图，若，，试判断、位置关系，并说明理由． 38．（25-26七年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． 【问题提出】 (1)在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 (2)在点C的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 (3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出此时点C的坐标和的长度． 39．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)如图1，若，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 平面直角坐标系背景下的常见问题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 用有序数对表示位置 题型2 平面直角坐标系与图形面积的综合 题型3 平面直角坐标系与平行线的综合 题型4 平面直角坐标系与全等三角形的综合 题型5 平面直角坐标系背景下的自定义问题 题型6 平面直角坐标系中的规律探究问 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 在平面直角坐标系中解决问题，首先要准确建立或利用坐标系，明确点的坐标、线段长度与坐标差的关系：水平距离为横坐标之差的绝对值，竖直距离为纵坐标之差的绝对值。求图形面积常用割补法、等积变换或坐标公式；涉及平行线可利用平行线间距离处处相等及同底等高；涉及全等三角形要注意横平竖直的线段对应关系。对于新定义或规律探究题，要先把文字定义翻译成坐标运算，再从特殊到一般寻找规律，注意分类讨论和坐标符号。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 用有序数对表示位置 题型模版 1.特征：以行、列、序号或新定义给出位置关系，要求用有序数对表示或反推位置。 2.方法：明确有序数对两个量的含义；找数字或位置的排列规律；建立行、列与序号之间的对应关系进行转化。 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）定义：有序数对表示位于第m行第n列的一个数，如：有序数对表示位于第2行第1列的数2． (1)有序数对表示的数是___________； (2)数对应的有序数对是___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键． (1)根据图中数据变化规律可推导出表示的数； (2) 根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，如图： 由图可知偶数行第一个数是所在行数，平方后依次减少1，到该行数加1列为止；奇数行第一个数是所在列数，平方后依次减少1， ∴第6列的第一个数是5的平方加上1，再开平方，第6列的第4个数是25加上4的结果再开平方，开方后为． 故答案为：； （2）解：根据题意，由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数；…… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始． ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 故答案为：． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一台巡检机器人每秒移动一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直移动下去，如第1秒移动到的位置用有序数对表示为，则第50秒时，机器人的位置用有序数对表示为__________． 【答案】 【分析】由图可知，机器人先向上跳2格，再向右跳2格，再向下跳2格，再向右跳2格，依次循环，求出第50秒时机器人跳动6个循环，再向上跳2格，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，机器人每移动8次一个循环， ， 则机器人跳动6个循环，再向上跳2格， 第50秒时机器人的位置用有序数对表示为，即． 3．（24-25七年级下·北京·期中）初三年级某班有名学生，所在教室有行列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若小明原来的座位为，调整后的座位为，小明的位置数为______；若某学生的位置数为8，则当取最小值时，的最大值为______． 【答案】 【分析】①依题意，根据，求出，即可得到位置数；②由，得，判断出当时，最小，故此得出的最大值． 【详解】解：由变为， 故平移了， ∴位置数为； ∵， 即， 得， 当取最小值时，即最小， ∵最小值为2， ∴取最小值时，， ∴的最大值为； 故答案为：；． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 将有序数对表示第m行，从左至右第n个数，如表示自然数11． (1)观察每一行的最后一个数，然后请写出第6行的最后一个自然数：_____；有序数对表示的自然数是____； (2)表示自然数2024的有序数对是____； (3)分别记第1行的自然数的个数为，前2行所有自然数的个数为，前3行所有自然数的个数为，以此类推，前行所有自然数的个数为，则____． 【答案】(1)36，111 (2) (3) 【分析】（1）首先根据题意得到每一行数字，第一行第一个数字，每一行最后一个数字的规律，再利用规律求出第6行的最后一个自然数和有序数对表示的自然数即可； （2）首先发现在2024的附近，所以2024一定在第45行，再利用推导的规律表示自然数2024的有序数对即可； （3）首先利用规律将，，，，表示出来，再代入进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第一行有1个数字，是1； 第二行有3个数字，第一个数字是2，最后一个数字是4； 第三行有5个数字，第一个数字是5，最后一个数字是9； 第四行有7个数字，第一个数字是10，最后一个数字是16； 第五行有9个数字，第一个数字是17，最后一个数字是25； …… ∴可以得到：第n行有个数字，第一个数字是，最后一个数字是； ∴第6行的最后一个自然数为， ∵有序数对表示的是第11行第11个数字， ∴第11行有21个数字，第一个数字是101，最后一个数字是121， ∴第11行第11个数字是111； 故答案为：36，111； （2）解：由（1）得：第45行有89个数字，最后一个数字是2025， ∴2024是第45行倒数第2个数字，即为第45行第88个数字， ∴表示自然数2024的有序数对是， 故答案为： （3）解：由（1）得：第n行有个数字， ∴第一行有1个数字，第二行有3个数字，第三行有5个数字，第四行有7个数字，第五行有9个数字，第六行有11个数字， ∴，，，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对数阵规律的观察与应用，整式运算和找规律等知识点，根据数阵找到对应的规律是解题的关键． ◆题型2 平面直角坐标系与图形面积的综合 题型模版 1.特征：已知点的坐标求三角形、四边形等图形的面积，或由面积反求坐标。 2.方法：利用割补法将图形补成矩形再减；用水平宽×铅垂高÷2；等积变换转移顶点；注意坐标符号对距离的影响。 5．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6，理由见解析 (3)12 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）解：点之间的距离是定值6，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，且满足，点在轴的负半轴上，连接． (1)则___________，___________． (2)如图1，若的面积是面积的倍，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点反向移动．设移动的时间为秒，四边形与的面积分别记为，若存在时间使，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）结合算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出，再解得，即可作答． （2）由（1）得，再结合三角形的面积公式，又因为的面积是面积的倍，得出，解得； （3）先理解题意，得出，结合运动速度进行分类讨论，又因为四边形与的面积分别记为，存在时间使，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， （2）解：由（1）得， ∵点的坐标分别为，， ∴． ∴， ∵，的面积是面积的倍， ∴． ∴． ∴点C的坐标是． （3）解：由（2）得，． ∴ ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点反向移动． ∴， ∵设移动的时间为秒，四边形与的面积分别记为， ∴当时，； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，当或时， 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，一元一次方程与几何应用，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，将直角三角形和直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点，且实数满足． (1)求点的坐标． (2)如图1，点为直线上的动点，连接，设，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，点为直线上的动点，连接．请问是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据已知条件可求坐标，利用绝对值和平方的非负性可求的值，即可求坐标； （2）分类讨论在射线上或在射线上，结合已知条件利用四边形内角和或三角形外角性质求解即可； （3）延长交直线于，可求，设，若，即，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵ ∴， ∴ ∴ （2）解：若在射线上，如图， ∵， ∴， ∴ 若在线段延长线上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，为或； （3）解：延长交直线于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， 即 得或， ∴或． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，在平面直角坐标系中有一个直角，两直角边为，且，． (1)如图①，在平面直角坐标系中，点和点的坐标满足． 请直接写出A、B、C三个点的坐标：A （ ， ）B  （ ， ） C  （ ， ） ； (2)如图②，在平面直角坐标系中，点，与y轴交于点M，与x轴交于点N，求； (3)如图③，在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，且，动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 【答案】(1)，；，；0，5 (2)8 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、c的值，则可得到点A和点C的坐标；过点B作轴于点D，证明，得到，则，据此可求出点B的坐标； （2）过点C作轴于点F，轴于点E，证明，得到，则可证明，据此可得答案； （3）过点M作轴于点T，证明，得到，则，即可得到；证明，推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，根据，得到，解得，则；证明，得到，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作轴于点F，轴于点E， ∴； ∵轴，轴， ∴轴，轴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点M作轴于点T， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 平面直角坐标系与平行线的综合 题型模版 1.特征：利用平行线性质（同位角、内错角、同旁内角）或平行线间距离求解坐标与角度。 2.方法：由平行得角相等或同旁内角互补；把角度关系转化为线段比或坐标差；必要时构造“Z”型或“F”型基本图形。 9．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，交y轴于点D． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，D的坐标 ； (2)E是射线上一动点，与的角平分线交于点F． ①如图2，当点E在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，若，求的度数． (3)在射线上是否存在这样的点E，使，若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)存在；点E的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质可求得的值，得A、B的坐标，再由即可求得点D的坐标； （2）①过点F向左作，利用平行线的性质得，过点E向左作，同理得，再由角平分线的性质即可求解； ②过点F向左作，利用平行线的性质得，过点E向左作，同理得，再由角平分线的性质即可求解； （3）分两种情况考虑：①当点E在线段上时；②点E在线段的延长线上时；利用割补方法表示出的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴；； ∵交y轴于点D，， ∴； （2）解：①过点F向左作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E向左作， 同理得， ∵， ∴， ∵分别是、的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即； ②过点F向左作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E向左作， 同理得， ∵分别、的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：设， ∵；；，， ∴， ①当点E在线段上时，如图； 则，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即； ②当点E在线段的延长线上时，如图5； 则，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即； 综上，点E的坐标为或． 10．（25-26七年级下·山东日照·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，其中的算术平方根是2，是的立方根，将线段向上平移个单位得到线段． (1)________，________； (2)若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标； (3)如图2，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)4； (2)或 (3) ， 证明：过点G作、过点O作， 由平移的性质可知，， ， 、、、， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查算术平方根、立方根、两点间的距离、三角形面积公式、平移的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可； （2）设点，先求出、的长，再利用求出的值，进而求出点P的坐标； （3）过点G作、过点O作，根据平移的性质得到，利用平行线的性质得到、、、，利用求出与的关系，再利用求出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：的算术平方根是2，是的立方根， 、； （2）解：设点， 由（1）知，、， 、， 、， ， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或； （3）略． 11．（25-26七年级下·吉林四平·期末）在直角坐标系中，已知点，，，是的立方根，方程是关于，的二元一次方程，为关于的不等式组的最大整数解． (1)求点、、的坐标； (2)如图，若点为轴负半轴上的一点，点，连接，，当时，，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． (3)如图，若点为轴负半轴上的一点，平分，平分，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： 如图，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）根据立方根、二元一次方程以及不等式的概念依次求出、、、即可； （2）过点作，容易判断，则，，因此； （3）由可得，进而得到，结合角平分线的定义可得，由（2）可得，因此． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得， ∴不等式的解集为， ∵为该不等式的最大整数解， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）略 （3）解：由（2）可知，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足．    (1)直接写出点 ，点 的坐标； (2)如图，坐标轴上有两动点 ，同时出发，点 从点 出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿 轴正方向以每秒个单位长的速度匀速运动，当点 到达点整个运动随之结束；点 的坐标是，设运动时间为 秒；是否存在 ，使与的面积相等？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且平分，点 是线段上一动点，连接交于点 ，当点 在上运动的过程中， 说明的理由； 直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)存在， (3)①证明：轴轴， ，， 又， ， 轴平分， ， ， ∴； ② 【分析】（1）利用非负数的性质求出 ， ，即可得出答案； （2）先表示出， ，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）①先判断出，结合角平分线的定义可得，进而可得； ②判断出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：由（1）知，，， ，， 由运动知，，， ， ， ，， 与的面积相等， ， ， 存在时，使得与的面积相等； （3）①证明：略； ②解：猜想：， 理由如下：如图，过点 作交轴于 ，     ∵， ∴， ， ， 即． ◆题型4 平面直角坐标系与全等三角形的综合 题型模版 1.特征：在坐标系背景下证明三角形全等，或用全等求点的坐标、线段长度。 2.方法：根据坐标求水平、竖直线段长；寻找或构造“横平竖直”的对应边；利用AAS、ASA、SAS、HL判定全等；通过对应边相等建立方程。 13．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上． (1)如图①，若 ，，求点C的坐标． (2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标． (3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，即的长度不发生改变，是定值，为3 【分析】（1）作轴于点D，证明，可得，，再进一步求解即可； （2）作，易证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （3）如图，作轴于点E．证明，可得，．进一步证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点D， ∵ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，． ∴ ， ∴ 点C的坐标为． （2）解：如图，作于D．    ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴B点坐标． （3）解：的长度不发生改变．如图，作轴于点E． ∵ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ 点A的坐标为， ∴ ． ∴ ，即的长度不发生改变，是定值，为3． 【点睛】此题是考查了坐标与图形、等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 14．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 15．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数 (1)求、的坐标； (2)如图1，第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点作轴交轴于点，点是直线上一点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，线段上存在点，满足，线段延长线上存在一动点，过点作于点．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)结论①为定值，定值为1 【分析】（1）利用非负数的性质求得，，即可得到、的坐标； （2）根据题意求得点的坐标为，作于点，利用割补法求得，设点的坐标为，根据题意得到，据此求解即可； （3）利用三角形的内角和定理和外角性质求得是的平分线，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵第三象限内有一个点，点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴设点的坐标为， ∵点到两坐标轴的距离之和为9， ∴，解得， ∴点的坐标为， 作于点， ∵，， ∴ ， ∵点是直线上一点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴是的平分线， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴结论①为定值，定值为1． 16．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个等腰，使等腰的内部（不含边）含两个整点； (2)在图2中画一个，使点纵坐标的平方和等于它们横坐标和的2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，再结合整点即可得解； （2）设P点坐标为，根据点纵坐标的平方和等于它们横坐标和的2倍，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的图形； （2）解：如图，就是所求作的图形． ∵，，由题意得， ∴满足点纵坐标的平方和等于它们横坐标和的2倍． ◆题型5 平面直角坐标系背景下的自定义问题 题型模版 1.特征：题目先给出新定义（如“开心点”“纵变点”“阶对应点”等），再按定义求解。 2.方法：仔细阅读定义，把文字条件翻译成坐标满足的等式或不等式；按定义逐步计算；注意定义中的限制条件（如整数点、象限等）。 17．已知当，都是实数．且满足时，称为“开心点” （1）判断点，是否为“开心点”，并说明理由； （2）若点是“开心点”，请判断点在第几象限？并说明理由； 【答案】（1）点A（5，3）为“开心点”，点B（4，10）不是“开心点”；（2）第三象限． 【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m-1，）中，求出m和n的值，然后代入2m=8+n检验等号是否成立即可； （2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案． 【详解】解：（1）点A（5，3）为“开心点”，理由如下， 当A（5，3）时，m-1=5，＝3，得m=6，n=4， 则2m=12，8+n=12， 所以2m=8+n， 所以A（5，3）是“开心点”； 点B（4，10）不是“开心点””，理由如下， 当B（4，10）时，m-1=4，＝10，得m=5，n=18， 则2m=10，8+18=26， 所以2m≠8+n， 所以点B（4，10）不是“开心点”； （2）点M在第三象限， 理由如下： ∵点M（a，2a-1）是“开心点”， ∴m-1=a，＝2a−1， ∴m=a+1，n=4a-4， 代入2m=8+n有2a+2=8+4a-4， ∴a=-1，2a-1=-3， ∴M（-1，-3）， 故点M在第三象限． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键． 18．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是______； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______． 【答案】 （4，2） 【分析】（1）根据纵变点的定义解答即可； （2）根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）∵a=4>3， ∴=b-1=3-1=2， ∴点（4，3）的纵变点是（4，2） 故答案为：（4，2）． （2）∵ ①当a≤3时，， ∴ 解得：； ②当时，， ∴， ∴无解 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变． 19．（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数的点称为整点，例如 都是整点，且线段上有 三个整点．已知点 ． (1)若实数满足． ①写出点的坐标 ，点的坐标 ； ②线段上整点的个数为 ； (2)当时，线段上恰有个整点，求的取值范围； (3)若线段上整点的个数不少于个且不超过个，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 (3) 【分析】（1）①由加减消元法解关于的方程组即可；②在①求出的坐标基础上，结合整点定义即可求解； （2）求出点的坐标，由线段上恰有个整点，列不等式组求解即可； （3）根据整点定义，作出图形，数形结合分析求出线段长度的最大值与最小值即可确定范围． 【详解】（1）解：①∵， 解得， ∴； ②∵和之间有整数， ∴线段上整点为，，，，个数为个； （2）解：， 当时，， ∴， ∵线段上恰有个整点， ∴， ∴或； （3）解：， 就表示线段的长度， 当线段上整点的个数为个时，可取到最小值，如图所示： 个连续整数中，最大数与最小数差为，即， 当线段上整点的个数为个时，可取到最大值，如图所示： 个连续整数中，最大数与最小数差为，即， ∵线段上整点的个数不少于个且不超过个， ∴ ． 20．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，定义：对于点，若点的坐标为，为常数，则把点叫作点的“阶对应点”．例如，点的“3阶对应点”为． (1)点的坐标为， ①点的“阶对应点”的坐标为________； ②若点的阶对应点恰好落在轴上，求点的坐标； (2)已知点，，若对于线段上的任意点，都存在，使点的“阶对应点”恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据“阶对应点”的定义求解即可；②根据题意可得点的坐标为，在x轴上的点的纵坐标为0，则，解方程即可得到答案； （2）设点Q的坐标为，则点的坐标为，根据点A和点B的坐标可得点的横坐标为，据此可求出k的值，而的纵坐标要满足，据此求出t的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∴点的“阶对应点”的坐标为； ②由题意得，点的阶对应点的坐标为， ∵点恰好落在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：设点Q的坐标为，则点的坐标为， ∵点恰好落在线段上，且点的坐标为，点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标满足不小于，且不大于4， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ◆题型6 平面直角坐标系中的规律探究问 题型模版 1.特征：点在坐标系中按一定规律运动或排列，要求写出一般规律或某一点的坐标。 2.方法：列出前几项坐标，分别观察横坐标、纵坐标的变化规律；常用等差、等比、周期、平方数列；归纳通项后用通项计算。 21．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点，，，，，的运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从到共增加了次，的横坐标需要加个，个，根据变化规律计算出的横坐标． 【详解】解：根据点，，，，，的运动规律， 可知横坐标的变化规律是依次、、、， 从到共增加了次， ， 共增加了个循环，第次循环的第一次， 的横坐标需要加个，个， 的横坐标为：． 故选：C． 22．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）如图，物质甲与物质乙分别由点同时出发，沿正方形的边做环绕运动，物质甲按逆时针方向以1单位/s的速度匀速运动，物质乙按顺时针方向，以2单位/s的速度匀速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是______________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系，点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题． 分别先求出前几次相遇地点的坐标，从中找出规律求解． 【详解】解：由坐标系得正方形的边长为4， ∵物质乙的速度是物质甲的2倍，时间相同， ∴物质甲与物质乙的运动路程比为． ①第1次相遇物质甲与物质乙的运动路程和为16， ∴物质甲的运动路程为，物质乙的运动路程为， ∴在边相遇； ②第2次相遇物质甲与物质的运动路程和为， ∴物质甲的运动路程为，物质乙的运动路程为， ∴在边相遇； ③第3次相遇物质甲与物质乙的运动路程和为， ∴物质甲的运动路程为，物质乙路程为， ∴在点A处相遇； ④第4次相遇物质甲与物质乙的运动路程和为， ∴物质甲的运动路程为，物质乙的运动路程为， ∴在边相遇； ⑤第5次相遇物质甲与物质乙的运动路程和为， ∴物质甲的运动路程为，物质乙的运动路程为， ∴在边相遇；……综上可得相遇三次一个循环， ， ∴第11次相遇和第2次相遇的地点相同， ∴它们第11次相遇在边上，相遇地点的坐标是． 故答案为：． 23．（25-26七年级下·广东广州·期末）广州市人民公园内一圆形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 【答案】 43 【分析】根据两人的速度关系可求出乙跑完半马，甲所跑的路程，两人路程和减去第一次相遇所走的路程，用剩余路程除以长方形周长即为相遇次数，取整加１就是相遇总次数；根据两人的速度关系可求出到最后一次相遇乙所跑的路程，除以长方形周长就可知最后一次相遇时乙的位置． 【详解】解：∵乙的速度是机器人甲的速度2倍， ∴设甲的速度为，则乙的速度为， 乙从出发到跑完半马用时， 此时甲跑了米， 则甲乙共跑了（米）， 第一次相遇时，两人共走了（米）， 则剩余路程为（米）， 从第一次相遇后每合跑米，两人相遇一次， 则相遇（次）， 取整数则相遇42次，加上第一次相遇，共相遇（次）； ∵设甲的速度为，则乙的速度为， ∴第一次相遇时，乙跑了（米） 第一次相遇后每合跑一圈，乙跑（米）， 则最后一次相遇时乙跑的总路程为（米）， ， 即乙跑了28圈加380米，即又回到． 24．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律型问题，等边三角形的性质等知识点，观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，确定点在x轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解答本题的关键． 【详解】观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数， ， 点在x轴上方， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 同理可知，点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．如图所示，A1（1，），A2（，），A3（2，），A4（3，0）．作折线A1A2A3A4关于点A4的中心对称图形，再做出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线一每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当t＝2020时，点P的坐标为（　　） A．（1010，） B．（2020，） C．（2016，0） D．（1010，） 【答案】A 【分析】把点P从O运动到A8作为一个循环，寻找规律解决问题即可． 【详解】由题意OA1＝A3A4＝A4A5＝A7A8＝2，A1A2＝A2A3＝A5A6＝A6A7＝1， ∴点P从O运动到A8的路程＝2+1+1+2+2+1+1+2＝12， ∴t＝12， 把点P从O运动到A8作为一个循环， ∵2020÷12＝168余数为4， ∴把点A3向右平移168×3个单位，可得t＝2020时，点P的坐标， ∵A3（2，），168×6＝1008，1008+2＝1010， ∴t＝2020时，点P的坐标（1010，）， 故选：A． 【点睛】本题考查坐标与图形变化，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 26．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，则： ①表示的数是______； ②若在，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，推出第n排，有个数，且最大的数为，据此可解决问题． ①根据题中数的排列规律，依次找出第5排，第6排，第7排的第1个数和最后一个数，再根据奇数排从左往右根号下的数依次加1，据此解答即可； ②根据题中数的排列规律，推出第n排，有个数，且最大的数为，再由，确定第45排的第1个数和最后一个数，从而找出所在的位置，得出x，y的值，再计算． 【详解】①解：根据题意，第5排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第6排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第7排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第7排从左往右第6个数为， 表示的数是； 故答案为：； ②解：根据题中数的排列方式，可知第n排，有个数，且最大的数为， 当n为奇数时，从左往右，根号下的数依次加1； 当n为偶数时，从左往右，根号下的数依次减1； 又， 第45排从左往右，最后一个数为， 第46排从左往右，第一个数为，最后一个数为， 在第46排的最后1个数，即第个数． ，，． 故答案为：137． 27．（25-26七年级下·福建福州·期末）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．根据以下素材，探索完成任务． 素材 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为，， 圆 几何中心 圆心 素材 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中，． 任务一 (1)求阴影部分图形的重心坐标；    任务二 (2)求阴影部分图形的重心坐标；    任务三 (3)求阴影部分图形的重心坐标；（结果保留）    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由素材的方法步骤求解即可； （2）由素材的方法步骤求解即可； （3）由素材的方法步骤求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 则，，，，，， 令正方形面积为，长方形面积为，则，， ，， 令正方形的重心为，长方形的重心为，阴影部分图形重心坐标为， ∵正方形和长方形的重心均在其对角线交点处， ，， ，， ∴阴影部分图形重心坐标为； （2）解：如图所示： 则，，，，，， 令面积为，面积为，正方形面积为，面积为，则，，，， ，则，，，， 令的重心为，的重心为，正方形的重心为，的重心为，阴影部分图形重心坐标为， ，；，；，； ，，， ∵正方形的重心在其对角线交点处， ， ，， ∴阴影部分图形重心坐标为； （3）解：如图所示： 则，，，，， 令面积为，长方形面积为，圆形面积为，则，，， ，则，， 令的重心为，长方形的重心为，圆形重心为，五边形重心为，阴影部分图形重心坐标为， ，， ， ∵长方形的重心在其对角线交点处， ， ，， ， ， ，， ∴阴影部分图形重心坐标为． 28．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点是x轴正半轴上一点，点C是第四象限一点，轴交y轴负半轴于点，且，四边形的面积是16． (1)请直接写出A、B、C三点坐标． (2)如图2，设点D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数． (3)①如图3，当D点在线段上运动时，连接，过点D作交线段BC于点M，的角平分线交于点N，则D点在运动的过程中，的大小是否发生改变，若不变，请直接写出的度数，若改变，请说明理由． ②当D点在y轴正半轴上运动时，连接，过点D作交直线于点M，的角平分线所在直线交于点N，则D点在运动的过程中，的大小是否发生改变，若不变，请直接写出的度数，若改变，请说明理由． 【答案】(1)、、 (2) (3)①的大小不变，；②的大小发生改变， 【分析】（1）先根据算术平方根的非负性求解坐标，再由梯形的面积公式求解的坐标即可； （2）设，根据角平分线的定义得出，得出，求出，得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案； （3）①连接，设，，根据平行线的性质得出，即，求出，根据求出结果即可；②连接，同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点C的坐标为； （2）解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①的大小不变，，理由如下： 连接，如图所示： ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②的大小发生改变，，理由如下： 连接， ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ∴，设 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 29．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)；0 (2)或 (3)；或． 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，求出，即可得解； （2）先求出面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分类讨论：点在点下方，点在点上方，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． （2）解：∵点B的坐标是，， ∴ ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的， ∴ 解得：． ∴点或． （3）解：点往上平移个单位得到点， ∴点， 当点在射线上（、）不重合，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点在的上方，设于交于， ∵ ∴， ∵ ∴． 30．（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且a，b满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________； (2)如图1，，，连接，于，交于点，交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据非负性求解即可； （2）根据互余证明，根据等腰三角形的性质可得，再证明，可得，，再证明，即可得解； （3）当N在线段上时，过点作，延长交于点．先证明，可得，再证明，可得，即可得解；当N在的延长线上时，同理证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：；； （2）解：，， ， ， ， ， 又在中，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ∴，∴； （3）解：或， 当N在线段上时，过点作，延长交于点，设于P．如图，   ，， ， ，， 又， ． ， ． 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当N在的延长线上时，如图，   同理可得，． 31．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标： ②当时，求的面积； ③当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①，，；②的面积为；③ 【分析】（1）根据 ，正方形的边长为4，即可求出； （2）①利用绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方的非负性求出，，，进一步得到，，，即正方形的边长为3，得到，即可解答； ②当时，，，此时P点位于上，结合图形利用割补法求面积即可； ③先确定，，然后运用割补法求面积以及列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴，，， ∵ ， ∴，，， ∴； （2）解：①∵， ∴，，， ∴，，， 即正方形的边长为， ∴， 答：，，； ②当时，，， ∴P点位于上，如图，连接， ∴； ③由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 32．（25-26七年级下·广西柳州·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①；②；③；④． (2)设是坐标平面上的动点，且，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)解：不存在．理由如下： 假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的， ∴，，，和，，，均是“坐标相合”的， 同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾． ∴不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 【分析】（1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可； （2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可； （3）利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 【详解】（1）解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点； 故答案为：①②③； （2）解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的， ∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上， ∴ 解得； （3）略 33．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①A，C；②或；③ (2) 【分析】（1）①分别期初四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； ②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可； （2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． 【详解】（1）①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； （2）∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 ∵R，S两点为“和合点”， ∴． 【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． (1)下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． (2)若点为的“系矩点”，则_____，_____． (3)若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 【答案】(1)②③④ (2)或；； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，去绝对值，解一元一次方程，理解系矩点”的含义是解题的关键． （1）根据“系矩点”的定义，即可求解． （2）由题意可得，可得，再求解，即可得出的值． （3）由题意可得的最大值和最小值为：，，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， 根据题意可得的“系矩点”都有：，，，， 故答案为②③④． （2）解：∵点为的“系矩点”， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或，． （3）解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”， ∴，， ∴的取值范围为：． 35．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请求出点B、C的坐标； (2)如图1，点D在线段上，点E从点D出发沿x轴负方向平移，线段轴，．当线段最短时，则的面积； (3)点E在运动过程中，探究，，之间的关系，写出结论的证明过程； 【答案】(1)； (2) (3)或，理由如下： 如图，当点E在y轴右侧时， 轴， ， ， 轴， ， ， ， 如图，当点E在y轴左侧时， 同理可知， ； 综上，或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，非负性等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后写出点的坐标即可； （2）由垂线段最短可知，当时，最短，据此求解即可； （3）分情况分析：当点E在y轴右侧时，当点E在y轴左侧时，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 坐标分别为； （2）解：由垂线段最短可知，当时，最短， 如图，设与y轴交于点M， ∵轴， ∴轴， 由（1）得， ∴轴，， 四边形为长方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）略． 36．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． (1)如图1，当点是的中点时，求点的坐标． (2)如图2，当点在上移动时，连结，交轴于点．求证：． (3)点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2) 过点作轴，则， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)32或128 【分析】（1）过点作轴，证明，即可得出结果； （2）过点作轴，由（1）可知，，进而得到，证明，即可得证； （3）分点三点共线，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴，则：， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）①当三点共线时，如图， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，在轴上， 不存在，不符合题意； 故不存在为等腰三角形，且； 综上：或128． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 37．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．且； (1)如图，直接写出点的坐标：________； (2)如图，点在轴负半轴上，且，连接交轴于点，求点坐标． (3)如图，若，，试判断、位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)证明：垂直，理由如下： 如图，连接、交于点， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ∴， ，， ∴， ， ∴， 在与中， ， ， ∴， ∴． ． 【分析】（1）由偶次幂及算术平方根的非负性可得，过点作，由题意易得，则有，，然后问题可求解； （2）过点作，过点作，由题意易得，，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）连接、交于点，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ； （2）解：如图，过点作，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； ， ； （3）略 38．（25-26七年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． 【问题提出】 (1)在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 (2)在点C的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 (3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出此时点C的坐标和的长度． 【答案】(1)， 证明：，都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ； (2)点C在运动过程中，的度数不会发生变化， 理由如下： 是等边三角形， ． ， ， ． 点在运动过程中，的度数不变，； (3)点C的坐标为， 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，再说明，可证，进而得出答案； （2）根据等边三角形的性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据得出结论； （3）先根据全等三角形的性质及等边三角形的性质得，，即可得出以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，然后根据直角三角形的性质得；过点作，交于点，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ． ， ， ，， 以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰． 在中，，， ， ， ． 当点的坐标为时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形； 过点作，交于点， 为等边三角形，， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 39．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)如图1，若，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①②为定值， 【分析】（1）根据可得，，，进而求出的面积； （2）根据可得，进而求出此时点的坐标； （3）①设，，由得，由可得，进而求解；②设，由可得，由可得，进而求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， ，， ， 的面积为； （2）， ，即， 解得或， 此时点的坐标为或； （3）①设，， 如图，过点作射线，则，，则， ， ，即， ， ； ②为定值， 设， ， ，即， ， ，即， ， 即为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $