专题11一元一次不等式的有关6类重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过题型归纳与压轴挑战构建“性质应用-参数讨论-综合迁移”的递进式训练体系，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心方法|明确不等式性质应用、参数分类讨论、综合转化等通法|从性质原理到应用策略，构建基础认知| |基础题型|24题（6类）|每题型配“性质判断”“定义转化”等模版|衔接方程与几何，形成知识网络| |压轴挑战|14题|高阶思维训练，强化跨情境迁移|从基础到综合，提升推理与应用能力|

专题11 一元一次不等式的有关类型题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 式与不等式性质的综合 题型2 自定义背景下的不等式字母参数问题 题型3 不等式与方程（组）的综合问题 题型4 由不等式解集讨论字母参数取值 题型5 用不等式解决实际问题 题型6 用不等式解决几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次不等式是初中代数的重要内容。解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但须特别注意：当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向必须改变。含参数的不等式需结合不等式性质分类讨论参数符号；由解集反求参数时，要比较解集端点与已知解集的关系。不等式与方程（组）的综合问题，常通过消元、代入把条件转化为不等式；应用题则要抓住关键词（如“不超过”“至少”“不少于”）建立不等式（组），结合实际意义取整数解。 题型1 式与不等式性质的综合 ◆题型1 式与不等式性质的综合 题型模版 1. 利用不等式基本性质判断变形是否正确。 2. 注意乘除负数时不等号方向改变。 1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若为有理数，则下列结论正确的有_______． ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 4．（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知实数x，y满足． (1)因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； (2)已知实数z，k，满足，且．求证：； (3)在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 题型2 自定义背景下的不等式字母参数问题 ◆题型2 自定义背景下的不等式字母参数问题 题型模版 1. 把新定义或背景条件转化为代数关系。 2. 根据参数范围分类讨论或建立不等式。 5．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 6．（24-25七年级上·重庆·期中）若与都是各数位上的数字均不为0的两位数，且与的十位数字之和为9，个位数字相同，则称，互为“欢庆数”． (1)11的“欢庆数”是________；26________23的“欢庆数”（填“是”或“不是”）； (2)若有一组“欢庆数”与，先将的个位数字与十位数字交换之后得到，将的个位数字与十位数字交换之后得到，再将放在的右边组成一个四位数，若A能被24整除，求满足条件的所有正整数． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 8．（25-26七年级下·福建漳州·期中）对x、y定义一种新运算S，规定：（其中m、n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算． 例如：． (1)当，时，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，若关于k的不等式至少有2个正整数解，求p的取值范围； (3)若对任意数x、y都成立，则m、n应满足怎样的关系式？ 题型3 不等式与方程（组）的综合问题 ◆题型3 不等式与方程（组）的综合问题 题型模版 1. 先解方程（组），用参数表示未知数。 2. 将解的限制条件代入得到参数不等式。 9．（25-26七年级下·重庆·期中）已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 10．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是______． 11．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为____________． 12．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 题型4 由不等式解集讨论字母参数取值 ◆题型4 由不等式解集讨论字母参数取值 题型模版 1. 按不等式性质求解含参数不等式。 2. 对比解集端点与已知解集，列方程或不等式求参数。 13．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·全国·周测）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是______． 16．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式恰有两个正整数解时，m的取值范围是________． 题型5 用不等式解决实际问题 ◆题型5 用不等式解决实际问题 题型模版 1. 审清题意，找出不等关系关键词。 2. 设未知数，列不等式（组）并检验实际意义。 17．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 18．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完，要使总利润不少于6190元，有多少种进货方案？ 19．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 20．（25-26七年级下·福建厦门·期中）综合与实践． 【实践主题】探究安全通过十字路口的条件． 【问题情境】如图，互相垂直的十字形的路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 【安全条件】条件一：一般的十字路口，红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 条件二：如图所示，某十字路口东西方向和南北方向的道路宽窄一致．假设当绿灯亮时，骑车人A马上从等待线出发，若他不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就意味着可以保证交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 【实验数据】根据调查，某十字路口，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． (1)骑车人A需要骑行______米才能通过此十字路口． (2)若，，，假设此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (3)欲保证此十字路口交通安全，请求出红绿灯时间差t应满足的条件． 题型6 用不等式解决几何问题 ◆题型6 用不等式解决几何问题 题型模版 1. 结合图形性质建立边、角关系。 2. 把几何条件转化为一元一次不等式求解。 21．如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) _____．    22．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 23．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 24．如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 26．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）定义一种新运算：． ①； ②若，则或； ③若，则； ④若，则的最小值为9． 以上说法正确的有（     ） A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 27．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 28．（24-25七年级下·浙江金华·期末）现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示．从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形．在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（    ） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 29．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 30．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）一条长为2010的线段被分为三条长度都是整数的线段，并且这三条线段可围成一个三角形，所得三角形的最长边与最短边的差的最大值是______． 31．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）若关于的一元一次不等式的解集相同，则实数满足的关系是______． 32．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，，记，则的取值范围是__________． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）某次考试共有名学生参加，共做对了道题．做对道及以下为不及格，做对道及以上为优秀，问不及格的人数和优秀的人数的大小关系？并给出理由． 34．（25-26八年级下·福建泉州·期末）数学来源于生活，用日常生活中的淡盐水做实验，也能发现一些数学结论． 现有两杯质量均为a克的盐水，每杯中均含有b克盐，盐水的浓度（即盐与盐水的质量比值）均为． 实验一：在第一杯盐水中，再加入m克水（盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水变淡了，我们发现盐水浓度会随加水量增加而降低，可用不等式表达为：． 实验二：在第二杯盐水中，再加入m克盐（盐完全溶解于水，盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水更咸了，我们发现盐水浓度会随加盐量增加而升高，可用不等式表达为：________． (1)写出实验二中的不等式：________，并证明该不等式的正确性； (2)请运用以上的结论，完成以下证明：若a，b，c是三边的长，求证：． 35．（25-26七年级下·福建福州·期末）对于x的不等式（其中），我们称方程“”是它的“原方程”，不等式“”是它的“逆否不等式”． (1)对于不等式，它的“原方程”的解是 ； (2)对于x的不等式（其中），若不等式和它的“逆否不等式”有相同的解集，求a和b的数量关系；（用等式表示） (3)若不等式的“原方程”的解是大于1的正整数，且它的“逆否不等式”存在最小整数解，请求出这个最小整数解． 36．（25-26七年级下·广东广州·期末）某数学小组为研究学校食堂排队时间，考察了两个窗口的运营情况，以下是他们的研究记录，请阅读并解决问题． 目标确定 套餐窗口 自选窗口 信息收集 每份套餐打餐时间一样，每人只能打一份套餐． 每人必须自选一份主食（米饭或面食）和一份菜，不同菜品的打菜时间相同． 数据整理 套餐窗口有人，全部打完用时秒． 在套餐窗口打一份套餐的时间等于自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间． 自选窗口有人，全部打完用时秒（记录被漏水盖住，只记得）．这人中，米饭和面食都有人选，选米饭的人数比选面食的人数多人（为正整数），每份面食的打餐时间比每份米饭的打餐时间慢秒． 问题解决： (1)根据调查数据，填空：套餐窗口中每份套餐打餐时间为 秒；自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间为 秒，一份面食和一份菜的总打餐时间为 秒． (2)小组发现与有关，请你帮他们分析两者关系，并结合已知数据，推导的所有可能取值． (3)方案设计：食堂为提升就餐体验，对窗口打餐速度（单位：人/分钟）进行了优化．经调查发现：套餐窗口打餐速度不变，自选窗口打餐速度调整为人/分钟．窗口开放前已有人在排队，开放后新到达人数为平均每分钟人（均匀到达）．在排队清空之前，所有开放窗口一直有人在排队．当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队；当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队．现食堂决定开放个窗口（两种窗口都必须有），请列出套餐窗口与自选窗口的分配方案，使得排队人数在分钟或更短时间内首次降为，并说明理由． 37．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 38．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 39．（25-26七年级下·山东临沂·期末）从国家邮政局获悉，2026年月，快递业务收入累计完成亿元，同比增长，快递业务极大程度为我们的生活提供了便利．一家快递公司在某一个城市对物品的寄件方式和收费标准如下： Ⅰ．寄件方式分为标准快递和特惠快递两种，标准快递既可以寄往市内也可以寄往市外，特惠快递只能寄往市内． Ⅱ．两种寄件方式都按照每件快递包裹的重量（单位：千克）计算快递费用． （i）标准快递规定寄往市内的每件快递包裹重量不超过1千克的，需付费10元，超过1千克的部分按每千克4元计价；寄往市外的每件快递包裹重量不超过1千克的，需付费12元，超过1千克的部分按每千克8元计价． （ii）特惠快递规定每件快递包裹重量不超过5千克的，需付费元，超过5千克的部分按每千克元计价． 下表是一位客户在该快递公司三次寄往市内的寄件情况： 第一次 第二次 第三次 快递物品：A 寄件方式：特惠快递 件数：1 包裹重量：8千克 支付的快递费用：33元 快递物品：A 寄件方式：特惠快递 件数：1 包裹重量：10千克 支付的快递费用：45元 快递物品：A 寄件方式：__________ 件数：1 包裹重量：1.8千克 支付的快递费用：13.2元 根据以上信息，解决下列问题： (1)①求出，的值； ②第三次的寄件方式是 快递（填“标准”或“特惠”）． (2)在该快递公司快递物品A， ①分别寄往市内、市外各1件，寄往市内的快递包裹重量为4千克，寄往市外的快递包裹重量为7千克，一共支付的快递费用最少为多少钱？ ②寄往市内1件，如果选择标准快递所支付的费用大于选择特惠快递所支付的费用，请写出这件快递包裹的重量（单位：千克）的取值范围为 ，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元一次不等式的有关类型题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 式与不等式性质的综合 题型2 自定义背景下的不等式字母参数问题 题型3 不等式与方程（组）的综合问题 题型4 由不等式解集讨论字母参数取值 题型5 用不等式解决实际问题 题型6 用不等式解决几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次不等式是初中代数的重要内容。解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但须特别注意：当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向必须改变。含参数的不等式需结合不等式性质分类讨论参数符号；由解集反求参数时，要比较解集端点与已知解集的关系。不等式与方程（组）的综合问题，常通过消元、代入把条件转化为不等式；应用题则要抓住关键词（如“不超过”“至少”“不少于”）建立不等式（组），结合实际意义取整数解。 题型1 式与不等式性质的综合 ◆题型1 式与不等式性质的综合 题型模版 1. 利用不等式基本性质判断变形是否正确。 2. 注意乘除负数时不等号方向改变。 1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，完全平方公式和非负数的性质，熟练掌握相关知识的关键． 由，可得，．利用不等式的性质和完全平方公式，在左边配方成，此时右边为，运用非负数的性质判断的范围，同理②③也可以判断出范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故①正确； 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故②正确； 同理可得，③也正确，共3个． 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若为有理数，则下列结论正确的有_______． ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 【答案】②④ 【分析】相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，对四个命题逐一分析每个命题的正确性． 【详解】解：①不正确：反例： 若，，则， 但，， 故，不满足 ． ②正确：若，则不等式两边同乘，不等号方向改变， 得， 即的相反数小于的相反数． ③不正确：反例：若，，则， 但，， 故，不满足． ④正确：若，，则，， 故，即． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知实数x，y满足． (1)因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； (2)已知实数z，k，满足，且．求证：； (3)在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得． ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得， ； (3)，， 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）根据不等式的性质进行证明即可； （3）由（2）得，且k，x均为整数，从而得出，即可得出，或，，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 在不等式两边同时乘以正数得：； （2）略 （3）解：由（2）得，且k，x均为整数， 为整数， ． ，；，． ①当，时， ， ，即， ，且z，y都是整数， ， ，故此种情况不成立，舍去； ②当，时， ， ，即， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，，，． 题型2 自定义背景下的不等式字母参数问题 ◆题型2 自定义背景下的不等式字母参数问题 题型模版 1. 把新定义或背景条件转化为代数关系。 2. 根据参数范围分类讨论或建立不等式。 5．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式，不等式的性质，熟练将所求的式子用一个字母表示是解题的关键． （1）根据可得，可用表示，再将其代入所求式子即可； （2）根据题意得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即， 得，即， 把代入①，可得， 可得， ； （2）解：，解得：， ，解得：， ， 则， ，即． 6．（24-25七年级上·重庆·期中）若与都是各数位上的数字均不为0的两位数，且与的十位数字之和为9，个位数字相同，则称，互为“欢庆数”． (1)11的“欢庆数”是________；26________23的“欢庆数”（填“是”或“不是”）； (2)若有一组“欢庆数”与，先将的个位数字与十位数字交换之后得到，将的个位数字与十位数字交换之后得到，再将放在的右边组成一个四位数，若A能被24整除，求满足条件的所有正整数． 【答案】(1)81；不是 (2)3336，6168，9792 【分析】（1）由新定义解答即可； （2）设m的十位数字为a，个位数字为b，则n的十位数字为，个位数字为b，用含a，b的代数式表示出新四位数，然后根据新四位数能被24整除讨论即可得解； 解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴11的“欢庆数”是81， ∵，， ∴26不是23的“欢庆数”； （2）解：设m的十位数字为a，个位数字为b， 则n的十位数字为，个位数字为b， 由题意知，解得， ∴； ∴表示的两位数为，表示的两位数为， ∴A表示的四位数为， ∵A表示的四位数要被24整除， ∴必须为整数， ∵m与n都是各数位上的数字均不为0的两位数， ∴，且a，b都为整数， ∴， ∵要想为整数， ∴或，解得或， ∵， ∴的整数或的整数， 解得的整数或的整数， ∵， ∴的整数或的整数， ∴的整数： 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 的整数： 当时，是整数，符合题意； ∴， ， ， 满足条件的所有正整数：为3336，6168，9792． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对新定义的理解与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）利用加减消元法求出相应的，的值再根据新定义求出x，y的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 由得， 由得， 解得， ， 把代入得， 解得， ． 8．（25-26七年级下·福建漳州·期中）对x、y定义一种新运算S，规定：（其中m、n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算． 例如：． (1)当，时，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，若关于k的不等式至少有2个正整数解，求p的取值范围； (3)若对任意数x、y都成立，则m、n应满足怎样的关系式？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义运算列关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据新定义列关于k的不等式，至少有2个正整数解时，不等式的解至少包含正整数1和2，进而列关于p的不等式，即可求解； （3）根据等式恒成立整理得到m和n的关系式，用到的性质为等式恒成立时对应项系数必为0． 【详解】（1）解：，， 解得； （2）解：由（1）得， ， 解不等式，得：， 关于k的不等式至少有2个正整数解， ， ； （3）解：， ， ， 整理得， 对任意数x、y都成立， ， ． 题型3 不等式与方程（组）的综合问题 ◆题型3 不等式与方程（组）的综合问题 题型模版 1. 先解方程（组），用参数表示未知数。 2. 将解的限制条件代入得到参数不等式。 9．（25-26七年级下·重庆·期中）已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】先解方程组得到关于的表达式，再根据的范围判断③，再分别代入的值验证①②即可． 【详解】解：解方程组， 两式相加得，化简得， 两式相减得，化简得， ∵x为非负数，y为负数， ∴， 解得不等式组的解集为，故③正确． ① 当时， 左边， 右边， 左边右边，因此方程组的解满足，故①正确． ② 当时， ， ， ∴， ∵ ， ∴的立方根为，故②正确． 10．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，则，据此根据题意建立关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 题型4 由不等式解集讨论字母参数取值 ◆题型4 由不等式解集讨论字母参数取值 题型模版 1. 按不等式性质求解含参数不等式。 2. 对比解集端点与已知解集，列方程或不等式求参数。 13．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知不等式的解集判断的符号，得到与的数量关系，再代入所求不等式，结合不等式性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向改变， ∴，且， 整理得， ∵， ∴，即， 将代入不等式得， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即所求不等式的解集为． 14．（25-26七年级下·全国·周测）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 15．（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据已知不等式的解集，判断出，得到与的等量关系，代入所求不等式，根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴，且，即， 将代入不等式，得 ， 整理得， ∵， ∴， 即所求不等式的解集为． 16．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式恰有两个正整数解时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新定义运算化简不等式，求解不等式得到的解集，结合不等式恰有两个正整数解构造关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：根据定义的新运算可得 原不等式化为 移项得 不等式恰有两个正整数解 不等式的两个正整数解为， 因此可得 不等式两边同时减，得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 题型5 用不等式解决实际问题 ◆题型5 用不等式解决实际问题 题型模版 1. 审清题意，找出不等关系关键词。 2. 设未知数，列不等式（组）并检验实际意义。 17．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 18．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完，要使总利润不少于6190元，有多少种进货方案？ 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元 (2)共有3种进货方案，方案1：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔；方案2：购进81个甲型头盔，119个乙型头盔；方案3：购进82个甲型头盔，118个乙型头盔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进7个甲型头盔和6个乙型头盔需要600元，购进5个甲型头盔和8个乙型头盔需要670元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个甲型头盔，则购进个乙型头盔，根据“购进200个这两种型号的头盔的总费用不超过10200元，且全部售出后获得的总利润不少于6190元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元， 根据题意得：， 解得：． 即购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元． （2）解：设购进m个甲型头盔，则购进个乙型头盔， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为80，81，82， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进80个甲型头盔，120个乙型头盔； 方案2：购进81个甲型头盔，119个乙型头盔； 方案3：购进82个甲型头盔，118个乙型头盔． 19．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 【答案】探究一：（1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）最多能做6个礼品盒； 探究二：最多能做32个礼品盒； 探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）略 （2）根据题意可得， 即， 解得： ， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为32， 即最多能做32个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 20．（25-26七年级下·福建厦门·期中）综合与实践． 【实践主题】探究安全通过十字路口的条件． 【问题情境】如图，互相垂直的十字形的路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 【安全条件】条件一：一般的十字路口，红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 条件二：如图所示，某十字路口东西方向和南北方向的道路宽窄一致．假设当绿灯亮时，骑车人A马上从等待线出发，若他不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就意味着可以保证交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 【实验数据】根据调查，某十字路口，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． (1)骑车人A需要骑行______米才能通过此十字路口． (2)若，，，假设此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (3)欲保证此十字路口交通安全，请求出红绿灯时间差t应满足的条件． 【答案】(1) (2)此路口红绿灯实际时间差，不能保证交通安全 (3) 【分析】（1）连接，，观察图形发现骑车人A需要骑行通过的路程为，根据线段和差计算即可得答案. （2）根据图形求出机动车B从等待线出发行驶到线时的路程，骑车人A需要骑行通过的路程，把速度统一单位后，代入、、的值，分别求出骑车人通过路口的时间，机动车B从等待线出发行驶到线时的时间，再求出两者时间差，和实际时差比较即可判断能否保证交通安全. （3）要保证此十字路口交通安全，骑车人通过的时间要大于红绿灯时间差与机动车从等待线出发行驶到线时的时间之和，即：，根据条件求出、，即可列不等式，解出即可得红绿灯时间差t应满足的条件. 【详解】（1）解：如图， 连接，，则：骑车人A需要骑行通过的路程为，根据题意得：，， ∴（米）， ∴骑车人A需要骑行的路程为米. （2）解：根据图形得：机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为： （米）， 由（1）得：，， ∴骑车人A需要骑行通过的路程为：（米）， 当，时，，（米）， ∴骑车人A需要骑行通过的路程为：（米）， 机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为：（米）， ∵， ∴自行车平均时速为， ∴机动车平均时速为， ∴骑车人通过的时间为：， 机动车B从等待线出发行驶到线时的时间为：， ∴红绿灯时间差为：（） ∵， ∴此路口红绿灯实际时间差，不能保证交通安全. （3）解：由（1）得：骑车人需要骑行通过的路程为米， 由（2）得：机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为：（米）， ∵自行车平均时速为，机动车平均时速为， ∴自行车平均时速为：，机动车平均时速为， ∴骑车人需要骑行通过的时间为：， 机动车B从等待线出发行驶到线时的时间为：， 要保证此十字路口交通安全，骑车人通过的时间要大于红绿灯时间差与机动车从等待线出发行驶到线时的时间之和，即：， ∴， ∴， ∴要保证此十字路口交通安全，红绿灯时间差t应满足的条件为：. 题型6 用不等式解决几何问题 ◆题型6 用不等式解决几何问题 题型模版 1. 结合图形性质建立边、角关系。 2. 把几何条件转化为一元一次不等式求解。 21．如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) _____．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，求不等式的整数解；根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，…， 则，，…， ∵， ∴°，，的度数，，…， ∴， 解得． 当时，n<． 由于为整数，故． ∵n<． ∴ 故答案为：；． 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①； ②，证明如下： 延长交于点N， 由翻折可知：， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； (3)且 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用． （1）设，根据三角形内角和定理求出，再根据是的外角，由，即可求解； （2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点落在上，即时，当点M落在上时，的临界值，再根据点在的内部（不包含的边），即可得出的取值范围为；②延长交于点N，由翻折可知：，利用三角形外角的性质进行推导即可； （3）设，当射线与射线交于点P时，利用三角形内角和定理结合，求出；当射线与射线交于点P时，同理求出，当直线与直线平行时，得到，再结合，即可得出结论． 【详解】（1）解：设， 在中： ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由（1）可得当点落在上，即时，， 如图，当点M落在上时， 则， ∵点在的内部（不包含的边）， ∴的取值范围为； ②略 （3）解：∵，可设， 如图1，当射线与射线交于点P时， ∵， ， 且， ∴， ∴， ∴； 如图2，当射线与射线交于点P时， ， ∵ ， 且， ∴， ∴， ∴， 当直线与直线平行时，则， ∴， ∴， ∴， ∵所在直线相交于点P， ∴， 又∵点D从B运动到点C停止， ∴， ∴且． 23．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 24．如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值． 【详解】解：①若 当时，解得：，； 当时，解得：；； ②若 当时，解得：，； 当时，解得：，； 又方程有三个整数解， 可得：或，根据绝对值的非负性可得：． 即只能取． 故选：B． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键． 26．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）定义一种新运算：． ①； ②若，则或； ③若，则； ④若，则的最小值为9． 以上说法正确的有（     ） A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题为新定义运算题，解题思路是根据新运算的分段规则，先判断的符号，再选择对应公式计算，逐个验证四个结论后得到正确选项． 【详解】解：， ①正确 分两种情况讨论： 当时， ，用： ，符合条件． 当时，， ，与矛盾，舍去． 因此只有． ②错误 分两种情况： 当时， ，用： ，符合条件． 当时， ，用： 不满足，舍去． 只有解，③正确 ， ，故，用第二条公式： 原式变为： 令，由得，式子化为． 几何意义：数轴上点到2和11的距离和，最小值为两点间距， 当（即）时取到最小值9． ④正确 27．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 28．（24-25七年级下·浙江金华·期末）现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示．从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形．在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（    ） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 【答案】C 【分析】本题考了三元一次方程的正整数解，不等式的解法等知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大．设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为9，B的面积为12，C的面积为16，再结合总面积为，来讨论求解即可． 【详解】解：由图可知，A的面积为9，B的面积为12，C的面积为16， 设拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形中的数量分别为张，张，张， 则有方程，x、y、z均为正整数， 则未知数的取值范围为：x取0至12的正整数，y取0至9的正整数，z取0至7的正整数； 当时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：， 此时的最大值为，即，， 当时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即， 112无法被3整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片； 从题目所求可知，不必讨论当时的情况， 当除B纸张外，A、C至少都取一张， 则有，即， 即B型纸张最多用了7张， 综上：在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为； 故选：C． 29．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 关于x的不等式的解集是， ，， 可变形为，即， 解得． 30．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）一条长为2010的线段被分为三条长度都是整数的线段，并且这三条线段可围成一个三角形，所得三角形的最长边与最短边的差的最大值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．设三角形三边为，，（），根据三角形三边关系和线段总长，求出最长边与最短边的差的最大值． 【详解】解：设三角形的三边为，，，且，． 由三角形三边关系，可得， 所以最大为． 要使最大，应尽可能小． 因为，且，当时，， 令，则，但，不满足； 令，则，满足． 此时． 故答案为：． 31．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）若关于的一元一次不等式的解集相同，则实数满足的关系是______． 【答案】且 【分析】根据a和b的符号，结合不等式的性质，分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意，，， 当，时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵不等号的方向相反， ∴一元一次不等式的解集不可能相同，故舍去； 当，时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵不等号的方向相反， ∴一元一次不等式的解集不可能相同，故舍去； 当，即时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵一元一次不等式的解集相同， ∴，整理得， ∵，， ∴，即 ∴，即； 当，即时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵一元一次不等式的解集相同， ∴，整理得， ∵，， ∴，即 ∴，即； 综上，满足条件的实数满足的关系是且． 32．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，，记，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先对已知二元一次方程组整体加减变形，构造出的代数式，结合不等式求出的取值范围，再通过方程组整体加减构造出关于m的关系式，最后利用不等式性质代入m的范围，推导出t的取值范围． 【详解】解： 得， 得， ∵， ∴， 解得． 得 ∵， ∴． ∵， ∴ ∴，即． ∴的取值范围是． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）某次考试共有名学生参加，共做对了道题．做对道及以下为不及格，做对道及以上为优秀，问不及格的人数和优秀的人数的大小关系？并给出理由． 【答案】 解：不及格的人数不少于优秀的人数，理由， 设优秀、不及格、及格不优秀的人数分别为，，， 由题意可得， ∴ ， ， 假设，则， ∴， 因为，解得， 所以与相矛盾， 故假设不成立， 所以， 所以不及格的人数不少于优秀的人数． 【分析】本题考查了不等式的应用，推理与论证，反证法，设优秀、不及格、及格不优秀的人数分别为，，，由题意可得，得，假设，则，所以，因为，解得，所以与相矛盾，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 34．（25-26八年级下·福建泉州·期末）数学来源于生活，用日常生活中的淡盐水做实验，也能发现一些数学结论． 现有两杯质量均为a克的盐水，每杯中均含有b克盐，盐水的浓度（即盐与盐水的质量比值）均为． 实验一：在第一杯盐水中，再加入m克水（盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水变淡了，我们发现盐水浓度会随加水量增加而降低，可用不等式表达为：． 实验二：在第二杯盐水中，再加入m克盐（盐完全溶解于水，盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水更咸了，我们发现盐水浓度会随加盐量增加而升高，可用不等式表达为：________． (1)写出实验二中的不等式：________，并证明该不等式的正确性； (2)请运用以上的结论，完成以下证明：若a，b，c是三边的长，求证：． 【答案】(1)解：； 证明：∵ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． (2)证明：∵是三边的长， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【分析】（1）按照实验二的结论：盐水更咸了，可以得出不等式，通过作差方法即可证明该不等式； （2）利用第一问的不等式，分别放缩三角形三边关系的分式，然后将三个不等式合为一个不等式，化简即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 35．（25-26七年级下·福建福州·期末）对于x的不等式（其中），我们称方程“”是它的“原方程”，不等式“”是它的“逆否不等式”． (1)对于不等式，它的“原方程”的解是 ； (2)对于x的不等式（其中），若不等式和它的“逆否不等式”有相同的解集，求a和b的数量关系；（用等式表示） (3)若不等式的“原方程”的解是大于1的正整数，且它的“逆否不等式”存在最小整数解，请求出这个最小整数解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得不等式，它的“原方程”为，解方程即可得出结果； （2）解不等式，当时，解得，当时，解得，解不等式，当时，解得，当时，解得，结合题意，分情况计算即可得出结果； （3）不等式的“原方程”为，移项得，设（为大于1的正整数），从而可得，解“逆否不等式”，代入得，从而可得，再分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得不等式，它的“原方程”为， 解得； （2）解：解不等式， 移项可得， 当时，解得， 当时，解得， 解不等式， 移项可得， 当时，解得， 当时，解得， ∵不等式和它的“逆否不等式”有相同的解集， ∴当，时，解集分别为，，则， ∴， ∵，， ∴，即， 当，时，解集分别为，，则， ∴， ∵，， ∴，即， 综上所述，a和b的数量关系为； （3）解：不等式的“原方程”为， 移项得， ∵不等式的“原方程”的解是大于1的正整数， ∴令（为大于1的正整数）， ∴， 解“逆否不等式”，代入得， ∴， 若，解得，符合存在最小整数解的条件， 若，解得，无最小整数解，舍去， ∵是大于小于的正分数， ∴最小整数解为． 36．（25-26七年级下·广东广州·期末）某数学小组为研究学校食堂排队时间，考察了两个窗口的运营情况，以下是他们的研究记录，请阅读并解决问题． 目标确定 套餐窗口 自选窗口 信息收集 每份套餐打餐时间一样，每人只能打一份套餐． 每人必须自选一份主食（米饭或面食）和一份菜，不同菜品的打菜时间相同． 数据整理 套餐窗口有人，全部打完用时秒． 在套餐窗口打一份套餐的时间等于自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间． 自选窗口有人，全部打完用时秒（记录被漏水盖住，只记得）．这人中，米饭和面食都有人选，选米饭的人数比选面食的人数多人（为正整数），每份面食的打餐时间比每份米饭的打餐时间慢秒． 问题解决： (1)根据调查数据，填空：套餐窗口中每份套餐打餐时间为 秒；自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间为 秒，一份面食和一份菜的总打餐时间为 秒． (2)小组发现与有关，请你帮他们分析两者关系，并结合已知数据，推导的所有可能取值． (3)方案设计：食堂为提升就餐体验，对窗口打餐速度（单位：人/分钟）进行了优化．经调查发现：套餐窗口打餐速度不变，自选窗口打餐速度调整为人/分钟．窗口开放前已有人在排队，开放后新到达人数为平均每分钟人（均匀到达）．在排队清空之前，所有开放窗口一直有人在排队．当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队；当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队．现食堂决定开放个窗口（两种窗口都必须有），请列出套餐窗口与自选窗口的分配方案，使得排队人数在分钟或更短时间内首次降为，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，的所有可能取值为， (3)分配方案有三种，方案1：个套餐窗口，个自选窗口；方案2：个套餐窗口，个自选窗口；方案3：个套餐窗口，个自选窗口．理由如下： 套餐窗口的打餐速度为（人/分钟）， ∵自选窗口打餐速度为人/分钟，窗口开放前已有人在排队， ∴由题意得，， 解得， 设开放个套餐窗口，则开放个自选窗口， ∵排队人数在分钟或更短时间内首次降为， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴可以取、、， ∴分配方案有三种， 方案1：个套餐窗口，个自选窗口； 方案2：个套餐窗口，个自选窗口； 方案3：个套餐窗口，个自选窗口． 【分析】（1）根据总时间和人数的关系求解即可； （2）设选面食的人数为人，则选米饭的人数为人，得出，选米饭的人数为，进而可得，根据列不等式，求出符合条件的正整数解即可； （3）由题意得列方程组，求出，设开放个套餐窗口，则开放个自选窗口，根据排队人数在分钟或更短时间内首次降为，列出不等式，求出，根据为整数可得可以取、、，即可得出所有方案． 【详解】（1）解：∵套餐窗口有人，全部打完用时秒， ∴套餐窗口中每份套餐打餐时间为（秒）， ∵在套餐窗口打一份套餐的时间等于自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间， ∴自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间为秒， ∵每份面食的打餐时间比每份米饭的打餐时间慢秒，不同菜品的打菜时间相同， ∴一份面食和一份菜的总打餐时间为（秒）． （2）解：设选面食的人数为人，则选米饭的人数为人， ∵选米饭的人数比选面食的人数多人， ∴， ∴， ∴选米饭的人数为（人）， ∵自选窗口有人，全部打完用时秒， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵为正整数，为正整数， ∴为奇数， ∴的所有可能取值为、． （3）略 37．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，关键是理解和运用绝对值的几何意义，将代数问题转化为几何问题． 38．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 当时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多，最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 39．（25-26七年级下·山东临沂·期末）从国家邮政局获悉，2026年月，快递业务收入累计完成亿元，同比增长，快递业务极大程度为我们的生活提供了便利．一家快递公司在某一个城市对物品的寄件方式和收费标准如下： Ⅰ．寄件方式分为标准快递和特惠快递两种，标准快递既可以寄往市内也可以寄往市外，特惠快递只能寄往市内． Ⅱ．两种寄件方式都按照每件快递包裹的重量（单位：千克）计算快递费用． （i）标准快递规定寄往市内的每件快递包裹重量不超过1千克的，需付费10元，超过1千克的部分按每千克4元计价；寄往市外的每件快递包裹重量不超过1千克的，需付费12元，超过1千克的部分按每千克8元计价． （ii）特惠快递规定每件快递包裹重量不超过5千克的，需付费元，超过5千克的部分按每千克元计价． 下表是一位客户在该快递公司三次寄往市内的寄件情况： 第一次 第二次 第三次 快递物品：A 寄件方式：特惠快递 件数：1 包裹重量：8千克 支付的快递费用：33元 快递物品：A 寄件方式：特惠快递 件数：1 包裹重量：10千克 支付的快递费用：45元 快递物品：A 寄件方式：__________ 件数：1 包裹重量：1.8千克 支付的快递费用：13.2元 根据以上信息，解决下列问题： (1)①求出，的值； ②第三次的寄件方式是 快递（填“标准”或“特惠”）． (2)在该快递公司快递物品A， ①分别寄往市内、市外各1件，寄往市内的快递包裹重量为4千克，寄往市外的快递包裹重量为7千克，一共支付的快递费用最少为多少钱？ ②寄往市内1件，如果选择标准快递所支付的费用大于选择特惠快递所支付的费用，请写出这件快递包裹的重量（单位：千克）的取值范围为 ，并说明理由． 【答案】(1)①，；②标准 (2)①最少为75元； ②满足的取值范围为，理由如下： 当时，标准快递所支付的费用为10元，特惠快递支付的费用为15元， ，不满足条件； 当时，若，解得． 即； 当时，若，解得． 即． 综上，包裹的重量的取值范围为． 【分析】（1）①可根据表格中前两次寄件的信息分别列出关于、的方程，进而求解、的值； ②可分别计算出第三次寄件按标准快递和特惠快递收费的费用，再结合表格中第三次寄件的费用判断寄件方式． （2）①可分别计算出寄往市内千克和寄往市外千克的快递费用，再将二者相加即可得到总费用． ②可分别表示出选择标准快递和特惠快递的费用，再根据标准快递所支付的费用大于选择特惠快递所支付的费用列出不等式，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意得，，解得， 即，； ②若第三次的寄件方式是特惠快递，包裹重量：1.8千克，费用为：15元，不满足题意； 若第三次的寄件方式是标准快递，包裹重量：1.8千克， 费用为：元，满足题意； 故第三次的寄件方式是标准快递． （2）解：①当寄往市内快递选择标准快递时， 支付的快递总费用为：元； 当寄往市内快递选择特惠快递时， 支付的快递总费用为：元； ， 一共支付的快递费用最少为75元； ②略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $