精品解析：甘肃陇南市成县第一中学2026届高三下学期二诊数学模拟考试试题

2026届高三二诊数学模拟考试试题 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知、、、是曲线上的四个点，其中，且、、、、成等差数列，则（　　） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 若以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别为3，4 D. 一组成对数据，增加一对数据，其中，，线性回归方程不变（其中） 10. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 11. 在四棱锥中，平面， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面PAB B. 当时，直线CE与PB所成角为 C. 当时，直线CE与平面PAD所成角为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 三．填空题（每题5分，满分15分） 12. 展开式中的常数项为_____________. 13. 已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积是______． 14. 楚雄南华县有“世界野生菌王国”之称.某村民上山捡菌，每次独立随机选一座山（甲山、乙山、丙山，概率各为 ）.若选甲山，捡到美味牛肝菌的概率为；选乙山，捡到美味牛肝菌的概率为；选丙山，捡到美味牛肝菌的概率为.但只有捡到美味牛肝菌才会停止回家.该村民第一次就捡到美味牛肝菌的概率为 ______；已知第一次没捡到，则第二次捡到菌时来自乙山的概率为 ______. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 16. 已知数列是公比大于1的等比数列，，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）对于数列，规定为数列的1阶差分数列，其中，一般地，规定为数列的阶差分数列，其中.若，不等式对恒成立，求整数的最大值； （3）令，其中．证明：． 17. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若为直线上的动点，当二面角的正弦值最大时，求的长. 18. 已知点在抛物线C：上，F是C的焦点，． （1）求C的标准方程； （2）若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点N，且为锐角三角形，，求λ的值及的外接圆半径． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二诊数学模拟考试试题 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论. 【详解】由，可得， 所以. 故的元素个数为3. 故选：B. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算法则，分别求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量满足，，， 可得，， 所以. 故选：D. 4. 已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆,得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 5. 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 6. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知奇偶性质得到的周期性与对称性，借助已知条件与待定系数，再利用周期性得，由对称性转化为，代入解析式求解即得. 【详解】由为奇函数，得， 故①，函数的图象关于点对称； 由为偶函数，得②， 则函数的图象关于直线对称； 由①②得， 则， 故的周期为，所以， 由，令得，即③， 已知， 由函数的图象关于直线对称，得， 又函数的图象关于点对称，得 所以，即， 所以④，联立③④解得 故时，， 由关于对称，可得. 故选：A. 7. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解. 【详解】因为 ， 又， 所以， 所以． 故选：B. 8. 已知、、、是曲线上的四个点，其中，且、、、、成等差数列，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，由点在曲线上可求出的值，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求出的值. 【详解】因为、、、、成等差数列，设公差为， 则，，故， 由点在曲线上，则，故， 故 . 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 若以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别为3，4 D. 一组成对数据，增加一对数据，其中，，线性回归方程不变（其中） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归方程、残差、相关系数、非线性回归等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B选项正确； 对于C， 由，得，故C确. 对于D，新增加的数据是原数据的样本中心点， 根据线性回归方程的性质，回归直线过，增加这样一个点，样本中心点不变， 计算回归系数和的公式中，分子分母的计算结果也不会改变，所以线性回归方程不变，故D正确. 故选：BCD. 10. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得离心率，知A错误；当为椭圆短轴端点，面积最大，知B正确；结合椭圆定义可将化为关于的二次函数，根据的范围可求得C正确；利用椭圆定义可知，由此可求得D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆离心率，A错误； 对于B，设，则， 当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确； 对于C，由椭圆定义知：， ； ，， 当时，；当或时，； 的取值范围为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号）， 又，，即的最大值为，D错误. 故选：BC. 11. 在四棱锥中，平面， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线平面PAB B. 当时，直线CE与PB所成角为 C. 当时，直线CE与平面PAD所成角为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，以A为原点建立空间直角坐标系，求出时点坐标与向量，验证与平面内两个不共线的向量共面，且不在平面内，可判断线面平行成立；对B，得到​时和的向量坐标，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值判断；对C，得到时坐标与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式得到线面角的正弦值判断；对D，得到时三棱锥四个顶点的坐标，设外接球球心坐标，根据球心到各顶点距离相等求出球心与半径，计算得到外接球表面积. 【详解】因为，所以， 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，则 ， 由得， . 对于A：当时，， ，平面的法向量为， 因为 ，且不在平面内，故平面，A正确； 对于B：时， ， ，设直线与所成角为， 则 ，故夹角不是，B错误； 对于C：当时， ， ， 平面的法向量为 ，设直线与平面所成角为， 则 ，得，C正确； 对于D：当时，四点坐标： ， 则 ，所以是直角三角形，其外接圆圆心为，半径， 因为平面平面，球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，所以可设外接球球心为， 则由球心到各顶点的距离相等，可得， 解得，所以球心为，半径，故外接球表面积，D正确. 三．填空题（每题5分，满分15分） 12. 展开式中的常数项为_____________. 【答案】240 【解析】 【分析】写出通项公式，令的指数为，得到，从而常数项为. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，， 故答案为：240. 13. 已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由正四棱锥的内切球作图，根据勾股定理、三角形相似，求出四棱锥的高即可. 【详解】如图， 设正四棱锥的内切球的半径为R，H为底面中心， 由内切球的体积为，得． 连接PH．由题意得平面ABCD，球心O在PH上，， 取CD的中点F，连接HF，PF． 设点O在侧面PCD上的投影为点Q，则点Q在PF上，且，． 设O到P的距离为h，所以，即，解得， 所以． 故答案为：##. . 14. 楚雄南华县有“世界野生菌王国”之称.某村民上山捡菌，每次独立随机选一座山（甲山、乙山、丙山，概率各为 ）.若选甲山，捡到美味牛肝菌的概率为；选乙山，捡到美味牛肝菌的概率为；选丙山，捡到美味牛肝菌的概率为.但只有捡到美味牛肝菌才会停止回家.该村民第一次就捡到美味牛肝菌的概率为 ______；已知第一次没捡到，则第二次捡到菌时来自乙山的概率为 ______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问利用全概率公式计算首次捡到菌的总概率，第二问结合事件独立性与条件概率公式计算指定条件下的概率. 【详解】设事件分别为第一次选甲山、乙山、丙山，事件为第一次捡到美味牛肝菌， 由题设得，，，， 根据全概率公式：， 所以第一次就捡到美味牛肝菌的概率为； 设事件为第一次没捡到，事件为第二次捡到美味牛肝菌，事件为第二次选乙山且捡到美味牛肝菌， 由于每次选山和捡菌过程相互独立，因此与第二次的事件独立， ，， ，  ， 所以第一次没捡到，第二次捡到菌时来自乙山的概率为. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，所以，则，得到， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，得， 又因为，又，得， 由的周长为， 所以，整理得到， 解得. 16. 已知数列是公比大于1的等比数列，，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）对于数列，规定为数列的1阶差分数列，其中，一般地，规定为数列的阶差分数列，其中.若，不等式对恒成立，求整数的最大值； （3）令，其中．证明：． 【答案】（1） （2）3 （3） 由已知，其中， 所以， 故， 即，由（1）知， 所以 综上，. 【解析】 【分析】（1）设，结合，成等差数列，即可求解； （2）根据定义化简不等式，并构造新数列，结合其单调性，即可求解； （3）利用指数函数性质得到，对进行缩放，再结合等比数列求和公式进行简化即可得证. 【小问1详解】 因为是公比大于1的等比数列，则设. 又，成等差数列， 即，解得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， ， 不等式， 即， 等价于. 当时，，当时，， 记， 所以时，，即，则递减， 又当时，，所以的最大项是， 所以，即， 所以整数的最大值为3. 【小问3详解】 略 17. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若为直线上的动点，当二面角的正弦值最大时，求的长. 【答案】（1） 取的中点，连接，因为为的中点， 所以且. 又为的中点，所以且. 所以且. 所以四边形为平行四边形，则. 又因为平面，且平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，由四边形为平行四边形得出，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的法向量，要使二面角的正弦最大，则由法向量夹角的余弦值为0可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则.设， 则. 设平面的法向量为， 则， 取，则. 设平面的法向量为， 则， 取，则. 所以. 要使二面角的正弦最大， 则，所以. 此时. 18. 已知点在抛物线C：上，F是C的焦点，． （1）求C的标准方程； （2）若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点N，且为锐角三角形，，求λ的值及的外接圆半径． 【答案】（1）或； （2），外接圆的半径为． 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦半径公式得到点坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，垂足为，由余弦定理求得，再通过，求得，再由正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以点P的坐标为 ， 代入C的方程得 ，解得或， 所以抛物线C的标准方程为或； 【小问2详解】 当抛物线C的方程为时，准线l的方程为， 设准线与x轴的交点为K，过点N作准线l的垂线，垂足为Q， 则， 此时， 所以是锐角且， 又因为，所以为锐角三角形， 因为点N在抛物线上，所以， 所以， 外接圆的半径； 当抛物线C的方程为时，同理可得， 此时， 与为锐角三角形矛盾， 综上，，外接圆的半径为． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当，时等号成立． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $