精品解析：甘肃民乐县第一中学2026届高三下学期5月第二次模拟考试数学试卷

民乐一中高三年级2026年5月第二次模拟考试 数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 2. 已知为实数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的分类，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为为实数， 所以，解得，则， 故选：B 3. 抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，计算，得到答案. 【详解】甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86,87,88,88,89,90,92. ，这10次成绩的80%分位数为：. 故选：D. 4. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：B. 6. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为. 故选：C. 7. 已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 8. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】 作出函数的图象，如图所示，因为，即，因为，由图可知，，即，所以有． 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过向量平行的坐标计算公式计算即可；对于B，通过向量垂直的坐标计算公式计算得到的值从而判断；对于C，通过向量模的坐标计算公式计算得到的值从而判断；对于D，通过投影向量公式计算即可. 【详解】对于A，若，有，可得，故A错误； 对于B，若，有，可得，故B正确； 对于C，由，有，解得或3，故C正确； 对于D，若，有，由， 可得向量在向量上的投影向量的坐标为，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期， ∴，∴． 将点代入解析式中可得， ∴，解得， ∵，∴，∴，故A错误. ∵， ∴函数的图象关于点对称，故B正确. 当时，，∴，即最小值为，故C正确． ∵， ∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误. 故选：BC． 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. “”是“数列为等差数列”的充分不必要条件 C. 若为单调递增数列，则 D. 若，则数列的前（为奇数）项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，的关系，结合等差数列的定义、充要条件的定义、数列单调性的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为，所以，又因为，所以，所以选项A正确； 因为①， 当时，②， ①②得：， 因为，所以， 所以数列奇数项与偶数项分别成等差数列. 若，又，因为， 所以数列的奇数项以为首项，为公差的等差数列， 即， 列的偶数项以为首项，为公差的等差数列， 即， 所以有，所以数列是等差数列； 若数列是等差数列，则有，所以有， 因此“”是“数列为等差数列”的充要条件，所以B错误； 若数列为单调递增数列，对于任意，都有， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 解得，所以C正确； 若，当为奇数时，，故； 当为偶数时，故， 则当为奇数时，， 所以 ， 即当为奇数时，的前项和为，所以D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，各项系数的和是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令赋值法即可求解. 【详解】在中，令可得， 所以各项系数之和为， 故答案为：. 13. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图，抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时，取得最小值，所以，则， 此时点的坐标为． 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数法判断在上单调递增，利用单调性性质判断在上单调递增，然后利用单调性性质可得在R上单调递增，进而得在R上单调递增，将不等式可化为，最后利用单调性求解即可. 【详解】当时，，所以， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 因为在上单调递减，在定义域内单调递增， 所以在上单调递减， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以； 所以在R上单调递增. 令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以在R上单调递增，且， 故不等式可化为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，化简已知条件，即可求得； （2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，求得，再利用余弦定理即可求得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 则，即， 又在中，由，故. 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，得. 又由，有，则，可得， 由余弦定理得，则，可得. 16. 如图，在三棱锥中，平面，F为的中点，，，E在上，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，再由平面夹角余弦值的向量求法求解即可. 【小问1详解】 平面，平面， ， 又，平面， 平面， 平面，， ，为的中点，， 又平面， 平面； 【小问2详解】 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，， ，， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，， 平面的一个法向量为， 由（1）知，平面， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为． 17. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 大小 光泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 200 （1）完成上面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关? （2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）2×2列联表见详解，有关； （2）分布列见详解，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）由已知条件即可完成列联表，由独立性检验知识可以完成判断； （2）依据组合的知识、古典概型公式以及期望公式即可求解. 【小问1详解】 2×2列联表如下： 大小 光泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 零假设为：苹果的大小达标和色泽达标无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为苹果的大小达标和色泽达标有关； 【小问2详解】 按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果， 则一级果：（个），二级果：（个），三级果：（个） X的所有可能值为0，1，2，3，4， 所以， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）极小值为1，无极大值. （2） （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可. （3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，，令，，求导的， 当,,当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围. 【小问3详解】 证明：由（2）知，时，即， 于是， ，， ， 因此 所以. 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点． ①求面积的最大值以及此时直线的方程； ②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）①面积的最大值为，此时直线的方程为或；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用点到直线的距离公式和三角形面积公式，结合椭圆顶点坐标建立关于、的方程组，通过解方程组并利用确定椭圆的标准方程； （2）①：设直线方程为，联立椭圆方程后利用韦达定理和弦长公式表示三角形面积，通过换元转化为基本不等式求最值，并回代求直线方程； ②：利用点斜式写出直线和的方程并求与轴的交点坐标，将与的乘积表达式用韦达定理化简，证明该表达式为与参数无关的常数. 【小问1详解】 ，所以， 因为坐标原点到直线的距离为，所以①， 又因为的面积为，所以，即②， 由①②及得，，所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 （i）由（1）知焦点的坐标为， 因为直线的斜率不为0，则可设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， ， 设，则， ， 令，则，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为． 令，解得，所以此时直线的方程为或； （ii），直线的方程为：， 令，所以，则； 直线的方程为：，令，所以， 则 所以 ， 所以为定值，且定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐一中高三年级2026年5月第二次模拟考试 数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 4. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. “”是“数列为等差数列”的充分不必要条件 C. 若为单调递增数列，则 D. 若，则数列的前（为奇数）项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，各项系数的和是___________. 13. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 16. 如图，在三棱锥中，平面，F为的中点，，，E在上，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 大小 光泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 200 （1）完成上面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关? （2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点． ①求面积的最大值以及此时直线的方程； ②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $