第十三章三角形 强基过关试题卷（重庆专版） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 新人教版重庆专版三角形单元提升卷，通过选择、填空、解答题（25题）系统考查三角形核心知识，适配初中数学单元复习，注重几何直观与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三边关系、高的识别、等腰三角形分类|结合图形辨析，如第3题腰长分类讨论| |填空题|6/24|三角形内角和、面积计算、折叠性质|融入中点、高的性质，如第13题面积与高的关系| |解答题|9/86|角平分线综合、等腰三角形证明、动态探究|分层设计，如22题三问递进（证明/计算/分类），25题从初步认识到拓展应用，培养推理与创新意识|

第十三章三角形 2026-2027学年上期数学提升卷 (新人教版，重庆专版) 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出 了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的. 1.下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是() A.5cm.5cm.10cm B.8cm,7cm.16cm C.8cm,15cm.17cm D.9cm.10cm.19cm 2.如图，△ABC中，是AB边上高的线段为() B A.线段AE B.线段AC C.线段CD D.线段BC 3.等腰三角形的周长为25cm,其中一边长9cm,则其腰长为() A.8cm或9cm B 8cm C.9cm D.以上都不对 4.如图，在△ABC中，延长BC至点D,若∠A=48°，∠B=53°，则∠ACD的度数为 () D A.91° B.101 C.136 D.126° 精选考题才是刷题的捷径第1页共8页 5.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.∠BAC、 ∠B与∠E有什么样的关系() A.∠BAC=∠B+∠E B.∠BAC=∠B+2∠E C.∠BAC=∠B-2∠E D.∠BAC=∠B-∠E 6.已知AD是三角形ABC的高，BD=1,AD=4,三角形ABC的面积是12，则CD的长 为() A.5 B.6 C.5或6 D.5或7 7.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACD,若∠A=50°，则∠P的度数 为() D A.25° B.20° C.10° D.15° 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别是BC,AC延长线上的一点，连接 DE,DA,将△ADE沿AD折叠得到△ADF,若∠E=50°，则LFAD的度数是() A.30° B.25° C.20° D.35° 9.如图所示，分别延长△ABC的三边AB、BC、CA至A'、B、C,使得AA'=3AB、 精选考题才是刷题的捷径第2页共8页 BB'=3BC CC'=3AC ，则 △AC= () B B' A.18 B.19 C.24 D.27 I0.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,过D作DE⊥AC于点E,延长ED交 AB的延长线于点F,∠ACB的平分线分别与AD,AB相交于点G,H,且CH⊥AF.下 列结论：①∠F=∠ACH;②2∠AGH=∠DAC+∠ADB:③2∠FAD=∠ADC-∠DAC:④ ∠ABC=∠ACH+∠EDC.其中正确的个数是() B A 1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案直接填 写在对应的位置， 11.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C=。 人60 40℃ 12.己知在△ABC中，∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是 13.如图，在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高且AB=3,BC=4,AD=2,则 CE= 精选考题才是刷题的捷径 第3页共8页 E H B d C 14.在△MBC中，D为BC边的中点，2PM=PBCP交4D于点E,若 .S.AnC =24 SAAPE= P E 15.在△ABC中，AB=AC,O为BC上任意一点，OM⊥AB,ON⊥AC,CH⊥AB, 垂足分别为M、N、H,连接A0.己知OM=2,CH=5,则ON的长为 N M B 16.如图，△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，CD=2AD,AE=BE,BD与CE 交于点0，若BC=10,00s=7, ,则AB长的最小值为 D E 0 B 精选考题才是刷题的捷径 第4页共8页 三、解答题：（本大题共16分，每小题8分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位 置. I7.如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD B D E (I)当AD为边BC上的中线时，若AE=5,△ABC的面积为30，求CD的长： (2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=50°，∠B=30°，求∠DAE的度数. 18.如图， (1) (2) (3) (I):AD是△ABC的中线（即D点是BC的中点）， ∴.有BD=① CD=② BC (2):如图CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=③ (3):BF是△ABC的高(BF⊥AC) .∠BFC=④ =90° 四、解答题：（本大题共70分，每小题10分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位 置 19.如图，AD,CE是△ABC的两条高： 精选考题才是刷题的捷径第5页共8页 (1)若∠B=50°，LACE=10°，求∠CAD的度数； (2)AB=4cm,BC=8cm,CE=6cm,求AD的长. 20.已知a,b分别是△MBC的其中两边的长，且a,b满足关系式a-4+(b-8=0 (1)求a,b的值 (2)若△ABC是等腰三角形，请计算△ABC的周长. 21.(1)在等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将三角形的周长分成15和9两部 分，求这个等腰三角形的腰长及底边长， (2)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这个等腰三角形的底角的度数. 22.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D在BC的延长线上，∠ADB=∠BAC, BE⊥AD交于AC于点F. (1)证明：AD=BD: (2)若∠CAD=12°，求∠BAC的度数： (3)若△BCF为等腰三角形，求∠BAC度数. 23.△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高. 精选考题才是刷题的捷径 第6页共8页 B B DE 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠B=40°，∠C=70°，请求∠DAE的度数： (2)如图2(LB<LC),试说明∠DAE,∠B,∠C的数量关系： (3)如图3，延长AC到点F,∠CAE和∠BCF的平分线交于点G,请直接写出∠G的度数. 24.己知点C在线段BD上，点A和点E在线段BD同侧，且∠B=∠D=∠ACE=C. 图1 图2 图3 (1)若a=90°： ①如图1，∠A=70°，则∠ECD= ②如图2，分别作∠BAC、∠CED的角平分线并交于点卫，则∠APE= (2)当点E在线段AD上时，求证：∠BAC=∠DCE.请在图3中完成下列证明过程： 证明：：∠DCA=∠BAC+∠ ) 又'∠B=∠ACE ∴.∠BAC=∠DCE (3)分别作∠BAC,∠CED的角平分线AF,EG: ①若AF∥EG,则a= ②若直线AF与直线EG交于点P,直接写出∠APE的度数（用含“的代数式表示）， 25.求解下列各题： 精选考题才是刷题的捷径 第7页共8页 (I)【初步认识】如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分LACB.若∠A=80°，则 ∠P= 如图2，BM平分∠ABC,CM 平分外 角4CD,则4与∠M的数 量关系是 图1 图2 (2)【继续探索】如图3，BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB.请探索∠A与∠N之 间的数量关系， 图3 (3)【拓展应用】如图4、P是△ABC两内角平分线的交点，N是△ABC两外角平分线的交 点，延长BP,NC,交于点M.请直接写出∠M,∠N与∠BPC之间的数量关系. 图4 精选考题才是刷题的捷径 第8页共8页 第十三章 三角形 2026-2027学年上期数学提升卷 （新人教版，重庆专版） 一、 选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1．下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，错误； B、，不能组成三角形，错误； C、，能够组成三角形，正确； D、，不能组成三角形，错误． 2．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 3．等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 4．如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可． 【详解】解：是的一个外角， ． 5．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 6．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 7．如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出，进而求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴． 8．如图，在中，，点，分别是，延长线上的一点，连接，，将沿折叠得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、外角性质，几何图形中角度计算问题，解题关键是熟练掌握折叠性质． 由折叠性质可得，，，再由外角性质推得即可得解． 【详解】解：由折叠性质可得，，， 点，分别是，延长线上的一点， ， 、分别是、的外角， ，， ， 即， ． 故选：． 9．如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【答案】B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 10．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵分别为的外角， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， 即，故③正确； ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①②③④，共4个． 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案直接填写在对应的位置． 11．如图，在中，，则______． 【答案】 【详解】解：． 12．已知在中，，则的形状是_______． 【答案】直角三角形 【分析】根据在中，，，可求出的度数，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴是直角三角形． 13．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 14．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 15．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 16．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 三、解答题：（本大题共16分，每小题8分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 17．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式求出底边长度，结合中线定义得到为的一半算出线段长即可； （2）利用三角形内角和为，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可． 【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为， ， ， 为边上的中线， 点为的中点， ； （2）解：，，为边上的高， ，， 为的角平分线， ， ． 18．如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据中线的性质，作答即可； （2）根据角平分线的定义作答即可； （3）根据高线的定义作答即可. 4、 解答题：（本大题共70分，每小题10分）请把下列各题的正确答案填写在对应的位置． 19．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 20．已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，求得的值； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， ，． （2）解：是等腰三角形，有两种情况： ①当是腰时，有、、三边，不能构成三角形，故此种情况不成立． ②当是腰时，有、、三边，能构成三角形，故此种情况成立，则． 等腰的周长为． 21．（1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数． 【答案】（1）腰长为10，底边长为4；（2）这个等腰三角形的底角的度数是或 【分析】（1）设，则，分两种情况：①当，时，②当，时，分别列方程求出x得到腰长，即可求出底边； （2）分①若是锐角三角形，②若三角形是钝角三角形两种情况求解 【详解】解：（1）设，则， ①当，时，则， ∴， ∴，， ∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4； ②当，时，则， ∴， ∴，， ∵， ∴此时不成立．    综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4； （2）在中，设于D． ①若是锐角三角形，， ∴底角；    ②若三角形是钝角三角形，， ∴底角    综上，这个等腰三角形的底角的度数是或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角求角度，三角形外角的性质，在解题时要注意找出等量关系是解题的关键． 22．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，交于于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)若为等腰三角形，求度数． 【答案】(1) 证明：在与中， ，， ， ， ， ， ， ； 另解： 是的一个外角， ， ， ， ， ； (2) (3)或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理，结合已知得到，再根据等边对等角和等量代换得到，然后根据等角对等边可得结论； 另解：利用三角形的外角性质可证得，再根据三角形的判定与性质可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得，在中，利用三角形的内角和定理可求解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况，根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理和解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， 又，， ， ， ， 在中，， 则， ； （3）解：①当时，， 设， 在中，， 在中，，又， ∵， 在中，， ， 由（1）可知， ， ，即； ②当时，， 设， ， ， ，是的外角， ， ， ， 即，解得，即； ③当时，此时与题意不符； 综上所述，的度数为或． 23．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求的度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解，，的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 24．已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 25．求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)    ； (2) (3) 【分析】（1）如图1，由角平分线可得，，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图2，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由（1）、（2）的结论即可得出． 【详解】（1）解：如图1，，分别平分，， ，． 如图2，∵平分，平分外角， ∴，． ，， ． ∴ （2）解：，， ，， ． （3）解：由（1）得，， 由（2）得，， ∴， ∴． 精选考题才是刷题的捷径第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $