（江苏宿迁）2026-2027学年苏科版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形、第2章—实数的初步认识）

**基本信息** 聚焦三角形与实数核心内容，通过基础计算（如平方根运算）、尺规作图（角平分线）、动态几何探究（等边三角形动点问题）及新定义（复数）题，分层考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配八年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/24|无理数判断、三角形三边关系、全等判定|第6题结合尺规作图过程考查SSS全等，体现几何直观| |填空|10/30|三角形稳定性、等腰三角形分类讨论、垂直平分线性质|第18题动点与等边三角形结合，考查空间观念| |解答|10/96|实数运算、全等证明、新定义（复数）、动态几何探究|27题引入复数概念，考查数学语言表达；28题分情况探究等边三角形动态问题，培养推理能力|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：150分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 2．下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A．2、4、5 B．3、3、6 C．5、5、5 D．3、4、5 3．在中，作出边上的高，正确的是（） A．   B．   C．   D．   4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 7．如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 8．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．计算：___________． 10．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 11．近似数精确到_____ 位． 12．已知，则________． 13．已知三角形的三边长分别是，，，且为整数，请写出一个满足条件的的值：________． 14．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为____． 15．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 16．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 17．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为_________． 18．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分）计算： (1)； (2)． 20．（10分）利用平方根或立方根的定义，求下列各式中x的值． (1)； (2) 21．（8分）如图，点是的边上的一点，．平分，．求证：． 22．（8分）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 23．（8分）尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（8分）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 25．（10分）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 26．（10分）已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 27．（12分）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 28．（12分）【初步探究】 （1）已知 是等边三角形，点D 是射线上一点，以为边在的右侧作等边三角形． ①如图1，点D在边 上时，连接．则与的数量关系是_________． ②如图2，点D 在边的延长线上时，补全图2，连接．①中与 的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并进行证明． 【尝试应用】 （2）如图3，已知等边三角形的边长是6，M是中点，点D 是射线上一点，连接，以为边在 的右侧作等边三角形，连接．当是直角三角形时，请直接写出 的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：150分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D D D D D A 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15./ 16.6 17. 18. 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；（5分） （2）解： （10分） 20．（10分） 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）解： ；（5分） （2）解： ， 或， 或．（10分） 21．（8分） 【答案】证明：平分， ． 在和中， ，   ． 【详解】略（8分） 22．（8分） 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值； （2）将与的值代入计算，最后根据平方根的定义得到结果． 【详解】（1）解：∵是27的立方根，且的立方根是， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 整理得， 联立得方程组， 解得；（4分） （2）解：把，代入得， ∴的平方根为．（8分） 23．（8分） 【答案】见解析 【分析】作出线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点，根据角平分线的判定可得，点在的平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得点在线段的垂直平分线上，故线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点． 【详解】解：如图，点P即为所求 （8分） 24．（8分） 【答案】(1) (2)沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 理由如下，∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长和宽分别是，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴长方形纸片的长是， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 【分析】（1）先求出大正方形的面积，再结合正方形的面积公式计算即可得出结果； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，结合长方形的面积公式计算得出长方形纸片的长是，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：大正方形的面积， ∴大正方形纸片的边长为；（4分） （2）略．（8分） 25．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分．（5分） （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ．（10分） 26．（10分） 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； (2) 证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【详解】（1）略（5分） （2）略（10分） 27．（12分） 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）将拆分为，代入完成化简． （2）根据纯虚数定义，联立实部等于0、虚部不等于0的不等式组，求解实数的值． （3）复数等于0时实部、虚部均为0，据此列出二元一次方程组，解方程组得到的值． （4）先计算前四项的和寻找循环周期，利用周期规律求出2026项包含的完整周期个数与剩余项，再计算最终结果． 【详解】（1）解：；（3分） （2）解：∵复数（是实数）是纯虚数， ∴，， ∴或，且， ；（6分） （3）解：∵为实数，且满足， ∴， 解得．（9分） （4）解：， ， ， ， ， ， …， 每4个一组循环， ， ．（12分） 28．（12分） 【答案】（1）①； ②如图，点D 在边的延长线上时，①中与 的数量关系仍然成立，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． （2）的长为4.5或9 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． （1）①根据证明即可得； ②点D 在边的延长线上时，①中与 的数量关系仍然成立．根据证明即可得； （2）取中点G，连接，然后分三种情况讨论：①当D点在线段上时，由可得，此时，不可能是直角三角形； ②当D点在线段上时，当时，是直角三角形，求得；③当D点在线段的延长线上时，当时，是直角三角形，求得． 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：．（3分） ②略（6分） （2）取中点G，连接， ①如图，当D点在线段上时， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵M是的中点，G是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同（1）得， ∴， 此时，不可能是直角三角形．（8分） ②如图，当D点在线段上时， ∵， ∴， 当时，是直角三角形， 则， ∴， ∴， ∴， ∴．（10分） ③如图，当D点在线段的延长线上时， ∵， ∴， 当时，是直角三角形， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当是直角三角形时，的长为4.5或9．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：150分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先明确无理数的定义，即无限不循环小数，先回忆有理数的范畴：整数和分数统称为有理数．逐一判断各选项所属的数的类型，如果是整数或者可以表示为两个整数的比值的分数，那么属于有理数，否则为无理数．针对带根号的选项，判断被开方数是否是完全平方数，若被开方数开方开不尽，那么对应的数是无理数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数． B、是分数，属于有理数． C、开方开不尽，属于无理数． D、是整数，属于有理数． 2．下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A．2、4、5 B．3、3、6 C．5、5、5 D．3、4、5 【答案】B 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”，只需验证每组中较小两边的和是否大于最大边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，故能组成三角形； B、，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形； C、，故能组成三角形； D、，故能组成三角形． 3．在中，作出边上的高，正确的是（） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握“从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高”是解题的关键． 根据三角形高的定义，判断从顶点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上的图形． 【详解】解：A选项：所作垂线不是从点出发，故A项错误； B选项：所作垂线是从点出发，不是从点出发，故B项错误； C选项：所作垂线不是从点出发，故C项错误； D选项：所作垂线是从点出发，且垂足在的延长线上，符合边上高的定义，故D项正确 故选：D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 5．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“对顶角相等”判断A选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项． 【详解】解：与交于点， 与是对顶角， ， 故A选项正确； ， 、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 6．如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】根据尺规作图的步骤，可以得到，，再加上公共边，利用“边边边”判定定理即可证明三角形全等． 【详解】如图： 由作图步骤可知， 在和中， 使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等． 7．如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 【答案】D 【分析】由①可知为的角平分线，由②可知为的垂直平分线，由角平分线的性质得到点D到的距离与点D到的距离相等，则可推出则可求出，再由线段的垂直平分线的性质和三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】解：由①可知为的角平分线， ∴点D到的距离与点D到的距离相等， 设点D到的距离为， ∴， ∵， ∴， 由②可知为的垂直平分线， ∴， ∴ ． 8．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】①连接，利用等边对等角，即可证得：，；则，据此即可求解； ②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③首先证明，则，； ④证明且，即可证得是等边三角形； 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故④正确 ∴正确的结论有：①③④． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 10．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 11．近似数精确到_____ 位． 【答案】万 【分析】本题考查了近似数与有效数字，“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：， ∴近似数精确到万位， 故答案为：万． 12．已知，则________． 【答案】 【详解】解：， ， ． 13．已知三角形的三边长分别是，，，且为整数，请写出一个满足条件的的值：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ ∴． ∵为整数， ∴在内的整数均满足条件，此处取（答案不唯一）． 14．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，准确分析计算是解题的关键． 此题分为两种情况：是等腰三角形的腰或是等腰三角形的底边，然后根据三角形的三边关系判断能否构成三角形． 【详解】当是腰时，底边长为， 此时三边为、、，满足三角形三边关系； 当是底边时，腰长为， 此时三边为、、，也满足三角形三边关系． 故答案为：或． 15．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 【答案】/ 【详解】解：∵面积为7的正方形的顶点A在数轴上，， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点E所表示的数为． 16．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 17．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是由垂直平分线的性质求得的值． 由垂直平分线的性质得，，由即可得解． 【详解】解：，分别是边，的垂直平分线， ，， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】求解，在下方以为边作等边，连接，过作于，证明，得出，说明点Q在上运动，根据垂线段最短，得出当重合时，最小，求出其最小值即可． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴， ∵以为边在的下方作等边， ∴，， 在下方以为边作等边，连接，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当重合时，最小，且最小值为． 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；（5分） （2）解： （10分） 20．（10分）利用平方根或立方根的定义，求下列各式中x的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）解： ；（5分） （2）解： ， 或， 或．（10分） 21．（8分）如图，点是的边上的一点，．平分，．求证：． 【答案】证明：平分， ． 在和中， ，   ． 【详解】略（8分） 22．（8分）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值； （2）将与的值代入计算，最后根据平方根的定义得到结果． 【详解】（1）解：∵是27的立方根，且的立方根是， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 整理得， 联立得方程组， 解得；（4分） （2）解：把，代入得， ∴的平方根为．（8分） 23．（8分）尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作出线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点，根据角平分线的判定可得，点在的平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得点在线段的垂直平分线上，故线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点． 【详解】解：如图，点P即为所求 （8分） 24．（8分）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． ∴， ∵， ∴． ∴长方形纸片的长是， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 【分析】（1）先求出大正方形的面积，再结合正方形的面积公式计算即可得出结果； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，结合长方形的面积公式计算得出长方形纸片的长是，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：大正方形的面积， ∴大正方形纸片的边长为；（4分） （2）略．（8分） 25．（10分）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分．（5分） （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ．（10分） 26．（10分）已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； (2) 证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【详解】（1）略（5分） （2）略（10分） 27．（12分）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）将拆分为，代入完成化简． （2）根据纯虚数定义，联立实部等于0、虚部不等于0的不等式组，求解实数的值． （3）复数等于0时实部、虚部均为0，据此列出二元一次方程组，解方程组得到的值． （4）先计算前四项的和寻找循环周期，利用周期规律求出2026项包含的完整周期个数与剩余项，再计算最终结果． 【详解】（1）解：；（3分） （2）解：∵复数（是实数）是纯虚数， ∴，， ∴或，且， ；（6分） （3）解：∵为实数，且满足， ∴， 解得．（9分） （4）解：， ， ， ， ， ， …， 每4个一组循环， ， ．（12分） 28．（12分）【初步探究】 （1）已知 是等边三角形，点D 是射线上一点，以为边在的右侧作等边三角形． ①如图1，点D在边 上时，连接．则与的数量关系是_________． ②如图2，点D 在边的延长线上时，补全图2，连接．①中与 的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并进行证明． 【尝试应用】 （2）如图3，已知等边三角形的边长是6，M是中点，点D 是射线上一点，连接，以为边在 的右侧作等边三角形，连接．当是直角三角形时，请直接写出 的长． 【答案】（1）①； ②如图，点D 在边的延长线上时，①中与 的数量关系仍然成立，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． （2）的长为4.5或9 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． （1）①根据证明即可得； ②点D 在边的延长线上时，①中与 的数量关系仍然成立．根据证明即可得； （2）取中点G，连接，然后分三种情况讨论：①当D点在线段上时，由可得，此时，不可能是直角三角形； ②当D点在线段上时，当时，是直角三角形，求得；③当D点在线段的延长线上时，当时，是直角三角形，求得． 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：．（3分） ②略（6分） （2）取中点G，连接， ①如图，当D点在线段上时， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵M是的中点，G是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同（1）得， ∴， 此时，不可能是直角三角形．（8分） ②如图，当D点在线段上时， ∵， ∴， 当时，是直角三角形， 则， ∴， ∴， ∴， ∴．（10分） ③如图，当D点在线段的延长线上时， ∵， ∴， 【答案】(1) (2)沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 理由如下，∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长和宽分别是，， ∴， 当时，是直角三角形， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当是直角三角形时，的长为4.5或9．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：150分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 2．下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A．2、4、5 B．3、3、6 C．5、5、5 D．3、4、5 3．在中，作出边上的高，正确的是（） A．   B．   C．   D．   4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 7．如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 8．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．计算：___________． 10．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 11．近似数精确到_____ 位． 12．已知，则________． 13．已知三角形的三边长分别是，，，且为整数，请写出一个满足条件的的值：________． 14．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为____． 15．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 16．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 17．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为_________． 18．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共10小题，共96分. 19．（10分）计算： (1)； (2)． 20．（10分）利用平方根或立方根的定义，求下列各式中x的值． (1)； (2) 21．（8分）如图，点是的边上的一点，．平分，．求证：． 22．（8分）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 23．（8分）尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（8分）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 25．（10分）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 26．（10分）已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 27．（12分）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 28．（12分）【初步探究】 （1）已知 是等边三角形，点D 是射线上一点，以为边在的右侧作等边三角形． ①如图1，点D在边 上时，连接．则与的数量关系是_________． ②如图2，点D 在边的延长线上时，补全图2，连接．①中与 的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并进行证明． 【尝试应用】 （2）如图3，已知等边三角形的边长是6，M是中点，点D 是射线上一点，连接，以为边在 的右侧作等边三角形，连接．当是直角三角形时，请直接写出 的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $