精品解析：陕西省汉中中学2026届高三第六次模拟考试数学试题

汉中中学2026届高三第六次模拟考试 数学试题（卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义进行计算即可. 【详解】由，得． 故选：D． 2. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，比如，此时，所以“”推不出“”， 由，解得，能推出，所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：C． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】弦化切，再利用特殊角的三角函数值求解. 【详解】由，得，而，所以. 故选：B 4. 已知在中，，若点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法运算以及数乘向量化简即可. 【详解】因，则， 因为的中点，则， 则． 故选：B． 5. 已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比． 则该热气球在前3分钟里上升的总高度． 故选：C． 6. 已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，进而得到角的值. 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 7. 已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. 最大值为1，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为1，最小值为 D. 最大值为，最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可. 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 8. 已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断，得到关于对称，再利用函数和的单调性得到的单调性，然后结合对称性解抽象函数不等式即可. 【详解】因为， 所以 ， 所以，所以的图象关于对称， 又因为在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，结合对称性可得， 两边平方后化简可得，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算、共轭复数的概念、复数的几何意义等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程的左边，得， 所以不是该方程的根，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若在上的投影向量的模为2，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直满足的条件判断AB；利用模的公式，基本不等式判断C；根据投影向量的模得到方程，求出判定D. 【详解】对于A，若，则，无解，故A错误； 对于B，若，则向量， 则， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为2，故C正确； 对于D，在上的投影向量的模为， 故，解得，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数仅有1个极值点 C. 函数仅有1个零点 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性再结合导数的几何意义逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得， 令，则． 在上恒成立， 所以函数在上单调递减，故A正确． 对于B，由A得， 令得或，令得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 为极大值点，为极小值点． 所以函数有两个极值点，故B错误． 又， 当时，，当时，， 作出的大致图象如图，所以函数仅有1个零点，故C正确． 对于D，设切点，则， 曲线在点处的切线为， 即， 若直线是切线，则， 解得，即切点为， 所以直线是曲线的切线，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先将递推数列进行变形化简，然后利用累加法求出结果. 【详解】由得，， 所以， 累加得． 故答案为：4. 13. 已知，,若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将条件拼凑成，然后将目标式乘以，利用基本不等式“1”的妙用计算求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若对任意的，恒成立，则正实数的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察不等式结构构造单调函数，利用函数单调性将指数不等式转化为一次不等式，分离参数后通过求目标函数的最值得到参数的最大值. 【详解】∵ 为正实数，，∴ ，. 原不等式两边同乘，可得. 设，∵ ，∴ 在上单调递增. ∴ 等价于，即对任意恒成立. 设，，则. 令，得. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴ 的最小值为区间端点值中的较小者： ，， 经比较得，故正实数的最大值为. 【点睛】方法归纳：对于同时包含指数、对数的恒成立问题，可通过同构构造单调函数简化不等式，避免复杂的复合函数求导运算，分离参数后结合函数单调性求最值即可得到参数的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列，且，，数列满足（）． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量运算，和等比数列定义即可求解； （2）由错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，解得． 所以． 由题意，，得． 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 【小问2详解】 由（1），得． 则， 则， 两式作差得， ， 所以． 16. 某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （1）若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）可知该轮为“稳定发挥” 共8轮，根据古典概型结合组合数运算求解； （2）该轮“稳定发挥”的概率为，，结合二项分布求分布列求期望. 【小问1详解】 由题意可知：该轮为“稳定发挥”的有第一、三、四、五、七、八、九，十轮，共8轮， 若从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率. 【小问2详解】 用频率估计概率，该轮“稳定发挥”的概率为， 由题意可知：，可得： ；； ；； 可知的分布列为 0 1 2 3 所以的期望. 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【小问1详解】 ∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 ∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2） （3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上是存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，计算出，由直线的点斜式方程可求时的切线方程； （2）计算出并因式分解，根据和进行分类讨论，由此可分析出单调性； （3）当时，直接分析即可；当时，先根据计算出的初步范围，然后再证明在定义域上有两个零点，从而求解出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，显然，故在上单调递减， 当时，令，解得， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，在上单调递减，此时不可能有两个零点， 当时，由（2）可知， 若有两个零点，则一定有， 令，则，所以在上单调递增， 因为，所以若，则有， 下面证明：时，有两个零点； 因为， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 当时，由的单调性可知，所以， 所以，所以，所以， 又因为， 令，所以，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 故当时，， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 所以有两个零点， 综上所述，若有两个零点，则的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中中学2026届高三第六次模拟考试 数学试题（卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，若点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. 最大值为1，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为1，最小值为 D. 最大值为，最小值为 8. 已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若在上的投影向量的模为2，则 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数仅有1个极值点 C. 函数仅有1个零点 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，则_______． 13. 已知，,若，则的最小值为_______. 14. 若对任意的，恒成立，则正实数的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列，且，，数列满足（）． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （1）若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，若且，求周长的取值范围． 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $