陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三第六次模拟考试数学试卷

,5L,uC1LJu八HJALn 高三第六次模拟考试数学答案解析 题号 1 3 N 6 6 7 答案 B D C D c C A 思号 9 10 11 答案 BC ACI) BCD 12. 2. 13.2 14.[1.5]. 15. 【解答】解：(1)圆内接四边形ABCD中，∠DAB=120,AD=5,AB=3. 由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos120°=25+9+15=49，即BD=7, 3分 设圆内接四边形1BCD的半径为n由正孩定理得20o=立=2r,即2r= 7 3 因为∠CDA=∠CBM=90°，所以AC为圆内接四边形ABCD的直径，所以AC=1 -6分 3 （2)四边形面积ABCD为：SaAo+aoc=×3×5×号+CB·CD×号 要使四边形ABCD的而积最大，只要CB·CD最大， 设CB=m、CD=n,由余弦定理得BD2=m2+n2-mn=49,即m2+n2=mn+49, 又m2+n2≥2m1、故m+49≥2mm,mn≤49，当且仅当m=n=7时取等号. 此时AC2=AB2+m2-2AB"mcos∠ABC=9+49-42cos∠ABC, 此时CB=CD,∠BCD=60°，所以△BCD为等边三角形， -9分 所以∠BDC=60°，所以cos∠ABC=cOs(∠ABD+∠DBC)=coS(∠ABD+60°)， 在△MBD中.n29=o即sn∠MBD=0in∠120°=×9=9 AD BD 2 14 所以cos∠ABD=VT-stn2ZABD=共. -11分 141 所以cos∠ABC=cos(∠/BD+60°)=cosABDco60-Sin∠ABDsin60°=os∠ABD-号n∠ABD=×告 9×=-月所以4C=9+49-42×(-月=8。 一13分 16.【解答】解：(1)当a=e时，函数f(x)=r2+e-x,因此导函数(x)=2+er-1, 一1分 设函数g（x)=了（x)=2r+e-1,那么导函数g'(x)=2+e. 因为导函数g'（x)>0,x∈R,所以函数g(x)在R上单调递增. -2分 从而得导函数了（x)在（-∞，+∞)上单调递增，又因为了(0)=0， 因此当xE(0,+∞)时，(x)>0,当xE（-∞，0)时，了(x)<0. -4分 所以函数∫(x)的单调减区间为(-∞，0)，单调增区问为(0，+)· 5分 （2)导函数(x）=2x+cma-ma, 设函数g(x)=(x)=2x+ana-lma,那么导函数g'(r)=2+an2a. 因为导函数g'(x)>0.xER.所以函数g(x)在R上单调递增、 7分 从而得导函数了(x)在（-∞，+∞)上单调递增，又因为.(0)=0， 所以当x∈(0，+∞)时，(x)>0Yxe（-∞，0)时，/(x)<0, 所以函数∫(x)的单调减区间为(-∞，0)，单调增区问为(0.+∞)· -8分 ≥1，∫(x)则(-1,0)单调递减，在(0，)单调递增， 因此函数∫(x)的最小值为∫(0)=1，∫(.r)mr=mar{f(-),∫(l), 10分 因为f(1)=+d-la,∫(-1)=2+a+lna,所以f(1)-(-1)=d-a‘-2la. p (1)=d-a!-2tlna,p (1)=a'lnata 'lna-2lna=Ina (a'ta!-2). 因为a>1,1≥1，所以d>1,所以d+a≥2，llma>0,所以p'()>0, 则函数p()[.+∞)单调递增，所以p()>p(1)=a-。-2na, 设@)=a-2na.a>1.则'(@)=1+片-是=a4-ag>0. 02 则h(a)>h(1)=0,所以p()>0,即∫(1)>f(-)、 -14分 所以∫(x)在-，上的最人值为f(1)=+a-lma,最小值为f(0)=l. 15分 六模物化生3/16 31化八的住州y日国Ap月 17.【解答】解：(1)由题意知，b=n受= 75.3-5×3×4.02 2第1-n=+49+16+z5-5x=1.5. 一一1分 ∴.a=-bx=4.02-15×3=-0.48,故此模型的方程为y=1.5x-0.48: -3分 -10y1-习2=7-1y7-52=104.91-5×16.16=24.11, 好=1-是g=1-=098 -5分 (2)将y=cdx两边同时取对数，得my=ln(cdr)=(lmd).x+lnc, 令z=lmp,则z=(lmd)x+lnc, -7分 六lnd=受=2255x124=0.394,d=e0则=15. -9分 说1x好-5x2 55-5×32 .lnc=z-lnd.x=1.24-0.394X3=0.058,c=eo.os8=l.1. 一1分 故此模型的方程为y=1.1×1.5x. -12分 （3)R3≈0.96>R?≈0.93，y=1.1×1.5*的拟合效果更好， 一13分 当x=6时，y=1.11.56=12.54,即预测2026年该地区的新能源的产值为12.54亿元. -15分 18.【解答】解：(1)连接O1E、EO2,O1O2,平而E01O2即为所求作的平而a, 一2分 证明：，在圆台O1O2中，O1O2⊥平面CBA,BCc平面CBA,.O1O2⊥BC, -4分 :E为劣弧配中点，OE为圆O2的半径，∴.O2E⊥BC, -6分 又O1O2∩02E=02,O102,02Ec平而01O2E,.BC⊥平而O1O2E, -7分 又，BCc平面BCC,∴.平面OO2E⊥平面BCC,即a⊥平面BCC1: 一8分 （2)延长AA,CC交于点D,故DEAAIC平而ABA1,DECC1C平而CC1B, 故平面A1AB∩平面CCB=BD,BD即l,在△ACD中，DC,DA,DB均为圆谁母线. 由AC=2A41=2A1C1=4,得DC=2CC,BC=2V2,故D02=2V3, 以02为原点，02B,02C,0201方向为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系， 则C(0,2,0),B(2,0.0),D(0,0,2③)，A1(0,-1,V③)，C(0,1,V),AA1=(0,1,V③)，AB= (2,2,0),CC1=(0,-1,V3),BC=(-2,2,0),BD=(-2,0,2W3), 一10分 设BQ=1BD,(ER且λ≠1)，则CQ=BQ-BC=1BQ-BC=(-21+2,-2,23). 一一11分 将41，C2平移至平而B,设平面B的法向量平而n=(xo,yo,2o), 分 则：A=0.即%+5，=0 员.c0=0'x(2-2)-2%+2W32=0 取n=(3(+1),V3(1-),1-1), --一14分 AC=(0,4,0), 则异而直线C2与AM的距离d为AC在上的投影向量的长度即c司 则==4W3二令=1，则d=元 43 l 当1=0时，入=1，此时CQ与小M相交，不为异而直线（舍）： 当1≠0时，0<d= 分 w5一≤2V3, 及-兴+72+4 当且仅当λ=-1，异而直线CQ与AM的距离有最大值23， 一17分 0分 (2b=2 19.【解答】解：(1)根据∈= a、3 ，得6=1，a=V3,c=V瓦.因此椭圆为：号+x2=1.—3分 a2=b2+c2 (2)(i)由题意可知：直线：)=一+1对称，则设直线y=+m,C(x,),D（2,2)· (y=kx+m 分 若+x2=1整理得：(3+)42m+m2-3=0. 由韦达定理可知：0=一=是 3+k2 4分 根据题意：△=42m2-4(3+2)(m2-3)=12(k2-m2+3)>0, 一5分 六榄物化生4/16 S扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP 设线段B的中点P(o,为)，则0=轻=一梁，o=aotm= 3+k2 一6分 友P在直线y=-+1上，器=-()+1，m= 代入△>0，可得3+2-4<0，解得：<1，则k∈(-1,0)U(0,1) N分 (ii)设D(xo,-%),C(xo,yo），E(x,y), 那么AC:y=+1,BD:y=兴K-1), 相乘可得yy=6+)·兴（-1.即y2=碧器2-1). 因为C在椭圆上.兰+好=1.即-器=3代入得)P=3公1)， 化简得x2-号=1，由于点E不与A,B重合，因此y≠0. 即动点E的轨迹为x2-苦=1，不包含顶点。 11分 由于aPPM= PMH-IFMIsInLPMF PMI SAQFM GIQMI-IFMI-SInZQMF IQMI' 因此sin∠PMF=sin∠QMF,即∠PMF=∠2MF,所以kPAr+kQN=O. 13分 设M,0》,那么名+是=- +,=0,即2my0+(2-)(y1ty2)=0. my+2-(中my2+2-( 根据韦达定理可y+%二一：%~h=n 所以2m3n2二+2-0=0，化简得18m+（-12m）(2-0)=0. 又由于PQ斜率存在，因此有m≠0.因此=， -16分 因此在x轴上存在点M(,0),使剁= -17分 SAOPM IQMI M 交大附中2025~2026学年第二学期 高三第六次模拟考试数学试题 注意：本试题共4页，四道大题． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在等差数列中，，（，），则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C．2 D．3 4．下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．设，，则“”的一个必要不充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 6．平面的斜线与平面交于点，且斜线与平面所成的角是，则与平面内所有不过点的直线所成的角的范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A．数列不是等比数列 B．若，，则 C．若，则数列是递增数列 D．若数列的前项和，则 8．已知函数（，e为自然对数的底数）的图象上存在2个点、分别与的图象上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分） 9．已知抛物线：的焦点为F，准线为l，点在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ） A．准线l的方程为 B．若，则 C．过点M总能作出两条直线与抛物线C仅有1个交点 D．若，延长与抛物线C交于点N，则 10．已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．除以6所得的余数为5 11．函数，记的最小值为，则下列说法正确的是（ ） A． B．对任意的正整数n，的图象都关于直线对称 C． D．设，为的前n项和，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知角α的终边过点，则________． 13．已知，，，则的最小值为________． 14．平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）如图，四边形中，，，， （1）若，求的长． （2）若，当四边形面积最大时，求的长． 16．（15分）已知函数，． （1）若，求的单调区间． （2），求在上的最小值与最大值． 17．（15分）自2021年以来，某地区新能源产值规模呈快速增长态势，如表给出了近5年该地区的新能源产值（单位：亿元）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号 1 2 3 4 5 产值 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 （1）若用作为回归模型，且，求此模型的方程及其决定系数（精确到0.01）； （2）若用作为回归模型，求此模型的方程； （3）已知回归模型的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2026年该地区的新能源的产值（精确到0.01）． 参考数据： 3 4.02 1.24 75.3 104.91 16.16 22.54 1.1 1.5 11.4 附：①表中； ②对于一组数据，，…，，其经验回归方程为， ；； 决定系数． 18．（17分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的任一点． （1）若劣弧中点为（如图1），过点作出平面平面，请说明平面的作法，并证明平面平面； （2）现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线的交点所形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．当为半圆弧的中点（如图2）所示，设平面平面，，求异面直线与距离的最大值． 19．（17分）已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $