29.1 圆的有关概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”，核心知识点包括不在同一直线上的三点确定一个圆，以及三角形外接圆、外心的定义。课堂导入从“两点确定一条直线”类比提问，通过探究过一点、两点、三点作圆的过程，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步理解确定圆的条件。 其亮点在于以探究活动为主线，结合尺规作图（如作三角形外接圆）和实际问题（破损圆盘复原、抢凳子游戏公平性），培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过外心位置与三角形类型关系的推理、例题中的逻辑证明发展推理意识（数学思维），结构化小结梳理知识体系。学生能提升探究与应用能力，教师可借助丰富例题练习提高教学效率。

29.1 圆的有关概念 第二十九章 圆 第2课时 过三点的圆（1） 学习目标 1.通过探究过一点、两点、三点作圆的过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握三角形外接圆、外心、内接三角形的定义. 2.会用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆、作三角形的外接圆，发展空间概念和空间想象力. 课堂导入 我们知道两点确定一条直线，那么几个点可以确定一个圆呢？ 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 探究 (1) 经过一个点 A 能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？ · · · · · A 经过一个点 A 作圆，只要以点 A 以外任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个. 思考：作圆的关键是什么？要确定什么？ 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小. 对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 探究 (2) 经过两个点 A，B 能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 经过两个点 A，B 作圆，由于所作圆的圆心到 A，B 两点的距离相等，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 探究 (3) 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ D E G F A B C O 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 作圆，因为所作的圆要经过 A，B，C 三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等， 所以所作圆的圆心既要在线段 AB 的垂直平分线上，又要在线段 BC 的垂直平分线上， 所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 探究 (3) 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ D E G F A B C O 由作法可知，线段 AB，BC 的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的. 因此，经过 A，B，C 三点可以作一个并且只可以作一个圆. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 不能忽略这个前提条件 有且只有 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点 A,B,C，已知点A的坐标是(-3，5)，则该圆弧所在圆的圆心 P 的坐标是____________. 解析：连接AB，BC，线段AB，BC 的垂直平分线的交点即为圆心P，如图所示，观察图形可知点P恰好为正方形网格的格点，点P的坐标是(-1，0). 例1 (-1 , 0) P 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 确定圆心的基本方法 一找点：在圆弧上任意找三点. 二作弦：任意连接其中两点作弦，共作两条弦. 三定圆心：分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是这段圆弧所在圆的圆心. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 你知道如何将一个如图所示的破损的圆盘复原吗？ 解：修复方法： （1）在圆弧上任取三点A，B，C; （2）作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心; （3）以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 跟踪训练 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 D E G F A B C O 注意： 根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形的内部. 外心是直角三角形斜边的中点. 外心在三角形的外部. 联系 外心在三角形的内部 ⇔三角形为锐角三角形. 外心在三角形最长边中点处⇔三角形为直角三角形. 外心在三角形的外部 ⇔三角形为钝角三角形. 三角形外心的位置 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 如图，在△ABC 中，AB=AC =13 cm，BC =10 cm， 求△ABC 外接圆半径的长度. 例2 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 · 跟踪训练 D l2 l1 O 随堂练习 1.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ A B C D 解：先沿CD作一条直线，保持AB两端在圆上，旋转这个工具到另外一个位置，再沿CD作一条直线，两条直线的交点即为圆心. 随堂练习 2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. A B C 随堂练习 3. 判断下列说法是否正确. （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( ) （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( ) （3）经过三点一定可以确定一个圆. ( ) （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( ) 无数个. 不共线的三点. 随堂练习 4. 在联欢晚会上，有A,B,C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 D 4. 有下列说法： ①任何一个圆都只有一个内接三角形； ②钝角三角形的外心在三角形的内部； ③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点； ④三角形的外心到三角形三条边的距离相等； ⑤外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形. 其中正确的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】①一个圆有无数个内接三角形，只要三角形三个顶 点都在圆上，就是圆内接三角形，故错误；②钝角三角形的 外心在三角形的外部，锐角三角形外心在三角形的内部，直 角三角形外心在斜边中点，故错误；③三角形外心的定义就 是三边垂直平分线的交点，故正确；④三角形的外心到三角 形三个顶点的距离相等，故错误；⑤外心在三角形的一边上 的三角形是直角三角形，故正确.故选B. C C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【点拨】本题分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时， ②当三点在一直线上时，③当四点不共圆，且其中的任何三 点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆， 画出图形，即可得出答案. 2 （1）请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留 作图痕迹）； 确定一个圆的圆心时，只需作出此圆任意两条弦 （不平行）的垂直平分线，因为弦的垂直平分线经过圆心， 且两条不平行的弦的垂直平分线只有一个交点. 10．(人教九上P118改编)如图5，△ABC是边长为4的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的面积．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 图5 答图2 答图2 11．如图6，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，在网格中找一格点C，使△ABC的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有 (　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C 图6 12．如图7，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC. （1）若∠A＝50°，则∠ABO＋∠ACO＝______°； 50 图7 图7 （2）若∠A＝α，∠BOC＝β，猜想α与β之间的数量关系，并证明． 解：β＝2α.证明如下： 如答图8，连接OA. ∵⊙O是△ABC的外接圆， ∴OA＝OB＝OC. ∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，∠CBO＝∠BCO. ∴∠ABO＋∠ACO＝∠BAO＋∠CAO＝∠BAC＝α. 在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°. 答图8 ∴∠CBO＋∠BCO＝180°－∠BAC －（∠ABO＋∠ACO）＝180°－2α. 在△OBC中，∠BOC＋∠CBO＋∠BCO＝180°， 即β＋180°－2α＝180°. ∴β＝2α. 答图8 13．【分类讨论】已知△ABC是等腰三角形，它的底边长是8，若△ABC的外接圆的半径是5，则△ABC的面积是__________． 　 未指明三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形时，注意分类讨论三角形的形状，可先画出草图帮助计算． 32或8 课堂小结 过三点的圆 确定圆的条件 三角形的外接圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 谢谢观看！ $