4.1.2 多项式和整式 同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 本同步练习通过“过基础”“过能力”分层设计，以概念辨析→技能应用→综合拓展为主线，强化多项式与整式的理解及应用，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|单一知识点（多项式定义、项、次数、整式判断）|选择/填空/解答题结合，如多项式项数判断、升幂排列，夯实概念理解| |过能力|跨知识点综合（含参数多项式、实际问题建模、规律探究）|复杂选择与综合解答，如五次二项式参数求解、商品利润建模，提升推理与应用能力|

4.1.2 多项式和整式 学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 理解多项式、整式的概念，能准确判断一个式子是否为多项式或整式； 2. 掌握多项式的项、常数项、最高次项等概念，能指出多项式的项数和次数； 3. 能按要求对多项式进行升幂排列或降幂排列； 4. 能根据实际问题中的数量关系，正确列出多项式。 知识点一：多项式的定义及相关概念 多项式： 几个单项式的和叫做多项式。 项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫做常数项。 项数： 多项式中含有的项的个数。 注意： 多项式的每一项都包括它前面的符号。如  的项为 、、。 知识点二：多项式的次数 多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 最高次项： 多项式中次数最高的项。 知识点三：升幂排列与降幂排列 升幂排列： 按某个字母的指数从小到大的顺序排列。 降幂排列： 按某个字母的指数从大到小的顺序排列。 知识点四：整式的概念 整式： 单项式和多项式统称为整式。 判断标准： · 分母中不含有字母的代数式是整式； · 分母中含字母的代数式（如 ）不是整式。 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：多项式的定义、项与常数项 1. [2025·广东广州·越秀区期末]（选择题） 下列式子中，是多项式的是（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2025·四川成都·青羊区期中]（选择题） 多项式  的项数和常数项分别是（ ） A. ，  B. ，  C. ，  D. ， 3. [2026·湖北武汉·江岸区月考]（选择题） 多项式  是（ ） A. 三次三项式  B. 四次三项式  C. 三次二项式  D. 四次二项式 4. [2025·江苏南京·玄武区期末]（填空题） 多项式  共有 ________ 项，其中常数项是 ________，最高次项是 ________。 5. [2026·浙江杭州·西湖区期中]（填空题） 请写出一个二次三项式：________。 6. [2025·山东济南·历下区期末]（解答题） 下列式子中，哪些是多项式？哪些不是？并说明理由。 （1）；  （2）；  （3）；  （4）。 知识点二：多项式的次数与升幂降幂排列 7. [2026·陕西西安·碑林区期中]（选择题） 多项式  的次数是（ ） A.   B.   C.   D.  8. [2025·湖南长沙·岳麓区期末]（选择题） 将多项式  按  的降幂排列，正确的是（ ） A.   B.  C.   D.  9. [2026·福建福州·鼓楼区模拟]（选择题） 若多项式  的次数为 ，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  10. [2025·安徽合肥·包河区期中]（填空题） 多项式  按  的升幂排列为 ________。 11. [2026·辽宁沈阳·和平区期末]（填空题） 若多项式  的次数为 ，则 。 12. [2025·江西南昌·东湖区期末]（解答题） 已知多项式 。 （1）分别指出它的各项和常数项； （2）它是几次几项式？ （3）按  的降幂排列。 知识点三：整式的概念与实际应用 13. [2026·广东深圳·南山区期末]（选择题） 下列各式中，是整式的是（ ） A.   B.   C.   D.  14. [2025·河南郑州·金水区期中]（选择题） 下列代数式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。其中整式的个数是（ ） A.  个  B.  个  C.  个  D.  个 15. [2026·山东青岛·市南区期末]（选择题） 某商品原价为  元，先涨价 ，再降价 ，则现价为（ ） A.  元  B.  元  C.  元  D.  元 16. [2025·吉林长春·朝阳区期末]（填空题） 一个长方体的长、宽、高分别为 、、，则它的表面积为 ________，这个式子是 ________（填"单项式"或"多项式"），次数为 ________。 17. [2026·贵州贵阳·南明区期中]（填空题） 一块长方形场地，长为  m，宽为  m，在四个角各去掉一个边长为  m 的小正方形，剩余部分的面积为 ________ m²。 18. [2025·广西南宁·青秀区期末]（解答题） 一个正方形花坛边长为  m，中间挖去一个半径为  m 的圆形水池。 （1）用代数式表示花坛的种植面积； （2）这个代数式是单项式还是多项式？请指出它的项和次数； （3）当 ， 时，求种植面积（ 取 ）。 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·海淀区期末]（选择题） 下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（ ） A.   B.   C.   D.  2. [2026·上海·黄浦区期中]（选择题） 多项式  的项数和次数分别是（ ） A.  项， 次  B.  项， 次  C.  项， 次  D.  项， 次 3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 将多项式  按  的升幂排列，结果是（ ） A.   B.  C.   D.  4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 若多项式  是关于 、 的五次二项式，且 、 均为正整数， 为偶数，则  的值为（ ） A.   B.   C.   D.  5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 下列说法中，正确的是（ ） A. 多项式  是二次三项式，常数项为  B. 多项式  是三次三项式，最高次项的系数为  C. 多项式  是二次三项式 D. 多项式  的项分别是 、、 6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 某超市销售一种商品，进价为每件  元，售价为每件  元，每天售出  件。若每件售价降低  元，则每天可多售出  件。降价后每天的利润为（ ） A.  元  B.  元 C.  元  D.  元 7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 按如图所示的程序计算（输入 ），输出结果用多项式表示为（ ） 输入 x → × 2 → + 3 → 平方 → − 1 → 输出 第7题图 A.    B.    C.    D.  8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 已知多项式 ，下列说法错误的是（ ） A. 它是三次四项式   B. 最高次项是  C. 常数项是    D. 按  的升幂排列为  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 多项式  的次数是 ________，四次项的系数之和是 ________。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 多项式  按  的降幂排列为 ________，按  的升幂排列为 ________。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 请写出一个含有字母 、 的三次二项式：________。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 若多项式  是关于 、 的七次二项式，且 、 均为正整数，，则 。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 观察下列多项式：，，，，…按此规律，第  个多项式的项数为 ________。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 已知多项式  是关于 、 的七次三项式，且 、 均为正整数，。 （1）求 、 的值； （2）写出这个多项式的各项； （3）按  的降幂排列该多项式。 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 某农场有一块长方形试验田，长为  m，宽为  m。 （1）用多项式表示试验田的面积； （2）若 ，求试验田的面积； （3）若在试验田周围修一条宽  m 的小路，则小路和试验田的总面积是多少？（用含 、 的多项式表示） 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 观察下列一组等式： 第  个： 第  个： 第  个： 第  个： （1）请写出第  个等式； （2）第  个等式左边是几个数的和？这个和用含  的式子表示为 ________； （3） 的结果是多少？ 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：多项式的定义、项与常数项 1.【答案】 B 【考点】多项式的判断 【分析】多项式是几个单项式的和。 【解析】A： 是单项式；B： 是三个单项式的和，是多项式；C： 分母含字母，不是整式；D： 是单项式。故选 B。 2.【答案】 B 【考点】多项式的项数和常数项 【解析】 的项为 、、、，共  项；常数项为 。故选 B。 3.【答案】 A 【考点】多项式的次数和项数 【解析】 共有  项，是三项式；次数最高的项为  和 ，次数都为 ，所以是三次三项式。故选 A。 4.【答案】 ；； 【解析】 有  项，常数项为 ，最高次项是 。 5.【答案】 （答案不唯一） 【解析】二次三项式即最高次为 ，共有  项，如 。 6.【答案及解析】 （1）：是多项式，它是两个单项式的和； （2）：不是多项式，因为  的分母中含有字母 ，不是单项式； （3）：是多项式，它是三个单项式的和（、、）； （4）：不是多项式，它是单独一个数，是单项式。 知识点二：多项式的次数与升幂降幂排列 7.【答案】 B 【解析】 的次数为 ， 的次数为 ， 的次数为 ，所有项次数都是 ，所以多项式次数为 。故选 B。 8.【答案】 A 【解析】 中， 的指数分别为 、、、。降幂排列为 。故选 A。 9.【答案】 C 【解析】 的次数为 ， 的次数为 。多项式的次数为 ，所以 。故选 C。 10.【答案】  【解析】按  的升幂排列，指数从小到大为 ，结果为 。 11.【答案】  【解析】 的次数为 ， 的次数为 。多项式次数为 ，所以 。 12.【答案及解析】 （1）各项为 、、、，常数项为 ； （2）次数最高项为 （次数 ）和 （次数 ），共有  项，是五次四项式； （3）按  的降幂排列为 。 知识点三：整式的概念与实际应用 13.【答案】 B 【解析】A： 分母含字母，不是整式；B： 是多项式，属于整式；C： 分母含字母，不是整式；D： 负指数不是整式。故选 B。 14.【答案】 C 【解析】①  是单项式；②  是多项式；③  分母含字母，不是整式；④  是单项式；⑤  是单项式；⑥  是多项式。整式有①②④⑤⑥，共  个。故选 C。 15.【答案】 A 【解析】涨价  后为 ；再降价  后为 。故选 A。 16.【答案】 ；多项式； 【解析】长方体表面积 ，是多项式，次数为 。 17.【答案】  【解析】长方形面积 ，每个小正方形面积 ，四个共 ，剩余面积为 。 18.【答案及解析】 （1）种植面积 ； （2） 是多项式，项为 、，次数为 ； （3）当 ， 时，（m²）。 答：（1）；（2）多项式，项为 、，次数 ；（3） m²。 二、过能力 1.【答案】 C 【解析】A 是多项式；B 是单项式；C 分母含字母，既不是单项式也不是多项式；D 是单项式。故选 C。 2.【答案】 A 【解析】 有  项，次数最高项为 （次数 ）和 （次数 ），所以是三次三项式。故选 A。 3.【答案】 A 【解析】 按  的升幂排列，指数从小到大为 ，结果为 。故选 A。 4.【答案】 A 【考点】由多项式的次数和项数求字母值 【解析】第一项  的次数为 ，第二项  的次数为 。 多项式是五次二项式，最高次数为 ，且 、 均为正整数， 为偶数。 若第一项为最高次项，则 。第二项次数不超过 ，即 ，且  为正整数。因  为偶数满足条件， 可取 ，此时  可为 。 若第二项为最高次项，则 。第一项次数不超过 ，即 ，且  为正偶数，所以 。此时 ，。 结合两种情况，只有当 、 时，多项式的两项次数都为 ，满足"五次二项式"且  为偶数。。故选 A。 5.【答案】 B 【解析】A 错：常数项为 ；B 正确；C 错：是三次三项式；D 错：项应为 、、。故选 B。 6.【答案】 A 【解析】降价后售价 ，单件利润 ，每天售出  件，总利润  元。故选 A。 7.【答案】 B 【解析】输入 ，乘以  得 ，加  得 ，平方得 ，减  得 。故选 B。 8.【答案】 D 【解析】A、B、C 正确；D 错误，按  的升幂排列应为 。故选 D。 9.【答案】 ； 【解析】 的次数为 ， 的次数为 ， 的次数为 ， 的次数为 ，多项式的次数为 。四次项有 、、，系数分别为 、、，系数之和为 。 10.【答案】 ； 【解析】降幂：；升幂：。 11.【答案】 （答案不唯一） 【解析】含有 、，次数为 ，共有  项，如 。 12.【答案】  【解析】 的次数为 ， 的次数为 。多项式为七次二项式，最高次数为 ，且 。若第一项为最高次项：，则第二项次数为 ，超过 ，不符合。若第二项为最高次项：，则第一项次数为 ，不超过 ，符合。，。 13.【答案】  【解析】第  个有  项，第  个有  项，第  个有  项，…第  个有  项。 14.【答案及解析】 （1） 的次数为 ， 的次数为 ， 的次数为 。多项式为七次三项式，最高次数为 。因为 ，两项次数相等，均为 。令 ，所以 。第三项次数为 ，不超过 ，符合。 （2）当  时，各项为 、、； （3）按  的降幂排列：。 答：（1），；（2）、、；（3）。 15.【答案及解析】 （1）面积 ； （2）当  时，（m²）； （3）修路后外围长为  m，宽为  m， 总面积 。 答：（1）；（2） m²；（3）。 16.【答案及解析】 （1）第  个等式：； （2）第  个等式左边有  个数，其和 ； （3） 是前  个奇数的和，。 答：（1）；（2） 个数，；（3）。 学科网（北京）股份有限公司 $