高中数学经典题型全解析：第5课 函数性质 教案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦函数性质核心考点，涵盖单调性、奇偶性、对称性及复合函数、导数应用等内容，按“定义-判断-应用”逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、分层训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破难点。 教案创新采用“三步一回头”复合函数分析策略，结合数形结合与定义法培养数学思维，如定义法证明单调性的五步规范训练，奇偶性应用中符号转化提升数学语言表达。设置典例精讲与变式练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供支撑。

第五课 函数的性质 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 1．函数的单调性的定义 1.1函数单调性是研究函数局部的性质 1.2式子符号与函数单调性关系 1.3函数的单调区间一般不可以用“∪” 2.判断或证明函数单调性或单调区间 2.1定义是证明函数单调性的重要手段 2.2数形结合判断函数的单调性 2.3*导数法求函数的单调区间 3.“三步一回头”探究复合函数的单调区间 3.1*内外层函数在相应区间上均为单调函数 3.2*外层函数在相应区间上单调而内层不单调 3.3*外层函数在相应区间上不单调而内层单调 3.4*内外函数在相应区间上都不单调 4.函数单调性的简单应用 4.1用函数单调性解不等式 4.2运用单调性研究函数的最值 5．函数的奇偶性定义 5.1判断函数的奇偶性优先考虑函数定义域 5.2函数解析式可以根据函数的定义域的部分范围得到简化 5.3函数奇偶性的定义及奇偶性和定义域的关系 5.4 函数奇偶性定义的应用 5.5对恒等式变形同时勿忘函数定义域 5.6奇函数定义区间对字母取值的影响 6.函数奇偶性的应用 6.1用函数奇偶性的“数”的性质简化运算 6.2*型函数奇偶性运用 6.3*函数的奇偶性 6.4偶函数性质的应用 7.函数的对称性 7.1奇偶函数的图象的对称性的应用 7.2奇函数最值的对称性的应用 7.3奇函数必有一个对称中心 7.4*三次函数对称中心的求法 1．函数的单调性的定义 1.1函数单调性是研究函数局部的性质 【典例】定义在上的函数，下列正确的命题的序号是 ． ①若，则是上的单调递增函数； ②若，则不是上的单调递减函数； ③若在区间，上都是单调增函数，则一定是上的单调增函数． 【解析】对于①：变量不具有任意性，不符合单调增函数的定义，即一对自变量的函数值不能确定函数的单调性； ②正确，从逆否关系判定，如果是上的单调递减函数，则必有为真命题； 对于③：注意在处，若函数不连续时（如分段函数）该命题就不一定正确. 【评注】 在定义域I的子区间D上对任意恒有，则在D上单调递增；在定义域I的子区间D上对任意恒有，则在D上单调递减。 【变式1】判断正误(在括号内打“√”或“×”)： (1)函数在定义域上为减函数．(　　) (2)对于函数，若任意，且，则函数在D上是增函数．(　　) (3)函数在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) 【变式2】已知是函数的定义域的一个子区间，若，则函数在区间上是( ) A. 增函数 B.减函数 C.可能是减函数 D.可能是增函数 【变式3】函数在和都是增函数，若，且那么（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式4】已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ ） A． B． C． D． 1.2式子的符号与函数单调性的关系 【典例】已知奇函数的定义域为，且不等式对任意两个不相等的正实数都成立．在下列不等式中，正确的是(　　) A．　　 B． C． D． 【解析】在上为增函数，又为奇函数， 故在上也为增函数， 因为 ，所以. 【评注】一般地，①，在上递增，②，在上递减. 【变式1】，在上递减 下列函数中，满足“对任意，都有”的是(　　) A． 　 　B． C． D． 【变式2*】已知函数满足对任意，都有成立.则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 1.3函数的单调区间一般不可以用“∪” 【典例1】求函数的单调区间． 【解答】因为函数的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）， 所以，根据函数的图象，观察可得可知函数在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减， 故函数的单调递减是（0，+∞），（－∞，0），无增区间． 【评注】反比例函数在处没有意义，其单调减区间不能写成（－∞，0）∪（0，+∞），否则可能出现：，这与减函数矛盾. 【变式1】函数的单调增区间为 . 【变式2】求函数的单调区间． 【变式3*】求函数的单调区间． 【典例2】下列命题正确的是 . （1）已知函数，那么的单调增区间是(－∞，＋∞)； （2）函数的单调减区间是； （3）函数的单调增区间是； （4）函数的单调增区间是； 【解析】对于(1)，当时，递增， 当时，递增，且时均有， 故此函数的单调增区间是(－∞，＋∞)，故（1）正确； 对于（2），函数的分别在区间上分别单调递减，但是在定义域内不单调，故（2）正确； 对于（3）（4），函数与均为两个增函数的和函数， 故在定义域内为增函数，故（3）（4）正确. 故正确的为(1)、（2）、（3）、（4） 【评注】一般地，函数在两个区间上分别单调，那么其单调区间不能用“∪”，而是用“，”或者“和”来表述其单调区间。 【变式1】判断函数的单调增区间是 . 【变式2】已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，那么的取值范围是(　　) A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2] 【变式3】已知函数，则判断函数的单调增区间是 ． 【变式4】已知函数则判断函数的单调增区间是 ． 【变式5*】判断函数的单调性. 2.判断或证明函数单调性或单调区间 2.1定义是证明函数单调性的重要手段 【典例】已知函数. （1）用定义证明在上单调递增； （2）若的值域为D，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）任取设, 则. 因为 ，所以， 因此， 即. 所以，在上单调递增. （2）由. 因为，所以 . 所以，实数的取值范围是. 【评注】定义法证明函数单调性的一般步骤： ①任取，且； ②作差； ③变形(通常是因式分解和配方)； ④定号(即判断的正负)； ⑤下结论(即指出函数在给定的区间上的增减性)． 其中变形是关键，作差、变形是为定号服务，不可忽视. 【变式1】已知函数，证明：函数在上为减函数. 【变式2】判断函数在区间上的单调性. 【变式3】证明函数在R上是减函数. 【变式4】已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是单调增函数．求证：函数在区间上是单调减函数. 【变式5】已知函数，判断函数的单调性，并用单调函数的定义证明. 【变式6】已知函数.试确定函数的单调区间,并证明你的结论. 2.2数形结合判断函数的单调性 【典例】作出函数的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间. 【解析】当或时,， 当时, ， 由函数图象可以知道函数增区间为. 所以，函数减区间为. 【评注】函数单调性的定义从“数”的角度看，是函数值的大小变化；而数可以从“形”上看，就是图象的高低变化趋势.因此，我们可以从函数图象观察得到函数的单调性和单调区间. 【变式1】设函数是R上的减函数，则的范围为( ) A． B． C． D． 【变式2*】函数)是单调函数的充要条件是( ) A． B． C． D． 【变式3】函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A．  B．  C．  D． 【变式4】函数的增区间是（  ） A．  B． C．  D． 【变式5】函数的单调增区间是________． 【变式6】画出下列函数图象并写出函数的单调区间. （1） （2） 2.3*导数法求函数的单调区间 【典例*】已知函数，则函数的单调递减区间为________． 【解析】函数定义域为(0，＋∞)．因为， 所以令，即解得又， 所以.所以函数的单调递减区间为. 【评注】对于幂函数、三角函数、指对数函数复合成的超越函数，常结合导数法求单调区间，且，则函数递增；若且，则函数递减.（加*的题目与高一教学不同步） 【变式1*】函数的单调递增区间是________． 【变式2*】求函数的单调增区间 . 【变式3*】函数的单调递减区间是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1) 【变式4*】已知函数，求的单调区间． 【变式5*】已知.若，试确定的单调区间． 3.“三步一回头”探究复合函数的单调区间 3.1*内外层函数在相应区间上均为单调函数 【典例*】函数在上单调递减，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】（1）此函数是由函数复合所得； （2）分析内外层函数的单调性： 因为原函数在上单调递减， 而，一次函数在上单调递减， 所以外层函数必须是增函数，所以； （3）考察函数定义域： 因为函数在上有意义， 等价于不等式在上恒成立，则。综上，.故选B. 【评注】探求此类复合函数的单调性的三步一回头： （1）将函数拆分成内外层函数； （2）根据确定内外层函数的单调性，求字母取值范围； （3）根据原函数在给定区间上有意义，求字母取值范围. 最后，再看区间的开闭对取值范围的影响.（注：本单元题目适合高三学生做） 【变式1*】函数在上单调递增，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式2*】函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【变式3*】已知函数在定义域（1，2）上为增函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 3.2*外层函数在相应区间上单调而内层不单调 【典例1*】求函数的单调区间. 【解析】（1）此函数由和复合而成的； （2）分析内外层函数的单调性：在单调减，内层函数在上单调增，在上单调减； （3）考察函数定义域：对数的真数大于零，，或. 所以，复合函数的单调增区间为：，单调减区间为. 【评注】复合函数单调性规律：内外层函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外层函数单调性相反，则复合函数为减函数.即同增异减. 因此，外层函数是减函数，内层函数在上增，原函数就在此区间上减；外层函数是增函数，内层函数在上减，原函数就在此区间上减. 【变式1*】函数的单调递增区间是( ) A． B. C. D. 【变式2*】函数的单调增区间为 ，单调减区间为 . 【变式3*】函数的单调区间是 . 【典例2*】函数在上是增函数，求实数的取值范围. 【解析】设和，外层函数递增， 故内层函数在上是增函数， 又因为所给函数定义域为，故即. 所以，实数的取值范围 【评注】复合函数单调性规律：同增异减，内外层单调性相同为增函数，内外层单调性相异为减函数.本题中的外层函数主要是指数函数型. 【变式1*】函数在上是减函数，求的取值范围. 【变式2*】函数在上是增函数，求的取值范围. 【变式3*】函数在上是减函数，求的取值范围 【变式4*】函数的单调递增区间是 . 【变式5*】函数的单调递增区间是 . 3.3*外层函数在相应区间上不单调而内层单调 【典例*】求函数的单调区间． 【解析】（1）函数是由函数复合所得； （2）分析内外层函数的单调性：外层函数在单调递减，单调递增，内层函数在单调递减； （3）考察函数定义域：函数的定义域为. 所以，函数在上单调递增，即，解得， 所以函数在上单调递增； 同理，，函数在上单调递减． 【评注】外层函数在定义域内单调性不统一，其单调区间要想过渡到原函数的单调区间，必须经过内层函数，而区间是的范围，所以它也是内层函数的值域区间，要想得到原函数的单调区间，就必须解不等式获得. 【变式1*】函数的单调递减区间为 ． 【变式2*】函数的单调递增区间． 【变式3*】函数的单调减区间 ． 【变式4*】函数的单调减区间 ． 【变式5*】函数的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . 3.4*内外函数在相应区间上都不单调 【典例*】已知函数，则的递增区间是 . 【解析】设， （1）内层函数的单调区间：函数在单调递减，在单调递增； 外层函数的单调区间：在单调递减， 在单调递增. 函数在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增. （2）考察函数定义域：此函数的定义域为， 因此，的递增区间为，. 【评注】关于复合函数单调性的讨论，始终要注意定义域，满足内层函数的值域是外层函数的定义域。上述类型问题，其实首先不受干扰地探究外层函数单调增区间，再作为内层函数的值域求出相应的x的取值范围；再毫无顾忌地研究内层函数的单调单调区间。 这样一来，内层函数和外层函数都得到关于x的范围，但他们仅仅是使得自身具有单调性，紧接着根据“同增异减”即可解决复合函数的单调性问题。 【变式1】已知函数则的单调减区间是 . 【变式2】已知函数，则的单调减区间是 . 【变式3*】已知函数，则的单调增区间是 . 4.函数单调性的简单应用 4.1用函数单调性解不等式 【典例】已知函数对任意的，有不等式恒成立，则的取值范围为 . 【解析】为奇函数且在上递增， 因此，不等式等价于，即对任意的恒成立. （法1）当时，；当时，； 当时，.故的取值范围为. （法2）设则，即 解得，的取值范围为. 【评注】若函数为增函数，利用单调性定义，由.减函数类似.同时注意奇偶函数的性质的妙用.对于函数不等式，涉及到抽象函数或分段函数时，应考察其单调性，由单调性脱去对应关系，转化为常规不等式求解. 【变式1*】已知函数对任意的，有不等式恒成立，则的取值范围是 . 【变式2*】已知函数，则不等式的解集是 . 4.2运用单调性研究函数的最值 【典例】已知函数，求函数的最值. 【解析】因为函数的图象由反比例函数的图象向左平移1个单位得到，且函数 在区间上均递增， 所以在上递增， 因此，，即. 【评注】求函数的值域或最值，无论是作函数的图象，还是将其与基本的初等函数相联系，其实质都是研究函数的单调性.通过单调性反映函数的最值点. 【变式1】求函数的值域. 【变式2】函数的值域为 . 【变式3】已知函数，求函数的值域是 . 5.函数的奇偶性定义 5.1判断函数的奇偶性优先考虑函数定义域 【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【解析】(1)定义域为R，关于原点对称， 又， 所以，函数为奇函数. (2) 当时，，则； 当时，，，则. 所以，对于，均有. 所以，函数为奇函数. 【评注】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围取相应的解析式化简，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断. 【变式1】判断函数下列函数的奇偶性. (1) (2) 【变式2】判断下列函数的奇偶性． (1) (2) 【变式3】已经函数是奇函数，则的值是 ． 【典例2】判断函数的奇偶性. 【解析】由解得，定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数. 【评注】判定函数的奇偶性，首先判断其定义域是否关于坐标原点对称，再判断或是否成立，或者判断其图象是否关于原点对称.判断某个函数不是奇、偶函数，其定义域可能不是关于坐标原点对称，或者直接举一个反例即可. 【变式1*】下列函数为奇函数的是( ) A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． B．.. C． D． 【变式3】函数为( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式4】判断函数的奇偶性. 5.2函数解析式可以根据函数的定义域的部分范围得到简化 【典例3】判断函数的奇偶性. 【解析】由得定义域为， 所以，所以为偶函数. 【评注】判断函数的奇偶性，必须定义域优先，再用定义判断，但有时也可能不能直接用定义判断，要先在定义域内化简，然后再判断，而本题是根据函数解析式中的隐含的自变量的取值范围获得简化的. 【变式1】函数是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 【变式2】判断函数的奇偶性. 【变式3】已知函数，则该函数是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 【变式4】函数是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5.3函数奇偶性的定义及奇偶性和定义域的关系 【典例1】已知函数，若函数是奇函数，求实数的值. 【解析】（法1）定义域为， 因为是奇函数，则定义域关于原点对称，所以， . （法2） 定义域为，由，即， 化简得，解得，或（舍）. 【评注】如果对于定义域内任意，总满足，则为偶函数；若满足，为奇函数，从定义中对于x和-x的要求看，奇函数或者偶函数的定义域必须关于坐标原点对称.具有奇偶性的函数定义域隐含着区间端点关于原点对称，即. 【变式1】已知函数是偶函数，且其定义域为，则（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2*】若函数，为奇函数，其中，则的值是 . 【变式3】已知函数是定义域上的奇函数，则实数的值是 . 【典例2】若函数在区间上满足，则=_____，=_____. 【解析】因为，所以，则为偶函数， 所以区间关于原点对称. 所以,且=，当且仅当，即时不等式取等号. 由，得，也即，所以. 所以，=-2，=1. 【评注】题目设定等式在区间恒成立，意味着均在区间上，必然要求区间的左右端点互为相反数，且左端点为负数，此外对左端点的估值用到了基本不等式. 【变式1】若函数在区间上满足，则=_____，=_____. 【变式2】若函数在区间上满足，则实数的取值范围是_____. 5.4 函数奇偶性定义的应用 【典例】若函数是奇函数，求实数的值. 【解析】由是奇函数， 则对于定义域内的任意恒成立， 即有，解得， 所以当时函数是奇函数. 【评注】本题易误用错解为：由为奇函数，得，即，所以； 当时，，此时不是奇函数；实际上，为奇函数的充要条件是对定义域内的任意恒成立. 当时，，定义域中没有0，所以不能用。 因此可能为函数为奇函数的既不充分也不必要条件. 【变式1】实数在偶函数定义域内，则 设是偶函数，则的值为　 ． 【变式2】若函数为偶函数，则 . 【变式3】并不能说明函数是奇函数 已知函数，若是上的奇函数，则的值为 . 【变式4】若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则的值为( ) A.1 B. C. D.0 5.5对恒等式变形同时勿忘函数定义域 【典例】已知函数是奇函数（），求实数的值. 【解析】由是奇函数，得即恒成立， 解得，. 当时无意义， 所以，. 【评注】根据奇偶性的定义，函数的定义域存在且关于原点对称时，必定有 恒成立，但是若由变形中，会使自变量的范围扩大，造成参数a有增根. 如本题由得到了，但是当时，函数解析式变成，显然此式无意义.可见此类问题，一定要检验其定义域的存在性.提醒：函数定义域优先。 【变式1】 已知定义域为R的函数是奇函数，实数 ， . 【变式2*】“”是“函数在其定义域上为奇函数”的________条件． 5.6奇函数定义区间对字母取值的影响 【典例1】设函数为奇函数，则a＝________. 【解析】因为，所以， 所以.代入检验是奇函数， 故. 【评注】本题解析式中的因式引起了我们的注意，即发掘出一个隐含条件，结合奇函数，得，得解. 【变式1】若函数是奇函数，则＝________. 【变式2】若函数为奇函数，则_________． 【典例2】若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则_________． 【解析】由是奇函数，所以，即， 即， ， 所以，．经检验符合. 【评注】因定义域内不确定是否含，故不能用，而采用定义求解，此处是定义域为R时k的值, 是定义域内不存在0时k的值. 【变式1】若函数（k为常数）在上为奇函数，则 _________ ． 【变式2】若函数（为常数）在R上为奇函数，则 _________． 6.函数奇偶性的应用 6.1用函数奇偶性的“数”的性质简化运算 【典例1】已知函数，若，则 . 【解析】定义域为,且， 因此函数是奇函数.因而. 【评注】运用奇函数或偶函数的“数”的性质，寻找自变量互为相反数的函数值的关系. 【变式1】已知函数，且，则 ． 【变式2】函数，是奇函数，要巧妙利用 已知，且，那么等于 . 【变式3】，且，为奇函数，则 已知，为奇函数，(,为常数)，若，则 . 【变式4】设f(x)为定义在上的奇函数．当时，（为常数)，则等于(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 【典例2*】已知函数，为的导函数，则（ ） A．8 B．2014 C．2015 D．0 【解析】， 所以. 又因为为偶函数， 所以.. 选. 【评注】奇函数满足，在计算函数值的时候，可以考虑函数的奇偶性，如果是奇函数那么计算就变得异常简单. 【变式1*】函数，若,则的值为（ ） A.3 B.0 C. D. 【变式2】设函数是定义在R上的奇函数，若满足，且，，则的取值范围是________． 6.2型函数奇偶性运用 【典例】判断函数的奇偶性. 【解析】函数的定义域为R， 因为， 所以为奇函数. 【评注】运用或判断型如函数的奇偶性. 【变式1】判断函数的奇偶性 . 【变式2】判断函数的奇偶性 . Comment by Administrator: 与例题重 6.3函数的奇偶性 【典例】已知函数则 ． 【解析】设，则，且是上的奇函数， 所以，. 【评注】型函数是一类经典的奇函数，且具有单调性的函数，运用非常广泛，大小题目均可能出现，其运用请认真领会. 【变式1】若函数是奇函数，则 . 【变式2】判断函数的奇偶性. 【变式3】判断函数的奇偶性. 【变式4】判断函数的奇偶性. 6.4偶函数性质的应用 【典例】已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是 ． 【解析】（法1）由于是偶函数，故， 所以得，再根据的单调性，得，解得． （法2）偶函数满足， 根据函数图象可得，解得． 【评注】对于偶函数，我们把转化为的目的是什么？那就是要把函数的自变量的取值转化到同一单调区间上，进而根据区间上的单调性，脱掉函数符号。在解题中，还应认识到： （1）因为偶函数在和处的函数值相等，所以为偶函数. （2）根据图象，偶函数图象关于轴对称，所以在单调增的偶函数满足，等价于. Comment by Administrator: 不严谨（加） 【变式1】定义在上偶函数在单调减 定义在上的偶函数，当时单调递减，若，则的取值范围是 ． 【变式2】定义在上偶函数在单调增 设偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是 ． 【变式3】已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数．若，求的取值范围． 【变式4】已知偶函数在内是减函数，若，则实数的取值范围是 . 7.函数的对称性 7.1奇偶函数的图象的对称性的应用 【典例1】函数的图象( ) A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称 【解析】是奇函数，图象关于原点对称.故选C. 【评注】奇函数图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称. 【变式1】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则( ) A. B. C. D. 【变式2*】实数在偶函数（常函数除外）定义域内，为一极值 已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 ． 【典例2】若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 . 【解析】函数可化为，由其为偶函数可知， 又因为值域为，可知，解得，. 所以. 【评注】关于x多项式函数是偶函数，其解析式中奇次项系数为零.事实上：由，得，分析得，当为奇数时，. 【变式1】已知函数是偶函数，且，则 . 【变式2】已知函数是偶函数，则 . 【变式3】已知是奇函数，g(x)是偶函数，且，，则等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 7.2奇函数最值的对称性的应用 【典例*】设函数的最大值为，最小值为，则=____. 【解析】原函数式可化为， 所以，，所以。 令，因为为奇函数， 所以，，故. 【评注】奇函数的图象是关于原点对称，那么它们的最大值点和最小值点肯定也是关于原点对称，也就是最大值和最小值互为相反数.因此上述题型解题方向就是设法将函数解析式进行分解，尽量分离出一个奇函数和常数或者具有单调性的部分. 【变式1*】，为奇函数，则 已知函数（x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小值为m，则= ． 【变式2】奇偶函数的极值点必关于原点对称.且若为奇函数，则. 已知函数的最大值为，最小值为，则= ． 【变式3*】已知函数的最大值为，最小值为，则=______. 【变式4*】已知函数（）的最大值为，最小值为，则 . 【变式5】若，则 已知函数的最大值和最小值分别是和，则 . 【变式6*】函数＝的最大值为M和最小值为m,试探求m和M的关系. 【变式7*】函数，项数为27项的等差数列，，公差，若，则______． 7.3 奇函数必有一个对称中心 【典例】已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为，，由此推测函数的图象的对称中心为 ． 【解析】若函数，定义域为， 函数图象右移个单位得，奇函数该函数关于原点中心对称， 故原函数中心为. 函数的图象右移1个单位后，变成，也是奇函数， 故原来的函数对称中心为. 由此类推，……，，图象右移个单位后， 变为：， 该函数为奇函数，因此对称中心为. 【评注】奇函数具有特殊的对称中心，因此一般的中心对称函数都可以转化为奇函数，必须让定义域关于原点对称或对称中心平移至点，从而确定如何平移，通过平移后的图象关于对称易得到原函数对称中心.反比例型函数就是有奇函数向右平移各单位。再向上升各单位得到的，它的对称中心是，也就是渐近线的交点 【变式1】函数图象对称中心的坐标为 . 【变式2】已知函数,求出函数的对称中心； 【变式3】函数的对称中心是，则实数的值是 . 【变式4】若是奇函数，则的对称中心是 若，则 . 【变式5】的对称中心是 求函数图象的对称中心. 7.4*三次函数对称中心的求法 【典例】函数，数列是公差不为0的等差数列，， 求. 【解析】令，所以图象关于对称． 因为， 所以，即. 因为图象上的点，，，…，与，…，，，关于中心对称， 即，故 【评注】图象关于对称，即n个点的纵坐标之和为0，说明它们是关于中心对称的n个点，它们的横坐标之和；三次函数的对称中心的横坐标，实质上即为其二阶导函数的零点.这个结论可以在一些客观题中直接使用.任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 【变式1】三次函数可以通过配凑成某个奇函数平移得到对称中心 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，则函数图象对称中心的坐标为 ． 【变式2】函数图象关于点中心对称，，则 已知实数分别满足，，则的值为 ． 【变式3】函数图象关于点中心对称，，则 已知，则 ． 【变式4】函数图象关于点中心对称，，则 已知函数对任意有，则的值为 ． 【变式5】函数图象关于点中心对称，，则 已知函数对任意有，则的值为 ． 【变式6】已知函数定义在上，数列是公差不为0的等差数列，，则 ． 【变式7】若，则点为三次函数的“拐点”也是图象的对称中心。 若，则 的值为 ． 【变式8】函数图象关于点成中心对称，则 . 对于函数，求的值. ( 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5课 函数性质 1．函数的单调性的定义 1.1函数单调性是研究函数局部的性质 1.(1)×；(2)√；(3)×【解析】对于（1）函数的单调性是对某个区间而言的， 所以要受到区间的限制．例如函数分别在内都是单调递减的； （2）由定义知显然成立； （3）函数在某个区间上单调增，则这个区间可能是该函数单调增区间的子集， 即它不一定是单调增区间。 所以(1)×；(2)√；(3)×。 2.D【解析】因为子区间上只知道，无法对任意的自变量确定的大小，故函数在上可能递增，也可能不单调. 3.D【解析】以函数讨论，选D. 4.D【解析】可转化为和再利用函数单调性可得D. 1.2式子的符号与函数单调性的关系 1.A【解析】满足其实就是在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 2.B【解析】由题意可知在R上单调递减.所以满足，即，故选B. 1.3函数的单调区间一般不可以用“∪” 【典例1】 1.【解析】画出函数的图象，得单调增区间为，没有减区间. 2.【解析】（法1）先确定函数的定义域：， ∴在和两个区间上分别讨论． 任取且，则， 要确定此式的正负只要确定的正负即可． （1）当时，，∴＜0，为减函数， （2）当时，＞0，∴＞0，为增函数． 同理可求（3）当时，为减函数； （4）当时，为增函数． 综上：的增区间为，；减区间为. （法 2）画图： ( x y O ) 得的增区间为，；减区间为. （法3*）求导数得，令，得或，∴的增区间为，；令，得，∴的减区间为 3.【解析】画出函数的图象，得函数在（0，+∞）上的增区间为，减区间为； 函数在（－∞，0）上的增区间为， 减区间为 综上所述，函数的增区间为，；减区间为，. 【典例2】 1.【解析】画出图形，得单调增区间是 2.D【解析】由题意知，解得.故选D. 3.【解析】作出函数的图象，知是R上的增函数， 4.【解析】y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增； y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在(－∞，0)上单调递增． 又x2＋4x－(4x－x2)＝2x2≥0， ∴函数的单调增区间是. 5.【解析】显然连续.当时,恒成立，所以是单调递增函数；当时，恒成立，也是单调递增函数，所以在上是单调递增函数,或画图易知在上是单调递增函数. 2.判断或证明函数单调性或单调区间 2.1定义是证明函数的单调性重要手段 1.【解析】任取，且. ∵.∴函数在上为减函数. 2.【解析】任取且， 则， ∵ , ,, , ∴>0， ∴ 当时, , 函数在上为减函数； 当时, , 函数在上为增函数. 3.【证明】任取，且， . ，，，. 所以，函数在R上是减函数. 4.【解析】设为区间内任意两个值，且，则. 因函数在区间上是单调增函数， 所以.又是偶函数， 所以，即在区间上是单调减函数. 5.【解析】函数定义域为.设， 则， 因为，所以，，， 所以，，， 从而，即， 所以在上为增函数. 同理可证在上为增函数. 6. 【解析】函数在区间上是增函数, 函数在区间上是减函数. 下面证明.设，则, ∵,∴,同理. 当时,,. ∴.∴函数在区间上是增函数. 同理当时,函数在区间上是减函数. 综上所述，函数在区间上是增函数,在区间上是减函数. 2.2数形结合判断函数的单调性 1.D【解析】时该函数是上的减函数，故选D . 2.A【解析】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象选A. 3.A【解析】由二次函数的图象及开口方向，知在对称轴的左侧， 故，即，故选A. 4.A【解析】注意函数的定义域.故选A. 5.（－∞，1]【解析】由题意知，定义域内“,均有”，故单调增区间为. 6.【解析】(1)即. 如图所示，单调增区间为，单调减区间为. （2）当得，函数； 当得，函数. 如图所示，单调增区间为，单调减区间为. 2.3*导数法求函数的单调区间 1.【解析】∵，，∴.令，得. 所以函数的单调递增区间为. 2.【解析】，，解得或， 因为函数定义域所以，增区间. 3.A【解析】∵． ∴当x∈(0,1)时，，为减函数.应选A. 4.【解析】.令，得． 当时，sin x>0，此时； 当时，，此时. 故的单调递减区间为 单调递增区间为． 5.【解析】，， 令，得或， ∴单调增区间为. 同理单调减区间为． 3.“三步一回头”探究复合函数的单调区间 3.1*内外层函数在相应区间上均为单调函数 1.A【解析】因为，所以内函数单调递减，则，解得. 2.【解析】因为外层函数递增，故内层函数在上单调递增，且使对数有意义， 所以，解得. 3.C【解析】令，由知，在（1，2）上为减函数， 则在上为减函数，故， 所以 ，解得． 3.2*外层函数在相应区间上单调而内层不单调 【典例1*】 1.D【解析】显然的外层函数递减，故必需内层函数也递减， 故单调递增区间是.故选D. 2.，【解析】单调递增，单调递减． 3.【解析】函数的外层函数递减， 而内层函数在定义域的子区间，上递增，与上递减. 所以，在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减． 【典例2*】1.【解析】设和，外层函数递增， 则内层函数递减，即二次函数的对称轴在区间的右侧， 只要，函数的定义域为R.故的取值范围为． 2.【解析】设和，外层函数递增， 则内层函数递增，即二次函数的对称轴在区间的左侧， 只要，函数的定义域为R.故的取值范围为． 3.【解析】（设和，外层函数递减， 则内层函数递增，即二次函数的对称轴在区间的左侧， 只要，函数的定义域为R.故的取值范围为． 4.【解析】设，外层函数递减， 故递减，函数的定义域为R. 所以，函数在单调递增. 5.【解析】设，外层函数递增， 故递增，函数的定义域为R.所以，函数在单调递增. 3.3*外层函数在相应区间上不单调而内层单调 1. 【解析】设，由递增，则递减， 故，即，函数的定义域为，因此，单调递减区间为. 2.【解析】设，由递增，则递增， 故，即，函数的定义域为， 因此，单调递增区间为. 3.【解析】设，由递增，则递减， 故，即，函数的定义域为， 因此，单调递减区间为. 4.【解析】，由递增，则递减， 故，即，函数的定义域为. 因此，单调递减区间为. 5.【解析】外层函数在单调递减，在单调递增． 3.4*内外函数在相应区间上都不单调 1.【解析】设由，，函数递减， 故递增，即，解得，函数的定义域为. 所以的减区间为. 2.【解析】设由，，函数递增， 故递减，即，解得，函数的定义域为. 所以的减区间为. 3.【解析】设由，， 函数且在上递减， 故递减，即，函数的定义域为. 所以的增区间为. 4.函数单调性的简单应用 4.1用函数单调性解不等式 1.【解析】因为函数为奇函数，且， 故等价于，则， 即对任意的恒成立. 故或，解得. 2.【解析】函数的定义域为，因为在定义域上恒成立， 所以是单调增函数，所以，解得或. 4.2运用单调性研究函数的最值 1.【解析】函数的定义域为，且递减， 故值域是. 2.【解析】（法1）函数在上单调增，当时，，故值域为. （法2）∵函数的定义域为,令，则≥0,于是， ＝.由二次函数的性质，得. 3.【解析】， （1）（单调性法）函数单调增函数， （2）（换元法）. ，, 则，，得. 综上的值域为. 5.函数的奇偶性定义 5.1判断函数的奇偶性优先考虑函数定义域 【典例1】 1.【解析】(1)由，定义域关于原点对称，且，是既奇又偶函数. (2)由，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数. 2.【解析】(1)函数定义域为． ∵＝＝＝． ∴是偶函数． (2)函数的定义域为． 当时，则； 当时，则. ∴对任意都有．故为奇函数． 3.2【解析】当时，.因为是奇函数，所以.所以=2. 【典例2】 1.D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D． 2.A【解析】，则，，那么，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，故选择. 3.D【解析】函数的定义域是，不关于坐标原点对称， 故其既不是奇函数也不是偶函数．所以选D. 4.【解析】显然,故恒成立,所以定义域为R， 又, 所以既是奇函数又是偶函数. 5.2函数解析式可以根据函数的定义域的部分范围得到简化 1.B【解析】的定义域，故，可见该函数是偶函数.选B. 2.奇函数【解析】定义域是，，，故是奇函数. 3.B【解析】由得定义域为，∴， ∵ .∴为偶函数. 4.A【解析】由得，定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称， 又，..∴为奇函数． 5.3函数奇偶性的定义及奇偶性和定义域的关系 【典例1】 1.B【解析】由为偶函数，得． 又定义域为，所以， 所以．但时，，，故选B. 2.0【解析】，解得：，从而. 3.【解析】，注意定义域为， 只有当时，函数的定义域才能关于原点对称.故. 【典例2】 1.【解析】因为，所以，则为偶函数， 所以区间关于原点对称. 所以,且，当且仅当，即时不等式取等号. 由，得，也即，所以. 2. 【解析】因为，所以，则为偶函数， 所以区间关于原点对称. 所以,且， 当且仅当，，即时不等式取等号. 由，得，也即， 所以. 5.4 函数奇偶性定义的应用 1.【解析】由为偶函数，且定义域为R，则， 从而有，解得. 2.1【解析】因为是偶函数，所以为奇函数. ，解得. 3.1【解析】是上的奇函数， .经检验，符合题意. 4. C【解析】因为是奇函数，所以 对函数定义域中的任意都成立，得，故选C. 5.5对恒等式变形同时勿忘函数定义域 1.【解析】，所以； ，解得， 经验证，是奇函数，故. 2.充分不必要【解析】由为奇函数，有，即， 化简得， 即，解得．所以是充分不必要条件． 5.6奇函数定义区间对字母取值的影响 【典例1】 1.1【解析】∵是奇函数，且x∈R，∴，即. 又，∴，即，因此 2.【解析】由奇函数的定义域关于原点对称，知，即.经检验，符合. 【典例2】 1.【解析】由定义域知，函数无意义，将代入检验，知. 2.【解析】若使是奇函数，则，得； 当时，，显然是奇函数. 6.函数奇偶性的应用 6.1用函数奇偶性的“数”的性质简化运算 【典例1】 1.4【解析】，，两式相加，得从而. 2.【解析】为奇函数，，所以，所以． 3.10【解析】,，相加可得10. 4.D【解析】因为奇函数在有定义，所以，. ∴，从而. 【典例2*】 1.B【解析】，，，故. 2.【解析】∵，∴． ∵为奇函数，且f(1)>1， ∴，∴.解得. 6.2型函数奇偶性运用 1.【解析】定义域R，,∴为偶函数. 2.【解析】定义域R， ，所以为奇函数. 6.3函数的奇偶性 1. 【解析】（特殊值法）由可知， 从而由函数是奇函数有，解得. 2.【解析】定义域R，∴为奇函数. 3.【解析】显然定义域R，∴为奇函数. 4.【解析】显然定义域R，又, 所以既是奇函数又是偶函数. 6.4偶函数性质的应用 1.【解析】因为，而，，在上单调递减， 所以，解得． 2.【解析】因为且在区间上单调递增，所以，解得. 3.【解析】因为是偶函数，且在区间上是单调增函数.所以，解得. 4. 或【解析】因为是偶函数，且在区间内是减函数, ∴所以在区间内是增函数.，解得或. 7.函数的对称性 7.1奇偶函数的图象的对称性的应用 【典例1】 1.D【解析】 可知周期为8，且在上单调增，， 而，，，易得D正确. 2.【解析】因为是偶函数，所以，函数图象与轴交点的纵坐标为. 令，则. 【典例2】 1.2【解析】由对称性知，又，所以 2.0【解析】由对称性知. 3.B【解析】∵是奇函数，∴.又是偶函数，∴. ∵，∴①，又， ∴.② 由①②，得. 7.2奇函数最值的对称性的应用 1.2 【解析】由题意，，且， ，， 因为函数是奇函数, 其最大值和最小值恰好互为相反数， ，. 2.0【解析】，函数是偶函数， 所以是奇函数，，所以. 3.2【解析】.因为，则， 又因为为奇函数，所以，从而. 4.2【解析】.因为， 即.又因为为奇函数， 所以，即2. 5.4【解析】增函数， 奇函数且为增函数， M+m=. 6.2【解析】＝1+ －1为奇函数，则 7.0【解析】因为是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点． 而等差数列有27项，, 若，则必有0. 7.3 奇函数必有一个对称中心 1.【解析】的定义域为，则将图象先向左平移2个单位使定义域关于原点对称， 从而得到对称中心横坐标为2．那么，对称中心的纵坐标为， 即函数的对称中心为. 2.【解析】，函数的对称中心为... 3.5【解析】，根据反比例型函数图象可知，其对称中心为，所以. 4.0【解析】是奇函数，对称中心为. 因为点关于的对称点是，所以，故0. 5.【解析】，则为奇函数， 所以的图象关于点对称. 7.4*三次函数对称中心的求法 1.【解析】平移后得，即．由函数为奇函数， 它的对称中心为，所以函数的对称中心为． 2.2【解析】构造函数，则，. 而函数可以看成是由平移得到， 或者，得， 可得到关于点中心对称，且为单增函数,故． 3.11【解析】是由平移得到的，因此的对称中心为， 有，所以 ． 4.0【解析】，可知，函数关于点对称， 函数的对称中心是，则， 所以 5.0【解析】用替换，得，即， 可知函数关于点对称，所以. 6.0【解析】是奇函数，且在上单增,其图象关于中心对称． 因为 所以图象上的点，，，…，与，…，，，关于中心对称，即所以 7. 1008【解析】令，，则， 所以的图象关于点对称， 同理，函数的图象关于点对称， 所以 1008. 8.4025【解析】，； 当时，，则.因此有，那么； 利用倒序相加法得到： ， ，故 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $