2.2.2　直线的两点式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过三级分层设计，以“基础巩固-能力提升-素养创新”为路径，覆盖直线两点式方程的概念理解、运算应用及综合探究，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|两点式方程直接应用、截距计算|以选择、填空为主，如第1题直接求两点式方程，第6题基础截距式转化，强化运算能力| |B级|直线方程综合判断、面积问题|含多选题（第5题）及综合应用（第14题截距和最小值），发展推理意识与几何直观| |C级|实际情境中的方程建模|第15题结合面积优化，需建立截距关系模型，体现数学语言表达现实问题的应用意识|

2.2.2　直线的两点式方程 A级　必备知识基础练 1.经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为(　　) A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x-3 D.y=-x-3 2.(2026天津南开高二期中)经过点M(2,2)且在两轴上截距相等的直线是(　　) A.x+y=4 B.x+y=2 C.x+y=4或x=y D.x-y=4或x=y 3.过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为(　　) A. B.- C. D.- 4.(2026上海高二期中)四条不重合直线l1,l2,l3,l4都经过点P(3,2),且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积都为S,则S的取值范围是(　　) A.(0,12) B.(0,12] C.(12,+∞) D.[12,+∞) 5.(多选题)已知直线l过点(0,2),(,1),则(　　) A.直线l的斜率为- B.直线l的两点式方程为 C.直线l的一个方向向量为(1,-) D.直线l的截距式方程为=1 6.已知直线l在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2,则直线l的方程为　 . 7.已知直线l经过点P(2,-2),与坐标轴的截距大于0,且在y轴上的截距比在x轴上的截距大1,则直线l的方程为　　　　　　.  8.直线l过点P(-1,2),分别与x轴、y轴交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.  9.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求: (1)AC边所在直线的方程; (2)BC边上中线所在直线的方程. 10.直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12. (1)求直线l的方程; (2)求直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积. B级　关键能力提升练 11.若直线=1过第一、三、四象限,则(　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 12.有关直线方程的两点式,有如下说法: ①直线的两点式方程适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程; ②直线方程也可写成; ③过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线可以表示成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1). 其中正确说法的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 13.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为　 . 14.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　.  C级　学科素养创新练 15.(2026河南南阳高二期中)已知直线l过点A(1,4)且在x轴、y轴上的截距分别为m,n. (1)若2m=n,求直线l的方程; (2)若P(0,-5),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M,N,当△PMN的面积最小时,求直线l的方程. 答案 1.D　经过点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为,整理得y=-x-3.故选D. 2.C　当截距不为0时,设直线为=1,则=1,解得a=4,故所求直线为x+y-4=0.当截距为0时,直线方程为x=y.故选C. 3.C　过两点(-2,4)和(4,-1)的直线的方程为,即y=-x+, ∴直线在y轴上的截距为.故选C. 4.D　设直线与两坐标轴的交点分别为(a,0),(0,b),a>0,b>0,所以设直线为=1.因为直线过点P(3,2),所以=1,则=1≥2,所以≥2,即ab≥24,所以S=ab≥×24=12,当且仅当a=6,b=4时,等号成立,此时取最小值12,所以S≥12.故选D. 5.BC　选项A,因为直线l过点(0,2),(,1),所以直线l的斜率为=-,故A错误; 选项B,直线l的两点式方程为,故B正确; 选项C,因为直线l的斜率为-,所以直线l的一个方向向量为(1,-),故C正确; 选项D,因为l的两点式方程为,整理得y-1=-+1,即=1,故D错误.故选BC. 6.2x-3y-6=0　∵直线l在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2, 则直线l的方程为=1,整理得2x-3y-6=0. 7.2x+y-2=0　由题意知,直线l的斜率存在, 设直线l的方程为=1(a>1), 将P(2,-2)代入直线方程,可得=1, 解得a=2或a=-1(舍去), 所以直线l的方程为x+=1,即2x+y-2=0. 8.y=2x+4　设A(a,0),B(0,b),因为P(-1,2)为AB的中点,所以所以 设直线l的方程为=1,则=1,即y=2x+4. 9.解 (1)∵A(-5,0),C(0,2),∴直线AC的截距式方程为=1,化简得2x-5y+10=0,即AC边所在直线的方程为2x-5y+10=0. (2)∵B(3,-3),C(0,2),设BC中点坐标为D, ∴BC中点为D, 直线AD的斜率为k==-, 因此,直线AD的方程为y=-(x+5),化简得x+13y+5=0,即为BC边上中线所在直线的方程. 10.解 (1)因为直线l在两坐标轴上的截距之和为12, 所以直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点, 故可设直线方程为=1,且a+b=12, 又因为直线l过点(-3,4),所以=1, 联立解得 所以直线l的方程为=1或=1. (2)由(1)可知,当直线l的方程为=1时,S=|a||b|=×9×3=; 当直线l的方程为=1时,S=|a||b|=×4×16=32, 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或32. 11.B　因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0. 12.D　①正确,从两点式方程的形式看,只要x1≠x2,y1≠y2,就可以用两点式来求解直线的方程;②正确,方程的形式有异,但实质相同,均表示过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线;③显然正确.故选D. 13.x-6y+6=0或x-6y-6=0　设直线l的方程为=1,则|ab|=3,且-,解得 故直线l的方程为=1或=1, 即x-6y-6=0或x-6y+6=0. 14.x+2y-6=0　设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1, ∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立. ∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0. 15.解 (1)当m=0时,直线l过原点,设直线l的方程为y=kx,将点A的坐标代入直线l的方程得k=4,此时直线l的方程为4x-y=0;当m≠0时,设直线l的截距式方程为=1,将点A的坐标代入直线l的方程得=1,解得m=3,此时直线l的方程为=1,即2x+y-6=0. 综上所述,直线l的方程为4x-y=0或2x+y-6=0. (2)由题意可知M(m,0),N(0,n),且m>0,n>0,则直线l的截距式方程为=1,将点A的坐标代入直线l的方程可得=1,可得m=, 由可得n>4, 则S△PMN=(n+5)m=(n+9+)=[(n-4)++13] ≥[2+13]=, 当且仅当n-4=(n>4),即m=,n=10时,等号成立,故当△PMN的面积最小时,直线l的方程为=1,即y=-6x+10. 6 学科网（北京）股份有限公司 $