2.2.3直线的一般式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 聚焦直线方程概念与应用，通过基础辨析、综合计算、实际应用三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学运算与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-5）|直线方程形式、倾斜角、截距|以概念辨析题为主，巩固方程形式转换与基本量计算，培养数学抽象能力| |提升层（单选6-12、填空）|位置关系、参数范围、定点问题|结合参数讨论与几何情境，深化斜率、平行垂直条件应用，发展逻辑推理| |综合层（解答题）|三角形中直线方程、垂直平分线|通过实际几何问题，综合运用五种方程形式，提升数学建模与运算能力|

2.2.3直线的一般式方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.直线的一般式方程 形式 条件 A,B 2.直线的一般方程中的几何要素 若直线的一般方程为Ax+y+C=0, (1)当AB≠0时，直线的斜率为，横截距为，纵截距为； (2)当A=0时，直线的斜率为，横截距 纵截距为 (3)当B=0时，直线的斜率， 横截距 纵截距； 3.直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 y个 不表示垂直 点斜 直线过定点P,y。斜 y-yo=k (x- P(xo2Yo) 于x轴的直 式 率为k xo) 线 直线的斜率为k,且与y 轴的交点为0，b)(直线 不表示垂直 斜截 与y轴的交点0，b的纵坐 (0,b) 于x轴的直 式 标b叫做直线l在y轴上的 线 截距) 两点 Px,y和P,x,y其 不表示 y-y1= X-X1 于坐标轴的 式 y2-y1 X2-X 中x1≠X2,y1≠y2 直线 试卷第1页，共3页 不表示垂直 于坐标轴的 截距 在X轴上截距Q,在y轴上 X+Y=1 式 截距b a b 直线及过 的直 线 Ax+By+C=0 一般 任何位置的 A,B,C为系数 式 A2+B≠0 直线 4.两条直线的位置关系 直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,B1≠0， L4:A2X+B2y+C2=0,B2≠0，（其中l1与l3是同一直线，12与4是同一直线，13的法向量 1= 14的法向量2 的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 1, 12满足的条件 3,14满足的条件 平行 1|2 垂直 v1⊥2 相交不共线 1与2 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25.26商二上北京大兴期中)直线ax+5y-1=0的倾斜角等于号则a=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.(25-26高二上·北京·期中)直线x+my+n=0的倾斜角为120°，且mn<0,则该直线 不通过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(25-26高二上·北京朝阳期中)经过点1，-1且倾斜角为45°的直线的方程为() A.x+y-1=0B.x-y-2=0C.x-y-1=0 D.x+y-2=0 试卷第2页，共3页 4.(24-25高二上宁夏吴忠期中)若直线的截距式方程X+兰=1化为斜截式方程为 a b y=-2x+b,化为一般式方程为bx+ay-8=0a>0,则a-b=() A.-2 B.2 c.6 D.8 5.(23-24高二上·北京顺义期末)已知直线l1:ax-y-1=0,12:ax+a+2y-1=0 若，，：则实数a=（） A.0或-3 B.0 C.-3 D.-1或2 6.(24-25高二上北京东城期末)已知直线l1:2x+3y+1=0,12:ax+2y-2=0,若 11,:则实数a的值为() 1 A.3 B. C.-3 3 3 7.(2021·北京丰台二模)“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线aX-y+1=0相互垂 直”的()条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 8.(21-22高二上·北京昌平，期中)已知直线l:x+y-1=0,则下列结论正确的是() A。直线的顿斜角为好 B.向量=(1,1)是直线的一个方向向量 C.过点(1,3)与直线！平行的直线方程为x+y+4=0 D.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m 9.(25-26高二上·北京西城期末)与直线2x+3y+1=0平行且过点(0,1的直线方程是 () A.2x+3y-3=0 B.3x+2y-2=0 C.2x+3y+3=0 D.3x-2y+2=0 10.(25-26高二上·北京海淀.阶段检测)经过点2,2，且与直线6x-8y+3=0垂直的直 线方程为() A.4x+3y-14=0 B.4X-3y-2=0 C.3x+4y-14=0 D.3x-4y+2=0 11.(25-26高二上·北京海淀.期中)对于直线l:3mx+2x+y-2my-4+m=0,下列说 试卷第3页，共3页 法不正确的是() A.l的斜率有可能不存在 B.l恒过定点2,1) C.l的倾斜角有可能是45° D.l恒过第一象限 12.(25-26高二上·北京西城期中)已知直线l:x-y-m+1=0,则下列说法正确的是 () A.直线不恒过定点 B.当m=-2时，直线1不过第三象限 C.直线的斜率可能不存在 D.若直线在坐标轴上的截距相等，则 m=-1 二、填空题 13.(25-26高二上·北京阶段检测)点A1,3,B-2,-1,直线：kx-y+1-2k=0与 线段AB相交，则k的取值范围是 14.(23-24高二上·北京期中)无论a取何值，直线ax+y-a-2=0恒经过一个定点P, P的坐标为 ，经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 15.(25-26高二上·北京·阶段检测)已知点A-2,0,B2,0,C0,2,直线 y=ax+2a将△ABC分割为面积相等的两部分，则实数a的值是 三、解答题 16.(25-26高二上·北京平谷·阶段检测)已知△ABC的三个顶点分别为 A-3,0,B2,1,C-2,3,求： ()BC所在直线的方程： (2)过点A与BC边平行的直线方程； (③)BC边的垂直平分线DE的方程. 17.(25-26高二上北京房山期中)已知直线l1经过两点1,2,3,5. (1)求线1的方程： (2)若直线1112，且直线2在y轴上的截距为4，求直线l2的方程。 18.(25-26高二上·北京·阶段检测)已知△ABC三个顶点是A(3,3),B(-3,1), C(2,0】 (1)求AB边中线CD所在直线方程： 试卷第4页，共3页 (2)求AB边的垂直平分线的方程 19.(2425高二上·北京·期中)已知△ABC顶点A1,2、B-3,-1、C3,-3 (1)求线段BC的中点及其所在直线的斜率： (2)求线段BC的垂直平分线l1的方程； (3)若直线l2过点A,且12的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程. 试卷第5页，共3页 2.2.3直线的一般式方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．直线的一般式方程 形式 _______________________ 条件 A，B_____________________ 【答案】 不同时为0 2．直线的一般方程中的几何要素 若直线的一般方程为， （1）当时，直线的斜率为___，横截距为____，纵截距为_____； （2）当时，直线的斜率为___，横截距_____，纵截距为_____； （3）当时，直线的斜率_____，横截距_____，纵截距_____； 【答案】 0 不存在 不存在 不存在 3．直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距） ____________    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示____于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过_____的直线 一般式 为系数 任何位置的直线 【答案】 垂直 原点 4．两条直线的位置关系 直线，，，，，,（其中与是同一直线，与是同一直线，的法向量___________，的法向量_________的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 ，满足的条件 ，满足的条件 平行 ________________ ________________ 垂直 ________________ ________________ 相交不共线 与 ________________ ________________ 【答案】 且 且 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）直线的倾斜角等于，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据直线方程求得直线的斜率，再利用直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题，可得直线的斜率，又， ，解得. 故选：A. 2．（25-26高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线方程求直线的斜率和纵截距，即可判断选项. 【详解】直线的斜率， 又，所以直线的纵截距为， 所以该直线不通过第三象限. 故选：C 3．（25-26高二上·北京朝阳·期中）经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程化为一般式即可. 【详解】直线斜率，点斜式为，一般式为， 故选：B. 4．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 5．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线：，：，满足， 当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去， 综上，. 故选：B 6．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 7．（2021·北京丰台·二模）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 8．（21-22高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．过点与直线平行的直线方程为 D．若直线，则 【答案】D 【分析】求出直线的倾斜角可判断A，由直线的方向向量可判断B，由直线平行设所求，代点即可判断C，由直线垂直可判断D 【详解】对于A：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B：因为直线的方向向量为或， 所以的方向向量为或，故B错误； 对于C：因为与直线平行的直线方程可设为， 又直线过点，故，解得， 故所求直线为，故C错误； 对于D：，，则， 所以，故D正确； 故选：D 9．（25-26高二上·北京西城·期末）与直线平行且过点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行关系可求斜率，利用点斜式可得答案. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 10．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）经过点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的垂直关系，可得所求直线的斜率为，再根据点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求的直线方程为， 即. 故选：A 11．（25-26高二上·北京海淀·期中）对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 【答案】B 【分析】对A：整理方程后令的系数为即可得；对B：整理方程后令的系数为即可得；对C：令，解出即可得；对D：由直线所过定点即可得. 【详解】对A：直线可化为， 令，则，此时，斜率不存在，故A正确； 对B：直线可化为， 令，解得，故恒过定点，故B错误； 对C：令，解得， 此时直线，斜率为，倾斜角为，故C正确； 对D：由B知，恒过定点，故恒过第一象限，故D正确. 故选：B. 12．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 【答案】B 【分析】求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线：，即， 令，解得，所以直线过定点，故A错误； 对于B：当时直线：，即， 所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确； 对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误； 对于D：若直线在坐标轴上的截距相等， 若截距均为，则，解得； 若截距均不为，显然，对于，令可得， 令，则，所以，解得（舍去）或； 综上可得或，故D错误. 故选：B 二、填空题 13．（25-26高二上·北京·阶段检测）点，，直线与线段相交，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，求出定点与两点连线的斜率，结合图形可得范围. 【详解】直线可化为，即直线恒过定点， 直线的斜率为，直线的斜率为， 如图，因为直线与线段相交，所以. 故答案为： 14．（23-24高二上·北京·期中）无论取何值，直线恒经过一个定点，的坐标为__________，经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________． 【答案】 或 【分析】将直线方程转化为，即可得出定点坐标，然后根据截距的概念分类讨论求直线方程即可. 【详解】直线，即， 所以直线过定点，即点的坐标. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程, 当截距为0时，直线的方程即：； 当截距不为0时，设截距为，直线方程为：， 点在直线上，所以，解得， 此时直线方程为，即， 故直线方程为：或. 故答案为：；或. 15．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则实数的值是___________． 【答案】 【分析】由题可知直线过点，又直线将分割为面积相等的两部分，则直线必需过中点，得到即可求解． 【详解】， ，即时，， 过定点，即点， 又直线将分割为面积相等的两部分， 所以直线必需过中点， ，解得． 故答案为：． 三、解答题 16．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 17．（25-26高二上·北京房山·期中）已知直线经过两点，． (1)求线的方程； (2)若直线，且直线在轴上的截距为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式； （2）先利用垂直关系求出的斜率，再根据已知条件利用斜截式求出直线方程，最后化为一般式． 【详解】（1）点，位于直线上，设直线的斜率为，则， 根据点斜式可得直线的方程为：， 的一般式方程为：． （2），，解得， 又直线在轴上的截距为4，根据直线的斜截式方程得， 直线的方程为：． 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知三个顶点是，，. (1)求AB边中线CD所在直线方程； (2)求AB边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点坐标后，由截距式写出直线方程，整理即可； （2）求出的斜率，由垂直关系得垂直平分线的斜率，结合中点坐标可得直线方程. 【详解】（1）因为，，所以中点的坐标为， 又，所以直线的方程为，即； （2）因为，，所以，所以的中垂线的斜率为， 又中点的坐标为，所以垂直平分线方程为. 19．（24-25高二上·北京·期中）已知顶点、、． (1)求线段的中点及其所在直线的斜率； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1)中点为， (2)； (3)或. 【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解； （2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解； （3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解 【详解】（1）由、，可知中点为，且， （2）由（1）可得，垂直平分线斜率满足，即， 又的垂直平分线过，所以边的垂直平分线的方程为， 即； （3）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $