2.2.3　直线的一般式方程同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到素养探究，适配新授课知识巩固与数学思维、语言、眼光的递进培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|直线斜率、方程形式、平行垂直判定|选择填空为主，夯实概念理解与基本运算| |B级|中垂线应用、直线垂直综合、多选项辨析|解答题结合实际情境，提升推理与问题解决能力| |C级|直线方程含参探究、面积最值、距离问题|开放探究题，培养创新意识与模型观念|

2.2.3　直线的一般式方程 A级　必备知识基础练 1.(2026广西高二期中)已知直线的方程为5x+4y-11=0,则该直线的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 2.(2026山东高二期中)已知直线l的斜率为2,经过点(2,1),则直线l的方程为(　　) A.2x-y-5=0 B.2x+y-5=0 C.2x-y-3=0 D.2x+y-3=0 3.(2026江苏高二期中)过点(1,2)且与直线x+2y-9=0垂直的直线方程是(　　) A.2x-y-3=0 B.2x-y=0 C.x+2y-5=0 D.x+2y-4=0 4.(2026浙江杭州高二期中)如果ab>0,那么直线ax+by+1=0一定经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.坐标原点 5.已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为(　　) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1 6.若直线mx+4y-2=0与直线2x-y+n=0垂直,垂足为(1,p),则实数n的值为(　　) A.-2 B.-4 C.10 D.8 7.(2026天津高二期中)过点(3,-2)且与直线2x-3y+1=0平行的直线的方程是　　　　　. 8.已知直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x-ay+1=0,a∈R,若l1⊥l2,则a的值为　　　　　.  9.(2026江西高二期中)根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)经过点P(-2,1),斜率为2; (2)经过两点A(-1,5),B(2,-1); (3)该直线的一个方向向量为(2,3),且在x轴上的截距为1. B级　关键能力提升练 10.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则点B的坐标为(　　) A.(2,-2) B.(-2,2) C.(-2,-2) D.(2,2) 11.已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为(　　) A.0 B.2 C.4 D. 12.(多选题)(2026广东高二联考)设直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则(　　) A.若A·B=0,则l与坐标轴平行 B.若A=0,则l的倾斜角唯一 C.若A=B,则l的斜率唯一 D.若C=0,则l在坐标轴上的截距唯一 13.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为　 .  14.(2026广东高二联考)已知点A,B位于直线l:x-y-1=0上,其中A在x轴上,C是平面坐标系中的一点. (1)若△ABC为正三角形,求直线AC的斜率; (2)设O为△ABC的重心. ①证明:C始终在同一条直线上,并求这条直线的方程; ②若△ABC的面积为3,求点C的坐标. C级　学科素养创新练 15.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)若直线l不经过第四象限,求实数k的取值范围; (2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,求△AOB面积的最小值; (3)已知P(1,5),若点P到直线l的距离为d,求d最大时直线的方程. 答案 1.A　因为直线的方程为5x+4y-11=0,整理得y=-x+,故直线的斜率为-.故选A. 2.C　直线l的斜率为2,经过点(2,1),则直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.故选C. 3.B　设与直线x+2y-9=0垂直的直线方程为2x-y+m=0,将点(1,2)代入,可得2-2+m=0,解得m=0,所以过点(1,2)且与直线x+2y-9=0垂直的直线方程是2x-y=0.故选B. 4.B　易知,直线ax+by+1=0在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为-.因为ab>0,所以a,b同号,则直线在坐标轴上的截距同正或同负,如图,则直线ax+by+1=0一定经过第二象限.故选B. 5.D　由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0, ∴a=2或a=-1.当a=2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去;当a=-1时,l1∥l2.∴a=-1. 6.A　由已知得解得n=-2. 7.2x-3y-12=0　设与直线2x-3y+1=0平行的直线的方程为2x-3y+C=0(C≠1),将点(3,-2)代入2x-3y+C=0,可得2×3-3×(-2)+C=0,解得C=-12, 故所求直线方程为2x-3y-12=0. 8.-1 9.解 (1)经过点P(-2,1),斜率为2的直线方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. (2)直线经过两点A(-1,5),B(2,-1),则直线方程为,化为一般式方程为2x+y-3=0. (3)直线的一个方向向量为(2,3),则该直线的斜率为. 因为该直线在x轴上的截距为1,所以该直线经过点(1,0),所以该直线的方程为y=(x-1),即3x-2y-3=0. 10.A　设B的坐标为(a,b), 由题意可知 解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A. 11.B　由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0,∴a2+b2=4. 又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b=±时,等号成立. ∴ab的最大值为2.故选B. 12.BC　若A·B=0,则直线l:By+C=0或直线Ax+C=0.当C=0时,l与坐标轴重合,故A错误;若A=0,则直线l:By+C=0(B≠0),l的倾斜角为0,是唯一的,故B正确;若A=B,则l的斜率为-1,是唯一的,故C正确;若C=0且B=0,此时直线方程为x=0,直线与y轴有无数交点,则l在坐标轴上的截距不是唯一的,故D错误.故选BC. 13.4x+3y-12=0或4x+3y+12=0　由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0), 令y=0,得x=-,令x=0,得y=-, 则S==6,得c2=122,c=±12, ∴直线l的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0. 14.(1)解 因为A在x轴上,所以A(1,0). 因为直线l的倾斜角为45°,若△ABC为正三角形,则直线AC的倾斜角为105°或165°, 故斜率为tan(45°+60°)==-2-, 或tan(180°-15°)=-tan 15°=-[tan(45°-30°)]=-()=-2+. (2)①证明 设B(t,t-1),则AB中点D(), 由O为△ABC的重心,故=2,解得C(-1-t,1-t),即xC=-1-t,yC=1-t, 则t=-1-xC,yC=1-(-1-xC),解得yC=xC+2,故C始终在直线y=x+2上. ②解 因为O为△ABC的重心,所以S△ABC=3S△ABO, 故S△ABO=1,S△ABO=|OA||yB|=×1×|t-1|=1,解得t=3或t=-1, 故代入C的坐标得C(-4,-2)或C(0,2). 15.解 (1)由题可得,直线l的方程为k(x+2)-y+1=0,则直线l恒过定点M(-2,1),则直线l不经过第四象限时,k≥0,故实数k的取值范围为[0,+∞). (2)因为直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,所以k>0. 当y=0时,x=-;当x=0时,y=1+2k, 所以S△AOB=|OA||OB|=2k++2≥4,当且仅当k=时,等号成立. 故△AOB面积的最小值为4. (3)当PM⊥l时,d取最大值. 又kPM=,则直线l的斜率为-, 则直线l的方程为y-1=-(x+2),即3x+4y+2=0. 5 学科网（北京）股份有限公司 $