2.2.1直线的点斜式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学高二上学期人教A版选择性必修第一册2.2.1直线的点斜式方程同步练，以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的知识进阶，培养数学运算、推理能力与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|倾斜角与斜率、点斜式直接应用|如第1题直接考查点斜式方程求解，第2题辨析直线方程形式，强化概念理解| |能力提升|垂直平行关系、截距问题、简单几何情境|如第3题结合垂直求斜截式，第6题等腰三角形中直线方程，提升知识交汇应用| |综合应用|复杂几何情境、实际问题、跨知识点整合|如第15题欧拉线方程推导，第16题含参数直线与区间关系，培养逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.2.1　直线的点斜式方程 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分 1.若倾斜角为45°的直线l过点(-1，1)，则l的方程为(　　) A.y=-x B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=x+2 2.(多选)在平面直角坐标系中，下列结论正确的有(　　) A.每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B.倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C.方程k=与方程y+1=k(x-2)可表示同一直线 D.直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x=x0 3.与直线2x-y-1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　) A.y=-x+4 B.y=-x+4或y=-x-4 C.y=x+4 D.y=x+4或y=x-4 4.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) 5.(多选)设点A(-1，0)，B(1，0)，直线y=-2x+b与线段AB相交，则b可能的取值有(　　) A.-1 B.0 C.2 D.3 6.在等腰△AOB中，|AO|=|AB|，O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为(　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 7.(多选)已知直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(-3，3)，则直线l斜率k的可能的值是(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 8.直线l经过点P(1，-1)，且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍，那么直线l的方程是　　　　　. 9.已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程为　　　　. 10.(12分)直线l1的一个方向向量为u=(3，-)，直线l2过点(，1). (1)若直线l1与直线l2平行，求出直线l2的斜截式方程，并求出直线l2的倾斜角α的值；(7分) (2)若直线l1与直线l2垂直，求出直线l2的斜截式方程，并写出直线l2在y轴上的截距.(5分) 11.已知直线l：y=xsin θ+cos θ的图象如图所示，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 12.(多选)同一平面直角坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是(　　) 13.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为　　　　　　　　. 14.(14分)直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 15.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(-1，0)，C(0，3)，|AB|=|AC|，则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　　. 16.已知直线l：y=kx+2k+1，若当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，则实数k的取值范围为　　　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.2.1　直线的点斜式方程参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分 1.若倾斜角为45°的直线l过点(-1，1)，则l的方程为(　　) A.y=-x B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=x+2 答案　D 解析　因为直线l的倾斜角为45°，所以直线l的斜率k=1，由点斜式方程得y-1=x+1，即y=x+2. 2.(多选)在平面直角坐标系中，下列结论正确的有(　　) A.每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B.倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C.方程k=与方程y+1=k(x-2)可表示同一直线 D.直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x=x0 答案　BD 解析　对于A，斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，故A错误； 对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，即直线的斜率为负数，故B正确； 对于C，方程k=表示直线y+1=k(x-2)去掉点(2，-1)，与方程y+1=k(x-2)不表示同一直线，故C错误； 对于D，直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x=x0，故D正确. 3.与直线2x-y-1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　) A.y=-x+4 B.y=-x+4或y=-x-4 C.y=x+4 D.y=x+4或y=x-4 答案　A 解析　由于直线2x-y-1=0，即y=2x-1，可知其斜率为2， 则与直线2x-y-1=0垂直的直线斜率为k=-， 由于所求直线在y轴上的截距为4， 则所求直线的斜截式方程是y=-x+4. 4.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) 答案　D 解析　由A(2，-5)，B(4，-1)， 知线段AB的中点坐标为(3，-3)， 又由斜率公式可得kAB==2， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为 k=-=-， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 y-(-3)=-(x-3). 5.(多选)设点A(-1，0)，B(1，0)，直线y=-2x+b与线段AB相交，则b可能的取值有(　　) A.-1 B.0 C.2 D.3 答案　ABC 解析　b为直线y=-2x+b在y轴上的截距， 如图，当直线y=-2x+b过点A(-1，0)和B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值， 当直线y=-2x+b过点A(-1，0)时，0=-2×(-1)+b，解得b=-2； 当直线y=-2x+b过点B(1，0)时，0=-2×1+b，解得b=2， 所以b的取值范围是[-2，2]，结合选项知，b可能的取值有-1，0，2. 6.在等腰△AOB中，|AO|=|AB|，O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为(　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 答案　D 解析　设线段OB的中点为M，连接AM，如图， ∵|AO|=|AB|，则AM⊥x轴，则点M(1，0)，故点B(2，0)， ∴直线AB的斜率k==-3， ∴直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1). 7.(多选)已知直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(-3，3)，则直线l斜率k的可能的值是(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案　ACD 解析　方法一　直线l的方程为y-2=k(x-1)(k≠0)， 即y=kx-k+2， 令y=0，则x=1-，所以-3<1-<3， 解得k>或k<-1. 方法二　如图所示，设N(-3，0)，M(3，0)，直线AN的斜率为kAN==， 直线AM的斜率为kAM==-1， 又直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(-3，3)， 所以直线l的斜率k满足k>kAN或k<kAM， 即k>或k<-1. 8.直线l经过点P(1，-1)，且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍，那么直线l的方程是　　　　　. 答案　x=1 解析　∵直线l经过点P(1，-1)，且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍， 直线y=x+2的斜率k=1，倾斜角为45°， ∴直线l过点P(1，-1)，倾斜角为90°， ∴直线l的方程为x=1. 9.已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程为　　　　. 答案　y=-x+4或y=-x-4 解析　设l：y=-x+b， 令x=0，得y=b； 令y=0，得x=b. 由题意，得·|b|·=6， ∴b2=16，∴b=±4. 故直线l的方程为y=-x±4. 10.(12分)直线l1的一个方向向量为u=(3，-)，直线l2过点(，1). (1)若直线l1与直线l2平行，求出直线l2的斜截式方程，并求出直线l2的倾斜角α的值；(7分) (2)若直线l1与直线l2垂直，求出直线l2的斜截式方程，并写出直线l2在y轴上的截距.(5分) 解　(1)因为直线l1的一个方向向量为u=(3，-)， 所以直线l1的斜率为k1=-， 若直线l1与直线l2平行，则直线l2的斜率k2=-， 又直线l2过点(，1)， 所以直线l2的方程为y-1=-(x-)， 化为斜截式为y=-x+2， 因为直线l2的斜率k2=-，所以tan α=-，又α∈[0，π)， 所以α=， 所以直线l2的斜截式方程为y=-x+2，倾斜角α=. (2)若直线l1与直线l2垂直， 由(1)可得直线l2的斜率存在，且k1k2=-1，又k1=-， 所以k2=， 所以直线l2的方程为y-1=(x-)， 化为斜截式为y=x-2， 所以直线l2的斜截式方程为y=x-2，在y轴上的截距为-2. 11.已知直线l：y=xsin θ+cos θ的图象如图所示，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　D 解析　结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0， 则角θ是第四象限角. 12.(多选)同一平面直角坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是(　　) 答案　BC 解析　因为l1：y=ax+b，l2：y=bx-a， 对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0， 而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0， 而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0， 而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，符合题意，故C正确； 对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0， 而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误. 13.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为　　　　　　　　. 答案　y=±x-6 解析　由题意知，直线与y轴相交成60°角， 则直线的倾斜角为30°或150°， 可得直线斜率为tan 30°=或tan 150°=-， 即k=±， 所以所求直线方程为y=±x-6. 14.(14分)直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2， 经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，斜率显然不为0， 设直线l的方程为y-2=k(x-2)，k≠0， 令y=0，得x=， 由三角形的面积为2，得××2=2. 解得k=. 可得直线l的方程为y-2=(x-2)，即y=x+1. 综上可知，直线l的方程为x=2或y=x+1. 15.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(-1，0)，C(0，3)，|AB|=|AC|，则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　　. 答案　y=-x+ 解析　因为|AB|=|AC|，所以△ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 设线段BC的垂直平分线的斜率为k， 则k·kBC=-1， 因为kBC==3，所以k=-， 又因为BC的中点坐标为， 所以△ABC的欧拉线方程为y-=-，化成斜截式为y=-x+. 16.已知直线l：y=kx+2k+1，若当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，则实数k的取值范围为　　　　　　. 答案　 解析　方法一　设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条过点(-2，1)的直线(如图所示)， 若当-3<x<3时， 直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得-≤k≤1.所以实数k的取值范围是. 方法二　设函数f(x)=kx+2k+1，要使当-3<x<3时， 直线上的点都在x轴上方， 需使f(x)=kx+2k+1>0， 即(x+2)k>-1在(-3，3)上恒成立， 当x=-2时，0>-1成立，所以k∈R； 当-3<x<-2时，x+2<0， 所以k<-，又y=-在(-3，-2)上单调递增，从而k≤1； 当-2<x<3时，x+2>0，所以k>-， 又y=-在(-2，3)上单调递增， 从而k≥-， 综上，实数k的取值范围是. . 学科网（北京）股份有限公司 $