2.3.2两点间的距离公式 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练以两点间距离公式为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一公式应用到综合几何问题解决的进阶，适配新授课知识内化与能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点间距离公式直接应用、直线交点与定点|单选（如交点象限判断）、填空（过交点直线方程），强化运算能力| |综合应用|距离公式与直线垂直、截距、对称结合|多选（距离几何意义辨析）、解答题（交点坐标与距离范围），发展推理意识| |拓展提升|参数范围、几何证明（中线定理）、最值问题|解答题证明（如中线定理推导）、最值填空（距离和最小值），培养数学建模与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.3.2　两点间的距离公式 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分 1.直线2x+y+1=0与直线x-y+2=0的交点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则该定点为(　　) A.(1，3) B.(-1，3) C.(3，1) D.(3，-1) 3.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(-1，2)的距离 D.可看作点(x，-1)与点(-1，1)的距离 4.(多选)直线x+y-1=0上与点P(-2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A.(-4，5) B.(-3，4) C.(-1，2) D.(0，1) 5.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为(　　) A.y=6x+ B.y=6x- C.y=6x±6 D.y=6x± 6.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为(2，p)，则p-m-n的值为(　　) A.-6 B.6 C.4 D.10 7.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 8.过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点，且与直线3x-4y-8=0垂直的直线的方程为　　　　　　　　. 9.若直线l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0能围成一个三角形，则k的取值范围是　　　　　　. 10.(12分)已知|t|≤1，直线l1：tx-y+1=0和直线l2：x+ty+1=0相交于点P. (1)判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标；(5分) (2)O为坐标原点，求|OP|的取值范围，并指出取最值时点P的位置.(7分) 11.已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，α，β∈R，则|PQ|的最大值为(　　) A. B.2 C.4 D.2 12.(多选)已知集合A=，B=，且A∩B=∅，则实数a的值可以为(　　) A.2 B.-2 C.- D. 13.已知直线l1的方程为x+2y-3=0，直线l2的方程为4x-2y+1=0.若直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则l3的方程为　　　　　　　　. 14.(14分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2+|BC|2-|AC|2=2|BD|2. 15.若x∈R，则+的最小值是　　　　　. 16.(多选)如图，已知直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0).若该抛物线的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形，则点Q的坐标可以是(　　) A.(1，-) B.(1，0) C.(1，1) D.(1，6) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.3.2　两点间的距离公式参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分 1.直线2x+y+1=0与直线x-y+2=0的交点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　联立解得∴交点(-1，1)在第二象限. 2.无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则该定点为(　　) A.(1，3) B.(-1，3) C.(3，1) D.(3，-1) 答案　D 解析　直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0，令解得 因此所求定点为(3，-1). 3.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(-1，2)的距离 D.可看作点(x，-1)与点(-1，1)的距离 答案　BCD 解析　= = =， 可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离， 可看作点(x，0)与点(-1，2)的距离， 可看作点(x，-1)与点(-1，1)的距离，故选项A不正确. 4.(多选)直线x+y-1=0上与点P(-2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A.(-4，5) B.(-3，4) C.(-1，2) D.(0，1) 答案　BC 解析　设所求点的坐标为(a，1-a)， 则=，解得a=-3或a=-1， 所以所求点的坐标为(-3，4)或(-1，2). 5.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为(　　) A.y=6x+ B.y=6x- C.y=6x±6 D.y=6x± 答案　C 解析　设所求直线l的方程为y=6x+b.令x=0，得y=b，直线l与y轴的交点为(0，b)；令y=0，得x=-，直线l与x轴的交点为.∵直线l被两坐标轴所截得的线段长为，∴+b2=37，解得b=±6，因此所求直线方程为y=6x±6. 6.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为(2，p)，则p-m-n的值为(　　) A.-6 B.6 C.4 D.10 答案　C 解析　∵直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直， ∴2×3-2m=0， 解得m=3， 由垂足在两直线上可得 解得 ∴p-m-n=4. 7.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　联立解得故两直线的交点为. 因为交点在第一象限，所以解得-<k<. 8.过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点，且与直线3x-4y-8=0垂直的直线的方程为　　　　　　　　. 答案　4x+3y-18=0 解析　根据题意可得 解得则两直线的交点坐标为(3，2)， 又所求直线与直线3x-4y-8=0垂直， 故所求直线的斜率为k=-， 则所求直线方程为y-2=-(x-3)， 整理得4x+3y-18=0. 9.若直线l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0能围成一个三角形，则k的取值范围是　　　　　　. 答案　{k|k≠±5，且k≠-10} 解析　由l1∥l3得k=5，由l2∥l3得k=-5， 由得 若点(1，1)在l3上，则k=-10. 故若直线l1，l2，l3能围成一个三角形，则k≠±5，且k≠-10. 10.(12分)已知|t|≤1，直线l1：tx-y+1=0和直线l2：x+ty+1=0相交于点P. (1)判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标；(5分) (2)O为坐标原点，求|OP|的取值范围，并指出取最值时点P的位置.(7分) 解　(1)因为t×1+(-1)×t=0，所以l1⊥l2. 联立 解得x=，y=， 所以P. (2)由(1)知|OP|2=+=，因为|t|≤1，所以0≤t2≤1， 则1≤t2+1≤2，则1≤≤2， 即|OP|2∈[1，2]，则|OP|的取值范围是[1，]， 当t2=1，即t=±1时，|OP|取得最小值1，此时P(-1，0)或P(0，1)； 当t2=0，即t=0时，|OP|取得最大值，此时P(-1，1). 11.已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，α，β∈R，则|PQ|的最大值为(　　) A. B.2 C.4 D.2 答案　B 解析　∵P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)， ∴|PQ|= = = =. ∵cos(α-β)∈[-1，1]，∴|PQ|∈[0，2].故|PQ|的最大值为2. 12.(多选)已知集合A=，B=，且A∩B=∅，则实数a的值可以为(　　) A.2 B.-2 C.- D. 答案　AD 解析　由题可知A={(x，y)|2x-y-1=0且x≠2}，B=， 由A∩B=∅，则直线2x-y-1=0与ax-y-2=0平行或两直线相交且交于点(2，3)， 当两直线平行时，a=2；当两直线交于点(2，3)时，2a-5=0，a=， 所以a=或a=2. 13.已知直线l1的方程为x+2y-3=0，直线l2的方程为4x-2y+1=0.若直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则l3的方程为　　　　　　　　. 答案　13x-4y=0或20x+10y-21=0 解析　联立解得 因为直线l3在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，且过点， 当直线l3过原点时， l3的方程为y=x=x， 即13x-4y=0； 当直线l3不过原点时， 设l3的方程为+=1，a≠0， 则+=1，解得a=， 故l3的方程为20x+10y-21=0. 综上所述，l3的方程为13x-4y=0或20x+10y-21=0. 14.(14分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2+|BC|2-|AC|2=2|BD|2. 证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(-a，0). |AB|2+|BC|2-|AC|2 =(a+b)2+c2+(a-b)2+c2-(2a)2 =2a2+2b2+2c2-2a2=2b2+2c2， 2|BD|2=2(b2+c2)=2b2+2c2， 所以|AB|2+|BC|2-|AC|2=2|BD|2. 15.若x∈R，则+的最小值是　　　　　. 答案　 解析　∵+=+， ∴+表示点C(x，0)到点A(0，2)和点B(1，1)的距离之和， ∵A(0，2)关于x轴的对称点为A'(0，-2)， 则|AC|+|BC|=|A'C|+|BC|≥|A'B|(当且仅当点C为线段A'B与x轴的交点时取等号)， ∴+的最小值为|A'B|==. 16.(多选)如图，已知直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0).若该抛物线的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形，则点Q的坐标可以是(　　) A.(1，-) B.(1，0) C.(1，1) D.(1，6) 答案　ABC 解析　直线y=3x+3与x轴的交点为A(-1，0)，与y轴的交点为B(0，3)，而C(3，0)， 故抛物线的对称轴为x=1. 设Q(1，a)，当|AB|=|AQ|时， =， 解得a=±，所以Q(1，-)或Q(1，)， 所以A选项正确； 当|BA|=|BQ|时， =， 解得a=0或a=6，由于点(1，6)在直线y=3x+3上，故舍去，所以Q(1，0)， 所以B选项正确，D选项错误； 当|QA|=|QB|时， =， 解得a=1，所以Q(1，1)，所以C选项正确. . 学科网（北京）股份有限公司 $