2.3.2 两点间的距离公式（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“两点间的距离公式”新授课同步练，以分层设计构建“基础巩固-能力提升-综合创新”三阶路径，通过梯度题型培养数学眼光与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|两点距离公式直接应用|选用阶段检测题（如数轴/坐标系中求距离），强化运算能力| |提升层|公式与几何意义综合|结合“将军饮马”情境（题型03）及对称点问题（题型04），发展几何直观| |综合层|跨知识点融合应用|设置三角形形状判断（题型05）、函数最值（题型06）及创新定义题（如“切比雪夫距离”），培养创新意识与理性精神|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.2 两点间的距离公式 目录 ● A组 巩固过关 题型01求平面两点间的距离. .1 题型02直线过定点问题 .3 题型03将军饮马问题求最值 .5 题型04求点关于直线的对称点.… .9 题型05由顶点坐标判断三角形的形状… .11 题型06用两点间的距离公式求函数最值， 12 题型07求点到直线的距离… 15 B组 能力进阶 .18 C组 思维拔高 .24 拓展 链接高考 30 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01求平面两点间的距离 1.(25-26高一上·浙江杭州阶段检测)在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、 2,将点A向右平移3个单位长度，得到点C.若C0=2B0,则a的值为() A.-1 B.-7 C.1 D.7 2(2526高三下湖南长沙开学考试)在平面直角坐标系0中，1(-20，B(2,0),直线M 的斜率与直线BM的斜幸的差是2，则OM, 的最小值为() 4V5 A.5 B. C.5 D.3 3.(2526高=上陕西西安期中)直线5：x++0y-2m-2=0与直线4(m+)x-y-2m-2=0 PA·PB 相交于点P,且对任意实数m两条直线分别过定点A,B,则 的最大值为() A.4 B.8 C.2√2 D.4v2 颗型02 题型02直线过定点问题 4(2526高二上江西宜春期中)已知4-1,0)，B(0,2),直线1：2x-2四+3a=0上存在点P, 2/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 满足P+PA= 5,则“的取值范围是（） A.1 B.（-o,-U,+o) c.22] D.（0,-2]U[2,+o) 5.(2025高三全国专题练习)已知直线x+y+2-a=0与圆C:x2+y+4y-1=0交于A,B两点， AB 则的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.6 6.(2025高三全国专题练习)己知直线x+y+2-a=0与圆C:2+y+4y-1=0交于A,B两点， AB 则的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.6 颗型03 题型03将军饮马问题求最值 7.(河南省天一大联考2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版）) “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一 个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到 河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位 置为4(4,0)，河岸线所在直线的方程为-y+2=0,若将军从山脚下的点44)处出发，则 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “将军饮马”的总路程最短为() A.22 B.4 C.5 D.21o 8.(25-26高二上贵州阶段检测)（多选题）已知A6,9),B(3,3),P是直线：x-y-2=0上的 动点，则() A.IPA+|PB的最小值为V66 B.IPA+|PB的最小值为V6S C.IPA-PB的最大值为35 D.IPA-PB的最大值为2厅 9.(25-26高二上贵州阶段检测)（多选题）已知A(6,9,B(3,3),P是直线：x-y-2=0上的 动点，则() A.IPA+PBI的最小值为V66 B.IPA+PB的最小值为V6⑤ C.IPA-|PB的最大值为35 D.IPA-PB的最大值为2T 题型04 题型04求点关于直线的对称点 10(25,26高=上河北阶段检测)从点3》射出的无线经”轴反射后到达点尚0 3),则光线 从P到Q所经过的路程为() A.3 B.21 C.4 D.5 1.(25-26高二上北京东城期中)已知x+y=0,则(x-+(0y-少+(x-2+少的最小值为 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.22 B.2+V2 C.10 D.4 12(2526高二上江西期中)一条光线从点4(-1-2)出发，与x轴相交于点P,经过x轴反 射后，反射光线经过点B0,-》,则4+B明（) A.4 B.5 C.7 D.√26 颗型05 题型05由顶点坐标判断三角形的形状 13.(25-26高二上河北保定阶段检测)已知三条直线4：x+2y-1=0,4:2x-y-7=0, g:x-3y+4=0n4∩l2=A42∩l=B1∩l= ,设 C,则△MBC是() A.以A为直角顶点的等腰直角三角形 B.以A为直角顶点的非等腰直角三角形 C.以C为直角顶点的等腰直角三角形 D.等边三角形 14.(23-24高一下贵州遵义期末)已知4(2)，B(2,3),C(-25),则三角形48C的面积为 () 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.5 C.7 D.8 15.(22-23高二上·全国课后作业)以点A(-3,0),B(3,一2)，C(一1,2)为顶点的三角形是 () A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形 D.以上都不是 颗型06 题型06用两点间的距离公式求函数最值 16.(25-26高三上·北京海淀·期末)己知点 -1.0),点P4+30）当变化时，的最小值 ,点 为() A.3 B.4 C.5 D.6 17.(25-26高二上重庆黔江期中)已知xyeR,则+8x+20+R+了+厂-6+10的最小 值是（) A.3 B.32 C.V26 D.5N2 18(25-26高=上重庆黔江期中)已知×yeR,则F+8x+20+V+严+F-6y+10 最小 值是() A.3 B.3V2 C.26 D.52 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 题型07求点到直线的距离 19.(24-25高二上江苏常州期末)点32)到直线2+，-2+1=0的距离的最大值为() A.10 B.√26 C.4 D.V10 20.(25-26高二上福建龙岩期中)己知点4(9,8)，B(5,0,C为直线：2x-y+5=0上一动点， 则△ABC的面积为() A.20 B.30 C.35 D.30W5 21.(25-26高二上·浙江温州·期中)（多选题）已知直线 :(m-2)x+(m+1)y-3m+1=0 ,则下列 选项中正确的是（) 45 A.直线恒过定点(33) B.若直线I与直线2x-y+3=0平行，则m=0 C.若直线，不经过第二象限，则-1<m≤有 D.原点到直线的距离可能为2 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.(2526高三上山东青岛期中)设4〔，），8(，为平面上两点，定义 a(4)--+-以为4,8的“直角距离”若2(4B)=2 ,则线段AB长度的最小值为 () A.2 B.3 C.2 D.5 2(25-26高二上浙江温州期中)在平面直角坐标系0中，点4 A(-1,0)B(1,0 ,动点P满足 P4P9=1,则P的纵坐标的最大值为（） A.5-2 B.3 C. D.1 3.(24-25高二上辽宁阶段检测)（多选题）在平面直角坐标系x0y中，直线：x-mw+1=0 过定点A,直线马：mr+y-m-1=0过定点B,4与交于点P,则() A点1坐标为0-) B.OB=2 C.4与h的方向向量的数量积为1 D.APAB面积的最大值为4 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25高一下·浙江杭州期中)（多选题）在直角坐标系中， M(-1,-1),N(1,3),P(3,-3),Q2,5) ,则以下判断正确的是() A.△MPQ为直角三角形 B.M,N,P,Q依次连起来是一个四边形 C.cos∠MPg=2i3 13 D.SaPON =5 5.(24-25高二上贵州铜仁期末)（多选题）已知直线4：x+2y-1=0;直线2： (3a-1)x-ay-1=0 ,则() A.当a=-1时，的一个方向向量为2 若%，“ B. C.若14，则a= D.点4到 到距离的最大值为5 6.(25-26高二上江苏苏州阶段检测)（多选题）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，定 义a(4B)=mx--为为两点4(，小B(,)的“切比雪夫距离”，又设点P及'上 任意一点，称d(BQ)的最小值为点P到直线'的“切比雪夫距离”，记作a(P),则下列选 项正确的是（) A,对任意三点4B,C,都有 d(C,A)+d(C,B)zd(A,B) B.点P满足(OP)1,则点P组成的图形面积为4 C.定点(-c,0小0，动点Px满足a(R)aBE=2a2c>2a>0),则存在常数 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k y=k 使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D内P为到+斯+c=0的切出香大德离”伦小+C 4+B C组 思维拔高 1.(25-26高二上·甘肃兰州期中)设m∈R,过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直 线r-y-2m+3=0交于点Px,),则△PAB面积的最大值为() 9 A.25 B.2 C.3 D.6 2.(25-26高三上·陕西期末)（多选题）已知曲线 :(x-(-)1,则下列说法正确的是 (). A.曲线卫是中心对称图形 B.曲线E与直线y=2x+1仅有一个公共点 C.曲线卫经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D.若点4V在曲线E上，且M,N分别在直线x=1两侧，则W的最小值为85-) 3(2526高二上安徽毫州期中)设直角坐标平面中任意两点1(，)》8(6，），记 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d(48)=-+以.已知点M0,点P在直线2-y+4=0上，则2 的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 4,(25-26高二上江苏苏州阶段检测)（多选题)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，定 义a(1B)=ma-为两点4(，小B(,)的“切比雪夫距离”，又设点P及'上 任意一点°，称(P)的最小值为点P到直线'的“切比雪夫距离”，记作a(P八，则下列选 项正确的是() A.对任意三点8，C,都有(C,A)+d(C,B)≥d(4B) B.点P满足(OP)1,则点P组成的图形面积为4 C.定点F(-c叭Ee0,动点P川满足a(P)BE月2a(2c>2a>0),则存在常数 使得点的轨迹与直线大有且仅有1个公共点 D.点P到直线1：++C=0的“切比雪夫距高”7，+%+G 4+B 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.(25-26高二上江苏盐城阶段检测)（多选题）对于直线：(m-1)k+y-2m+3=0,下列选 项正确的是() A.直线1恒过点(2，) B.当m=2时，直线1与两坐标轴围成的三角形的面积为1 C若直线不经过第象照则引 D.坐标原点到直线的距离的最大值为V5 2.(25-26高二上安徽阶段检测)（多选题）已知直线：x+y+2a=0,4:x-ay-2=0, aeR O ，为坐标原点，则下列说法正确的是() A.1112 B.4与2过同一个定点 C.若a=1,则4与2关于y轴对称 OM D.若与交于点M,则为定值 12/12 分层作业 2.3.2 两点间的距离公式 目 录 1 题型01 求平面两点间的距离 1 题型02直线过定点问题 3 题型03将军饮马问题求最值 5 题型04求点关于直线的对称点 9 题型05由顶点坐标判断三角形的形状 11 题型06用两点间的距离公式求函数最值 12 题型07求点到直线的距离 15 18 24 30 题型01 求平面两点间的距离题型01 1.（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离 【详解】因为点表示数，所以，由，得， 点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为， 所以，解得或， 又因为、在原点两侧，所以，故舍去，即可得. 2.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】求平面轨迹方程、直线斜率的定义、求平面两点间的距离 【分析】设 ，由直线的斜率与直线的斜率的差是2，得到点 M 的轨迹方程， ；由，化简得到， 利用换元法令 ，求解得到. 【详解】设 ， 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2， 所以， 化简得到点 M 的轨迹方程， ， 由，将代入得到 ， 令得到且， 所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴 当时，，所以. 故选：A. 3.（25-26高二上·陕西西安·期中）直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、基本不等式求积的最大值 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足 ,即， , 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，则的最大值为4. 故选：A. 题型02直线过定点问题题型02 4.（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围、求平面两点间的距离 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：B. 5.（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 6.（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 题型03将军饮马问题求最值题型03 7.（河南省天一大联考2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】作点关于直线对称的点，则“将军饮马”的总路程最短距离即为，求出即可． 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 所以“将军饮马”的总路程最短为． 故选：D． 8.（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【知识点】将军饮马问题求最值、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 9.（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【知识点】将军饮马问题求最值、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 题型04求点关于直线的对称点题型04 10.（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 11.（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 12.（25-26高二上·江西·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 题型05由顶点坐标判断三角形的形状题型05 13.（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、由斜率判断两条直线垂直 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 14.（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 15.（22-23高二上·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 题型06用两点间的距离公式求函数最值题型06 16.（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 17.（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 18.（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 题型07求点到直线的距离题型07 19.（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【详解】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D 20.（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、三角形面积公式及其应用、求平行线间的距离 【分析】先求出两点间距离和直线的方程，再利用平行线间距离公式求出两直线间距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】 ， ， ，则直线所在方程为，整理得， 直线与直线平行， 直线与直线间距离为， ，故B正确． 故选：B． 21.（25-26高二上·浙江温州·期中）（多选题）已知直线，则下列选项中正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线平行，则 C．若直线不经过第二象限，则 D．原点到直线的距离可能为2 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、已知直线平行求参数 【分析】选项A，将直线整理成，则有， 解出这个方程组的解就是直线恒过的定点；选项B，求出直线的斜率为，直线的斜率为，由这两条直线平行得到，代入和计算得解；选项C，第一种情况：当直线存在斜率时，求出直线的斜率为和在轴上的截距，由不过第二象限，得到且在轴上的截距小于等于0，计算得到的范围；第二种情况：当直线不存在斜率时，，，不经过第二象限，符合题意，这两种情况求并集得到的范围；选项D，利用点到直线的距离求出原点到直线的距离，这个距离等于2，得到的一元二次方程，利用判别式与0的大小关系判断这个一元二次方程是否有解，得到判断. 【详解】选项A，， ，， ，直线恒过定点，故选项A正确； 选项B，的斜率为， 直线的斜率为，这两条直线平行， ，，，故选项B正确； 选项C，第一种情况：当直线存在斜率时， ，当时，， 在轴上的截距为， 不过第二象限， ，，， 第二种情况：当直线不存在斜率时， ， ，，不经过第二象限，符合题意， 综上，若直线不经过第二象限，则，故选项C错误； 选项D，， 原点到直线的距离为 ，，， 有根，原点到直线的距离可能为2，故选项D正确. 故选：ABD. 1.（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】令，根据题意可化为二次函数，即可求出结果. 【详解】根据题意，直角距离， 令，则，， 线段长度， 由，得，代入得： ， 当时，取最小值为，此时，即，满足条件. 故选：A 2.（25-26高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】设动点，根据两点之间距离列得等式，结合方程有根解得范围. 【详解】设动点，因为，所以， 两边平方得，化简得， 即，将该式看作关于的一元二次方程： ， 因为点存在，所以该关于的方程必有非负实数解， 其判别式， 解得，所以，故的纵坐标的最大值为. 故选：C. 3.（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点与交于点，则（   ） A．点坐标为 B． C．与的方向向量的数量积为1 D．面积的最大值为 【答案】BD 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、直线方向向量的概念及辨析（平面中））、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据直线方程确定定点坐标，结合两点距离公式判断A、B；由直线垂直的判定得，进而可得两直线方向向量的数量积，即可判断C；根据分析得，由勾股定理得，再应用基本不等式求三角形面积的最大值判断D. 【详解】对于A，由显然恒过，错误； 对于B，将化为恒过定点，故，正确； 对于C，由，则两条直线垂直，垂足为，故， 故与的方向向量的数量积为0，错误； 对于D，由A、B分析有，由勾股定理知， 故的面积，当且仅当时等号成立，正确． 故选：BD 4.．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选题）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求平面两点间的距离、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    5.（24-25高二上·贵州铜仁·期末）（多选题）已知直线：；直线：，则（   ） A．当时，的一个方向向量为 B．若，则 C．若，则 D．点到距离的最大值为5 【答案】AD 【知识点】直线过定点问题、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求直线的方向向量（平面中） 【分析】对A，求出直线的斜率判断；对B，根据两直线平行的充要条件求解判断；对C，根据两直线垂直的充要条件求解判断；对D，求出直线过定点，当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大，得解. 【详解】对于A，当时，直线，其斜率为， 所以的一个方向向量为，故A正确； 对于B，若，则，解得或，经检验均合题意， 所以或，故B错误； 对于C，若，则，即， 解得或，故C错误； 对于D，由，即， 令，解得， 所以直线过定点， 当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大， 距离的最大值为，故D正确. 故选：AD. 6.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（    ） A．对任意三点，都有 B．点满足，则点组成的图形面积为4 C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D．点.到直线的“切比雪夫距离” 【答案】ABD 【知识点】求平面轨迹方程、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题、求平面两点间的距离 【分析】讨论三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断A；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断B；讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断C；分同号和异号利用距离新定义可得D. 【详解】对于A，对任意三点，若它们共线，设、、， 如下图，结合三角形相似可得或，或，或， 若，则，， 若，则，， 所以；    若、或、对调，可得； 若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ； 则对任意的三点、、，都有，故A正确；    对于B，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，若，则； 若，则，故所求轨迹是正方形，面积为4，故B正确； 对于C，定点、，动点，满足， 可得不在上，在线段间成立，可得，解得. 由对称性可得也成立，即有两点满足条件；    若在第一象限内，满足，即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故C错误. 对于D，对于直线，若同号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以； 同理，若异号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以，故D正确.    故选：ABD. 1.（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、基本不等式求积的最大值、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线方程求得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】由题意直线过定点， 直线可变为， 令，得，所以该直线过定点， 所以． 又， 所以直线与直线互相垂直，且交点为， 所以， 所以，即， 当且仅当时取等号， 所以，，即面积的最大值是． 故选：B． 2.（25-26高三上·陕西·期末）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）． A．曲线E是中心对称图形 B．曲线E与直线仅有一个公共点 C．曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D．若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为 【答案】ABD 【知识点】基本不等式求和的最小值、判断两曲线交点的个数、由方程研究曲线的性质 【分析】A：根据奇函数的性质、结合函数图象变换的性质进行判断即可；B：通过解方程组进行求解判断即可；C：根据分式的性质进行求解判断即可；D：根据函数的图象的对称性，结合基本不等式进行求解判断即可. 【详解】对于A，方程可化为， 则曲线E可由函数的图象向右和向上各平移1个单位长度得到， 而是奇函数，其图象关于原点中心对称， 所以曲线E关于点中心对称，故A正确； 对于B，将代入中， 得，解得，则， 故曲线E与直线仅有一个公共点，故B正确； 对于C，在方程中，要使x，y均为整数， 只有或， 故曲线E只经过2个横坐标和纵坐标均为整数的点，分别为，，故C错误； 对于D，设，，其中， 当有最小值时，M，N关于点对称， 则令，则，原式， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD    3.（25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、利用函数单调性求最值或值域、距离新定义 【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值. 【详解】设，， ， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以． 所以的最小值是3. 故选：C 4.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（    ） A．对任意三点，都有 B．点满足，则点组成的图形面积为4 C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D．点.到直线的“切比雪夫距离” 【答案】ABD 【知识点】求平面轨迹方程、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题、求平面两点间的距离 【分析】讨论三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断A；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断B；讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断C；分同号和异号利用距离新定义可得D. 【详解】对于A，对任意三点，若它们共线，设、、， 如下图，结合三角形相似可得或，或，或， 若，则，， 若，则，， 所以；    若、或、对调，可得； 若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ； 则对任意的三点、、，都有，故A正确；    对于B，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，若，则； 若，则，故所求轨迹是正方形，面积为4，故B正确； 对于C，定点、，动点，满足， 可得不在上，在线段间成立，可得，解得. 由对称性可得也成立，即有两点满足条件；    若在第一象限内，满足，即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故C错误. 对于D，对于直线，若同号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以； 同理，若异号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以，故D正确.    故选：ABD. 1.（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）（多选题）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1 C．若直线不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 【答案】AD 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】求出过的定点判断A，当时，求出直线l的横纵截距计算判断B，根据的取值情况判断C；求出原点到定点的距离即判断D. 【详解】可变形为， 由，得所以直线l恒过点，故A正确； 当时，直线方程为，在x，y轴上的截距分别为1，1， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B不正确； 当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确； 因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD 2.．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选题）已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．与过同一个定点 C．若，则与关于轴对称 D．若与交于点，则为定值 【答案】ACD 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据系数关系判断直线垂直判断A，计算直线定点判断B，判断直线关于轴对称判断C，应用垂直关系得出定值判断D. 【详解】直线，，， 对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：直线过定点，过定点，与不过同一个定点，B选项错误； 对于C：若，，，则与关于轴对称，C选项正确； 对于D：若与交于点，直线过定点，过定点， 因为，则，为定值，D选项正确； 故选：ACD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $