2.3.2　两点间的距离公式 同步练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础公式应用到跨知识综合，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识及创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点距离、交点距离、中点坐标等单一知识点|直接应用公式，如第1题计算两点距离，第4题结合中点公式，夯实运算能力与几何直观| |综合运用|距离公式与几何性质结合（如距离最值、直角三角形性质）|通过情境题提升推理意识，如第12题距离之和最小值，第14题证明中点性质| |拓展提高|距离公式与代数方法（不等式、共点证明）综合|跨知识应用，如第15题结合基本不等式求最值，第16题证明三线共点，发展创新意识与模型观念|

2.3.2　两点间的距离公式 一、基础巩固 1.已知M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于(　　) A.5 B. C. D.4 2.已知直线l1:x+2y-5=0,直线l2:3x-y-1=0的交点为A,O为坐标原点,则点A到原点的距离为(　　) A.1 B.2 C. D. 3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5,-3)到原点的距离相等,则点M的坐标为(　　) A.(-2,0) B.(1,0) C. D.(,0) 4.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是(　　) A.2 B.3 C. D. 5.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P(x,y)满足的方程是(　　) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 6.(多选)对于,下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离 C.可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离 D.可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离 7.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 8.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则|AB|=　　　　.  9.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是　　　　.  10.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|=　　　　.  11.已知直线ax+2y-1=0和x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值. 二、综合运用 12.已知x,y∈R,S=+,则S的最小值是(　　) A.0 B.2 C.4 D. 13.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=　　　　.  14.已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|. 三、拓展提高 15.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)两点的距离相等,则2x+4y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 16.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点. 2.3.2　两点间的距离公式 一、基础巩固 1.已知M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于(　　) A.5 B. C. D.4 答案　A 解析　|MN|===5. 2.已知直线l1:x+2y-5=0,直线l2:3x-y-1=0的交点为A,O为坐标原点,则点A到原点的距离为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　D 解析　解方程组 得即A(1,2), 而O为坐标原点,则|AO|==, 所以点A到原点的距离为. 3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5,-3)到原点的距离相等,则点M的坐标为(　　) A.(-2,0) B.(1,0) C. D.(,0) 答案　D 解析　设点M的坐标为(x,0), 根据题意得x2=52+(-3)2, 解得x=±. 又点M在x轴的正半轴上, 所以点M的坐标为(,0),故选D. 4.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可得, BC边的中点D. 由两点间的距离公式得 |AD|==. 5.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P(x,y)满足的方程是(　　) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 答案　B 解析　由题意,得 =, 即3x+y+4=0. 6.(多选)对于,下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离 C.可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离 D.可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离 答案　BCD 解析　= ==, 可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离,可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离,可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离,故选项A不正确. 7.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 答案　C 解析　|AB|== ==2, |BC|=== =4,|AC|===2, ∵|AC|2+|BC|2=|AB|2, ∴△ABC为直角三角形. 8.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则|AB|=　　　　.  答案　 解析　由题意知kAB==b-a=1, 所以|AB|==. 9.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是　　　　.  答案　 解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为= =≥=. 10.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|=　　　　.  答案　 解析　直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2), 直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B, 由两点间的距离公式,得|AB|=. 11.已知直线ax+2y-1=0和x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值. 解　由题易知a≠0,直线ax+2y-1=0中, 令y=0,有x=,则A, 令x=0,有y=,则B, 故AB的中点为, ∵线段AB的中点到原点的距离为, ∴=, 解得a=±2. 二、综合运用 12.已知x,y∈R,S=+,则S的最小值是(　　) A.0 B.2 C.4 D. 答案　B 解析　S=+可以看作是点(x,y)到点(-1,0)与点(1,0)的距离之和,数形结合(图略)易知最小值为2. 13.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=　　　　.  答案　10 解析　以C为原点,AC,BC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系(图略), 设A(4a,0),B(0,4b),则D(2a,2b),P(a,b), 所以|PA|2=9a2+b2,|PB|2=a2+9b2, |PC|2=a2+b2, 于是|PA|2+|PB|2=10(a2+b2)=10|PC|2, 即=10. 14.已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|. 证明　如图,以Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系, 则点A的坐标为(0,0). 设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c). 由中点坐标公式,知边BC的中点M的坐标为, 则|AM|==. 又|BC|==, ∴|AM|=|BC|. 三、拓展提高 15.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)两点的距离相等,则2x+4y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 答案　C 解析　由题意得 =, 整理得x+2y=3, 因为2x>0,4y>0, 所以2x+4y=2x+22y≥2 =2=2=4, 当且仅当2x=22y,即x=,y=时等号成立, 所以2x+4y的最小值为4. 16.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点. 证明　建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0), B(b,0),C(0,c),F(0,0), 则直线CF的方程为x=0. 由直线的截距式方程可得直线AC的方程为+=1,即cx+ay-ac=0. 同理,可得直线BC的方程为 cx+by-bc=0. 由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为, 由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=(x-a). 同理,得直线BE的方程为y=(x-b). 设直线CF和直线AD交于点O, 由 得点O的坐标为. 又O点坐标也满足直线BE的方程, 所以直线BE也过点O. 所以AD,BE,CF三线共点. 学科网（北京）股份有限公司 $