2.2.1 直线的点斜式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过射击手托枪位置（定点）和瞄准方向（斜率）的现实情境导入，引导学生从斜率公式出发，经问题链推导点斜式方程，衔接已学斜率概念，为斜截式及两直线位置关系判断搭建学习支架。 导学案以问题驱动学生推理，情境导入激发探究兴趣，例题含延伸探究培养应用意识，反思感悟提炼方法，练习题覆盖基础与综合，助力学生提升抽象能力、推理意识和应用意识，适合师生课堂教学与自主学习使用。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点) 导语 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点P0，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向(斜率k或倾斜角α)，它们与直线上任意一点P有什么关系呢？本节课就来研究这个问题. 一、求直线的点斜式方程 问题1　给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线l，设P(x，y)为直线上异于P0的任意一点，怎么确定P0(x0，y0)，P(x，y)和斜率k之间的关系？ 问题2　由问题1可知，直线l上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式y-y0=k(x-x0)，若点P1(x1，y1)的坐标也满足关系式y-y0=k(x-x0)，则点P1是否在直线l上？ 知识梳理 我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0. (4)建立直线方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式. 例1　(课本例1)直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 例2　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(-4，3)，斜率k=3； (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°； (3)经过点P(5，-2)，且与x轴平行； (4)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点. 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外. 二、直线的斜截式方程 问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 知识梳理 1.把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点(不与坐标轴重合)时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 例3　已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等，求直线l的方程. 延伸探究1　本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程. 延伸探究2　若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 反思感悟　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 例4　(课本例2)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论： (1)l1∥l2的条件是什么？ (2)l1⊥l2的条件是什么？ 例5　已知直线l1：y=-x+和l2：6my=-x+4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 反思感悟　若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2=-1. 跟踪训练　(1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？ 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线方程时忽略斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 1.已知直线l的方程为y+2=3(x-1)，则直线l的斜率为(　　) A.3 B.2 C.-1 D.-5 2.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 3.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则有(　　) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 4.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.2.1　直线的点斜式方程参考答案 [学习目标]　1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点) 导语 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点P0，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向(斜率k或倾斜角α)，它们与直线上任意一点P有什么关系呢？本节课就来研究这个问题. 一、求直线的点斜式方程 问题1　给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线l，设P(x，y)为直线上异于P0的任意一点，怎么确定P0(x0，y0)，P(x，y)和斜率k之间的关系？ 提示　根据过两点的直线的斜率公式得=k，即y-y0=k(x-x0). 问题2　由问题1可知，直线l上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式y-y0=k(x-x0)，若点P1(x1，y1)的坐标也满足关系式y-y0=k(x-x0)，则点P1是否在直线l上？ 提示　点P1在直线l上. 知识梳理 我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0. (4)建立直线方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式. 例1　(课本例1)直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解　直线l经过点P0(-2，3)，斜率k=tan 45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2. 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示. 例2　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(-4，3)，斜率k=3； (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°； (3)经过点P(5，-2)，且与x轴平行； (4)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点. 解　(1)由点斜式方程可知， 所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4). (2)由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1， 故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1). (3)过点P(5，-2)，且与x轴平行的直线，其斜率为0，故所求直线的点斜式方程为y+2=0(x-5). (4)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率 kPQ===-1. 由直线过点P(-2，3)，Q(5，-4)， 故所求直线的点斜式方程为y-3=-(x+2)或y+4=-(x-5). 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外. 二、直线的斜截式方程 问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 提示　由点斜式方程得y-b=k(x-0)，即y=kx+b. 知识梳理 1.把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点(不与坐标轴重合)时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 例3　已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等，求直线l的方程. 解　由直线的斜截式方程知，直线l1的斜率k1=-2， 又因为l∥l1，所以kl=-2. 由题意知，l2在y轴上的截距为-2， 所以直线l在y轴上的截距b=-2. 由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x-2. 延伸探究1　本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程. 解　∵l1⊥l，直线l1：y=-2x+3， ∴l的斜率为. ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y=4x-2，∴l在y轴上的截距为2. ∴直线l的方程为y=x+2. 延伸探究2　若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 解　令x=0得y=-2，令y=0得x=-1. 所以所求三角形的面积为S=×|-2|×|-1|=1. 反思感悟　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 例4　(课本例2)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论： (1)l1∥l2的条件是什么？ (2)l1⊥l2的条件是什么？ 解　(1)若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即b1≠b2； 反之，若k1=k2，且b1≠b2， 则l1∥l2. (2)若l1⊥l2，则k1k2=-1； 反之，若k1k2=-1， 则l1⊥l2. 例5　已知直线l1：y=-x+和l2：6my=-x+4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解　当m=0时，l1：y=， l2：x=4，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y=-x+. 若l1与l2平行，则解得m=-； 若l1与l2垂直，则-·=-1，无解. 故当m=-时，l1与l2平行； 当m=0时，l1与l2垂直. 反思感悟　若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2=-1. 跟踪训练　(1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？ 解　(1)由题意可知，=-1，=a2-2， ∵l1∥l2，∴ 解得a=-1， 故当a=-1时，直线l1：y=-x+2a与直线l2： y=(a2-2)x+2平行. (2)由题意可知，=2a-1，=4， ∵l1⊥l2，∴4(2a-1)=-1，解得a=. 故当a=时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直. 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线方程时忽略斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 1.已知直线l的方程为y+2=3(x-1)，则直线l的斜率为(　　) A.3 B.2 C.-1 D.-5 答案　A 解析　由直线的点斜式方程，可得k=3. 2.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 答案　B 解析　由y+=(x-1)， 得y=x-9， ∴l在y轴上的截距为-9. 3.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则有(　　) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 答案　B 解析　∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示， 由图知，k>0，b<0. 4.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=　　　　. 答案　-1 解析　由题意可知a·(a+2)=-1， 解得a=-1. . 学科网（北京）股份有限公司 $