2.2.1 直线的点斜式方程 （导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的点斜式与斜截式方程，涵盖确定直线的几何要素、方程推导及特殊直线辨析，通过“倾斜角与斜率”旧知引入，以斜率公式推导点斜式，设置特殊直线方程讨论等学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于注重概念辨析（如截距与距离、斜截式与一次函数的区别）和探究活动（小组讨论方程与直线上点的关系），培养学生数学思维的推理意识和数学眼光的几何直观，习题结合不同阶段检测题，助力学生用数学语言表达，提升知识应用能力。

2.2.1 直线的点斜式方程 （导学案） 1. 确定平面直线的几何要素：平面直角坐标系内，一个定点与直线斜率（倾斜角）可唯一确定一条直线； 1. 直线点斜式方程：由斜率公式推导，明确仅适用于斜率存在的直线；补充两类特殊直线：斜率为0的水平线、斜率不存在的竖直线；辨析与的等价性区别； 1. 直线斜截式方程：点斜式的特殊形式，为斜率，为直线在轴上的截距；辨析截距与距离、斜截式与一次函数的联系与区别； 1. 斜截式下两直线平行、垂直的斜率判定：依托斜截式提取斜率，建立直线平行、垂直的代数判定规则，为后续两点式、一般式、直线与圆位置关系求解奠定解析几何基础。 教学重点：会求直线的点斜式方程、斜截式方程． 教学难点：能利用直线的点斜式方程、斜截式方程解决相应的问题． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直角坐标系中确定一条直线的几何要素 在平面直角坐标系中,给定一个点P0(x0,y0)和斜率k(或倾斜角),就能唯一确定一条直线． 知识点二　直线的点斜式方程(简称点斜式) 已知条件 直线经过点P(x0,y0),且斜率为k 方程形式 特别情况 经过点P(x0,y0)且斜率为0的直线方程为 [说明]　(1)经过点P(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类： ①斜率存在的直线,其方程可用点斜式求出； ②斜率不存在的直线,其方程不能用点斜式,方程为x＝x0. (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的,前者是整条直线,后者表示一条直线去掉点P(x0,y0)． 知识点三　直线的斜截式方程(简称斜截式) 已知条件 直线的斜率为k,且在y轴上的截距为b 方程形式 [提醒]　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况,它们只适用于直线斜率存在的情况． (2)“直线在y轴上的截距为b”的含义是直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标为b,注意截距不是距离,其可正、可负、可为零． [想一想]　斜截式与一次函数的解析式相同,都是y＝kx＋b的形式,两者之间有哪些区别？ 提示：当k≠0时,y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时,y＝b,不是一次函数,一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． 引言：在“倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.即： “直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的. 思考：那么，如何用这个点坐标和表示直线方向的斜率来表示这条直线呢？ 练习：如图示, 直线 l 经过点, 是直线 l 上不同于点 的任意一点, 设直线 l 的斜率为，求. 学生：根据斜率公式，即可求得斜率 预设：由题意可得，x≠ x0，所以由斜率公式可得： ① 思考：将①式去分母，得到一个什么式子？ 预设： ② 关于 x,y 的方程 小结①：不同于点的任意一点都满足方程 思考：点的坐标满足关系式吗？ 学生：将代入关系式 ，关系式恒成立，所以满足. 小结②：点的坐标也满足关系式 结论①：由小结①②得：直线上每一个点的坐标都满足关系式 探究：满足关系式的每一个点都在直线上吗？ 学生：小组讨论，尝试探究，体会分类讨论思想. 预设：设点的坐标，满足关系式，则． 追问1：当时，点在直线上？ 预设：当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 追问2：当时，点在直线上？ 预设：当时，有，这表明过点，的直线的斜率为．因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以，点在直线上． 结论②：满足关系式的每一个点都在直线上 定义：我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程． 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定， 我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)． 理解：1、方程中表示已知点的横坐标和纵坐标； 2、方程中k表示直线l的斜率； 3、方程中x，y表示任意一点P的横坐标和纵坐标，求直线方程时，x，y会保留下来 辨析：① 点斜式方程由直线的斜率和直线上定点确定； ② 结构特点：等号左边为，右边外为斜率； ③ 不能表示斜率不存在的直线，可以表示斜率为0的直线； ④ 方程与不等价，虽然都表示直线l，但前者表示整条直线l，后者表示剔除点的直线l. 思考：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ 学生：学生先画图，然后尝试着写出方程. 当直线的倾斜角为时，，即， 这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即． 思考：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ 学生：学生先画图，然后尝试着写出方程. 当直线的倾斜角为时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即． 设计意图：进一步加深对点斜式的认识，结合图形了解特殊形式的方程.得出点斜式方程适用于斜率存在. 例题1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 思考：如果斜率为k的直线l过点，这时直线的点斜式方程是什么? 师生活动：学生思考，独立完成. 预设：，即. 定义：我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. 追问：截距是距离吗？ 预设：截距不是距离，截距可正可负可为零，本质是一个实数. 设计意图：巩固直线点斜式方程，推导直线斜截式方程. 斜截式方程中，最容易出错的就是截距的概念，这里将概念落实到位. 师生：师生共同分析点斜式的特点，归纳总结，辨析如下： ① 斜截式方程由直线的斜率和在y轴上的截距确定； ② 结构特点：等号左边为y的系数为1，右边的系数为斜率，b为截距； ③ 与的几何意义：为直线的斜率，为纵截距； ④ 不能表示斜率不存在的直线. 设计意图：巩固直线点斜式方程，推导直线斜截式方程. 斜截式方程中，最容易出错的就是截距的概念，这里将概念落实到位. 思考：方程与我们学过的一次函数表达式类似． 我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度问题：你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？你能说出一次函数，及图象的特点吗？ 学生：一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0. 例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了. 一次函数y=2x-1图象是斜率为2, 在y轴上的截距为-1的直线. 一次函数y=3x图象是斜率为3, 在y轴上的截距为0的直线. 一次函数y=-x+3图象是斜率为-1, 在y轴上的截距为3的直线. 例题2：已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么? （2）的条件是什么？ 1.（25-26高二上·广东汕头·期中）若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 直线的点斜式方程 （导学案） 1. 确定平面直线的几何要素：平面直角坐标系内，一个定点与直线斜率（倾斜角）可唯一确定一条直线； 1. 直线点斜式方程：由斜率公式推导，明确仅适用于斜率存在的直线；补充两类特殊直线：斜率为0的水平线、斜率不存在的竖直线；辨析与的等价性区别； 1. 直线斜截式方程：点斜式的特殊形式，为斜率，为直线在轴上的截距；辨析截距与距离、斜截式与一次函数的联系与区别； 1. 斜截式下两直线平行、垂直的斜率判定：依托斜截式提取斜率，建立直线平行、垂直的代数判定规则，为后续两点式、一般式、直线与圆位置关系求解奠定解析几何基础。 教学重点：会求直线的点斜式方程、斜截式方程． 教学难点：能利用直线的点斜式方程、斜截式方程解决相应的问题． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直角坐标系中确定一条直线的几何要素 在平面直角坐标系中,给定一个点P0(x0,y0)和斜率k(或倾斜角),就能唯一确定一条直线． 知识点二　直线的点斜式方程(简称点斜式) 已知条件 直线经过点P(x0,y0),且斜率为k 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 特别情况 经过点P(x0,y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0 [说明]　(1)经过点P(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类： ①斜率存在的直线,其方程可用点斜式求出； ②斜率不存在的直线,其方程不能用点斜式,方程为x＝x0. (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的,前者是整条直线,后者表示一条直线去掉点P(x0,y0)． 知识点三　直线的斜截式方程(简称斜截式) 已知条件 直线的斜率为k,且在y轴上的截距为b 方程形式 y＝kx＋b [提醒]　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况,它们只适用于直线斜率存在的情况． (2)“直线在y轴上的截距为b”的含义是直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标为b,注意截距不是距离,其可正、可负、可为零． [想一想]　斜截式与一次函数的解析式相同,都是y＝kx＋b的形式,两者之间有哪些区别？ 提示：当k≠0时,y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时,y＝b,不是一次函数,一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． 引言：在“倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.即： “直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的. 思考：那么，如何用这个点坐标和表示直线方向的斜率来表示这条直线呢？ 练习：如图示, 直线 l 经过点, 是直线 l 上不同于点 的任意一点, 设直线 l 的斜率为，求. 学生：根据斜率公式，即可求得斜率 预设：由题意可得，x≠ x0，所以由斜率公式可得： ① 思考：将①式去分母，得到一个什么式子？ 预设： ② 关于 x,y 的方程 小结①：不同于点的任意一点都满足方程 思考：点的坐标满足关系式吗？ 学生：将代入关系式 ，关系式恒成立，所以满足. 小结②：点的坐标也满足关系式 结论①：由小结①②得：直线上每一个点的坐标都满足关系式 探究：满足关系式的每一个点都在直线上吗？ 学生：小组讨论，尝试探究，体会分类讨论思想. 预设：设点的坐标，满足关系式，则． 追问1：当时，点在直线上？ 预设：当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 追问2：当时，点在直线上？ 预设：当时，有，这表明过点，的直线的斜率为．因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以，点在直线上． 结论②：满足关系式的每一个点都在直线上 定义：我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程． 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定， 我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)． 理解：1、方程中表示已知点的横坐标和纵坐标； 2、方程中k表示直线l的斜率； 3、方程中x，y表示任意一点P的横坐标和纵坐标，求直线方程时，x，y会保留下来 辨析：① 点斜式方程由直线的斜率和直线上定点确定； ② 结构特点：等号左边为，右边外为斜率； ③ 不能表示斜率不存在的直线，可以表示斜率为0的直线； ④ 方程与不等价，虽然都表示直线l，但前者表示整条直线l，后者表示剔除点的直线l. 思考：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ 学生：学生先画图，然后尝试着写出方程. 当直线的倾斜角为时，，即， 这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即． 思考：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ 学生：学生先画图，然后尝试着写出方程. 当直线的倾斜角为时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即． 设计意图：进一步加深对点斜式的认识，结合图形了解特殊形式的方程.得出点斜式方程适用于斜率存在. 例题1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 师生活动：学生独立完成相互交流，在教师的指导下，共同完成以下作图过程. 预设：详解：直线经过点，斜率， 代入点斜式方程得． 画图时，只需再找出直线上的另一点， 例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求， 师生：归纳总结：1、如何利用直线上一定点和斜率k 求直线点斜式方程？ 第1步：求斜率：利用已知条件求出直线斜率； 第2步：写方程：① 若斜率为0，直线方程为：； ②若斜率不存在，直线方程为：； ③若斜率为其他值，直线方程为： 注意：若题中要求求直线的点斜式，因此不用去括号移项等操作. 2、如何在坐标系上画直线的图象？ 第1步：描点：描直线上两个点，优先选择与坐标轴的交点； 第2步：连线得图象. 思考：如果斜率为k的直线l过点，这时直线的点斜式方程是什么? 师生活动：学生思考，独立完成. 预设：，即. 定义：我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. 追问：截距是距离吗？ 预设：截距不是距离，截距可正可负可为零，本质是一个实数. 设计意图：巩固直线点斜式方程，推导直线斜截式方程. 斜截式方程中，最容易出错的就是截距的概念，这里将概念落实到位. 师生：师生共同分析点斜式的特点，归纳总结，辨析如下： ① 斜截式方程由直线的斜率和在y轴上的截距确定； ② 结构特点：等号左边为y的系数为1，右边的系数为斜率，b为截距； ③ 与的几何意义：为直线的斜率，为纵截距； ④ 不能表示斜率不存在的直线. 设计意图：巩固直线点斜式方程，推导直线斜截式方程. 斜截式方程中，最容易出错的就是截距的概念，这里将概念落实到位. 思考：方程与我们学过的一次函数表达式类似． 我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度问题：你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？你能说出一次函数，及图象的特点吗？ 学生：一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0. 例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了. 一次函数y=2x-1图象是斜率为2, 在y轴上的截距为-1的直线. 一次函数y=3x图象是斜率为3, 在y轴上的截距为0的直线. 一次函数y=-x+3图象是斜率为-1, 在y轴上的截距为3的直线. 例题2：已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么? （2）的条件是什么？ 分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现或时，，与应满足的关系． 预设：（1）若，则，此时，与轴的交点不同，即；反之，若，且，则． （2）若，则；反之，若，则． 由例2我们得到，对于直线，， ，且；． 师生：归纳总结：如何利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直？ 对于直线， ① ，② 设计意图：体会如何利用直线方程研究两直线平行、垂直的关系. 1.（25-26高二上·广东汕头·期中）若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】求出直线的方程，再逐项判断即可. 【详解】依题意，直线的方程为，即， 对于A，当时，，A不是； 对于B，当时，，B不是； 对于C，当时，，C是； 对于D，当时，，D不是. 故选：C 2.（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线过点和点，求出直线的方程，再将点代入即可求出结果. 【详解】因为直线在轴上的截距是，所以过点， 又直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即直线方程为， 又直线过点，所以，解得. 故选：D. 3.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线方程求出斜率，结合斜率与倾斜角的关系，计算即可得答案. 【详解】设直线的倾斜角，则， 因为直线的斜率为1， 所以，因为， 所以倾斜角为， 故选：C． 4.（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 5.（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再由给定条件列式求出斜率范围. 【详解】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $