2.3.3-2.3.4点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式，以市政修路测算安全距离和车道宽度为问题导入，衔接直线方程知识，搭建从已知到应用的学习支架。 通过现实情境激发数学眼光，引导学生探索公式推导与转化方法发展数学思维，设置分层例题、变式及易错提示，巩固运算能力与应用意识，助力学生用数学语言解决实际问题，落实核心素养。

第二章　直线和圆的方程 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.3-2.3.4点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 学习目标探索并掌握平面上点到直线的距离，两平行线间的距离。 问题 市政修路时需要测算楼房墙体到路边白线的垂直安全距离，还要核算两条平行非机动车道之间的标准宽度，该怎样通过道路对应的直线算式算出这两组垂直距离？ 一、点到直线的距离 知识梳理 （1）定义：点到直线的垂线段的长度. （2）距离公式：点到直线的距离 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P在直线上时，它到直线的距离为0. 【例1】点到直线的距离等于___________. 【变式1-1】已知两点到直线的距离相等，则（ ） A．2 B． C．2或 D．2或 【变式1-2】已知的三个顶点是，则的面积为________． 【例2】点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为_______. 【变式2-1】点到直线的距离的取值范围为___ _． 2、 两平行直线间的距离 （1）距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为 . 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 （2）两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【例3】直线：与：之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知直线，．若，求与的距离． 易错点提示1、任何直线都可以使用距离相关公式。2、平行线之间的距离公式需要相同的A和B。 巩固加练 1.(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　) A.1 B.2 C. D.2 2.若直线1：x＋ay＋6＝0与2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则1与2间的距离为(　　) A. B. C. D. 3.若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ） A． B． C．1 D． 4.已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 5.（多选）到直线的距离等于的直线方程可能为（ ） A． B． C． D． 6.已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________． 7.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________. 8. 的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积． 9.已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，求直线的方程。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.3-2.3.4点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 学习目标探索并掌握平面上点到直线的距离，两平行线间的距离。 问题 市政修路时需要测算楼房墙体到路边白线的垂直安全距离，还要核算两条平行非机动车道之间的标准宽度，该怎样通过道路对应的直线算式算出这两组垂直距离？ 参考答案　将楼房看作定点、道路白线写成直线方程，代入点到直线距离公式，就能求出楼房到道路的垂直安全间距。在其中一条平行车道上任取一个点，计算该点到另一条车道直线的距离，数值就是两条车道的宽度。 一、点到直线的距离 知识梳理 （1）定义：点到直线的垂线段的长度. （2）距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P在直线上时，它到直线的距离为0. 【例1】点到直线的距离等于___________. 【答案】 【解析】由题意知：直线，故点到直线的距离为. 【变式1-1】已知两点到直线的距离相等，则（ ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【解析】因为两点到直线的距离相等， 所以有，或，故选：D 【变式1-2】已知的三个顶点是，则的面积为________． 【答案】 【解析】设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得，求得，，直线的方程为，即， 点到直线的距离． 【例2】点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为_______. 【答案】3 【解析】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3 【变式2-1】点到直线的距离的取值范围为____． 【答案】 【解析】记为点到直线的距离， 则，其中； 当变化时，的最大值为5，最小值为， 则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为. 2、 两平行直线间的距离 （1）距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 （2）两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【例3】直线：与：之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，即与平行，故与之间的距离为.故选：B 【变式3-1】已知直线，．若，求与的距离． 【答案】 【解析】由，得，解得或． 当时，两直线方程均为，不合题意； 当时，方程为，即， 方程为，即，所求距离为 易错点提示1、任何直线都可以使用距离相关公式。2、平行线之间的距离公式需要相同的A和B。 巩固加练 1.(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　) A.1 B.2 C. D.2 【答案】B 【解析】点坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝. 2.若直线1：x＋ay＋6＝0与2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则1与2间的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为a＝0或a＝2时，1与2均不平行，所以a≠0且a≠2.因为1∥2，所以＝≠，所以解得a＝－1，所以1：x－y＋6＝0，2：x－y＋＝0，所以1与2之间的距离d＝＝.故选B. 3.若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由题意得：点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，即，故选：C 4.已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意得，直线的方程为，即， 设所求直线的方程为，则，解得或， ∴所求直线的方程为或.故选：C. 5.（多选）到直线的距离等于的直线方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为所求直线与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为：，，，解得：或， 故所求直线方程为：或，故选：CD 6.已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________． 【答案】 【解析】联立方程，解得：，故交点坐标为，直线l经过点， 则点A(5,0)到l的距离的最大值为AB的长，且 7.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________. 【答案】4 【解析】　由题意可设P(x0>0)， 则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4. 8. 的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积． 【答案】9 【解析】由，，联立求得交点，由，，联立得交点，由，联立得交点，由点到的距离，， 故 9.已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，求直线的方程。 【答案】或 【解析】直线可化为， 所以，且直线与直线1与2平行,所以设直线的方程为 (c≠-2且c≠-9). 由题意可得：，解得：或， 故直线的方程为或. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $