2.3.4 两条平行直线间的距离 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条平行直线间的距离，涵盖公式应用、最值问题及直线关于点（直线）对称问题。通过立定跳远等生活实例导入，从点到直线距离转化推导公式，衔接旧知搭建学习支架，引导学生逐步掌握新知。 以探究问题激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界，典例分层设计结合解题感悟，渗透化归、数形结合思想发展数学思维，课堂达标及时反馈，助力学生自主学习，提升数学语言表达与应用能力。

2.3.4 两条平行直线间的距离 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.掌握两条平行直线间的距离公式及应用. 2.会求两条平行直线间的距离的最值问题. 3.会求直线关于点（直线）对称的直线问题. 一、两条平行直线间的距离 探究1　立定跳远测量的是什么距离？ A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C.点到点的距离 探究2　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 探究3　已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离. 探究4　如何求两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离，其中C1≠C2？ 探究5　两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？ ★梳理教材 两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（C2≠C1）间的距离d的计算公式为d＝. ★温馨提示　（1）两条平行线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等. （2）如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价转化为系数对应相同才能套用公式. （3）两平行直线间的距离还可以转化成点到直线的距离，这个距离与所选点的位置无关，但一般选取特殊的点（如与坐标轴的交点）. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）连接两条平行直线上的两点，即得两条平行直线间的距离.（ 　） （2）两条平行直线间的距离是两条平行直线上两点间距离的最小值.（ 　） （3）两直线x＋y＝m与x＋y＝2n（m≠2n）间的距离为.（ 　） 【典例1】　（1）若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为（ 　） A.1 B. C. D.2 （2）求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离. ★解题感悟 求两条平行直线间的距离的两种思路 （1）利用“化归”法将求两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. （2）直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 【练习1】　（1）若两条平行直线2x－y＋3＝0与ax－y＋4＝0之间的距离为d，则（ 　） A.a＝2，d＝ B.a＝2，d＝ C.a＝－2，d＝ D.a＝－2，d＝ （2）与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0之间的距离为2的直线方程为 . 二、最值问题 【典例2】　两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B以相同的角速度同时顺时针旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： （1）d的变化范围； （2）当d取最大值时，两条直线的方程. ★解题感悟 　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．　 【练习2】　设两条平行直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0.已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条平行直线间的距离的最大值为 . 三、直线关于点对称的问题 【典例3】　求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程. ★解题感悟 解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程； 方法三：由所求直线与原直线平行可设出所求直线的方程，再利用已知点到两条直线的距离相等求出未知数. 特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0. 【练习3】　已知直线l：x－y－2＝0，求其关于点（1，1）对称的直线l'的方程. 四、直线关于直线对称的问题 【典例4】　求两直线l1：4x－3y＋1＝0和l2：12x＋5y＋13＝0的夹角的平分线的方程. ★解题感悟 解决直线关于直线对称问题的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： （1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m； （2）如果l1不平行于l2，则先求出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程. ★解题感悟 　　特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于直线x＋y＝0对称的直线方程是A（－y）＋B（－x）＋C＝0，关于直线x－y＝0对称的直线方程是Ay＋Bx＋C＝0. 【练习4】　求直线l1：2x＋y＋4＝0关于直线l：3x＋4y＋1＝0对称的直线l2的方程. ★课堂达标 1.两平行直线x＋y－1＝0与3x＋3y＋5＝0之间的距离是（ 　） A. B. C.2 D.1 2.点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（ 　） A.（－1，－3） B.（17，－9） C.（－1，3） D.（－17，9） 3.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则｜PQ｜的最小值为（ 　） A. B. C.3 D.6 4.两条平行直线3x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则（ 　） A.a＝3，d＝ B.a＝3，d＝ C.a＝－3，d＝ D.a＝－3，d＝ 解析版 ★学习目标　1.掌握两条平行直线间的距离公式及应用. 2.会求两条平行直线间的距离的最值问题. 3.会求直线关于点（直线）对称的直线问题. 一、两条平行直线间的距离 探究1　立定跳远测量的是什么距离？ A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C.点到点的距离 提示：A. 探究2　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任取一点P，点P到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离. 探究3　已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离. 提示：先求l1与x轴的交点A的坐标.易知，点A的坐标为（4，0）. 点A到直线l2的距离d＝＝＝，所以l1与l2间的距离为. 探究4　如何求两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离，其中C1≠C2？ 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P（x0，y0），点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C2＝0的距离就是这两条平行直线间的距离，即d＝. 因为点P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝＝＝. 探究5　两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？ 提示：①把直线方程化为直线的一般式方程； ②两条直线的一般式方程中x，y的系数必须分别相等. ★梳理教材 两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（C2≠C1）间的距离d的计算公式为d＝. ★温馨提示　（1）两条平行线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等. （2）如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价转化为系数对应相同才能套用公式. （3）两平行直线间的距离还可以转化成点到直线的距离，这个距离与所选点的位置无关，但一般选取特殊的点（如与坐标轴的交点）. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）连接两条平行直线上的两点，即得两条平行直线间的距离.（　✕　） （2）两条平行直线间的距离是两条平行直线上两点间距离的最小值.（　√　） （3）两直线x＋y＝m与x＋y＝2n（m≠2n）间的距离为.（　√　） 【典例1】　（1）若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为（　B　） A.1 B. C. D.2 解析：由题意可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离公式，得｜AB｜＝＝. （2）求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离. 解：由两直线平行，得＝≠，∴m＝6. ∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0. ∴两平行直线间的距离d＝＝＝3. ★解题感悟 求两条平行直线间的距离的两种思路 （1）利用“化归”法将求两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. （2）直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 【练习1】　（1）若两条平行直线2x－y＋3＝0与ax－y＋4＝0之间的距离为d，则（　B　） A.a＝2，d＝ B.a＝2，d＝ C.a＝－2，d＝ D.a＝－2，d＝ （2）与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0之间的距离为2的直线方程为　2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0　. 解析：（1）因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，所以a＝2，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，所以d＝＝.故选B. （2）方法一：由已知，可设所求直线的方程为2x－y＋C＝0（C≠－1），则它与直线2x－y－1＝0之间的距离d＝＝＝2，∴｜C＋1｜＝2，解得C＝2－1或C＝－2－1.∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 方法二：设所求直线的方程为2x－y＋C＝0（C≠－1），在直线2x－y－1＝0上任取一点A（0，－1），点A（0，－1）到直线2x－y＋C＝0的距离为＝，由题意得＝2，解得C＝2－1或C＝－2－1.故所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 方法三：设P（x，y）为所求直线上任意一点，则点P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，∴2x－y－1＝±2.∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 二、最值问题 【典例2】　两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B以相同的角速度同时顺时针旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： （1）d的变化范围； （2）当d取最大值时，两条直线的方程. 解：（1）连接AB，如图，显然有0＜d≤｜AB｜. 而｜AB｜＝＝3. 故d的变化范围为（0，3]. （2）由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直，而kAB＝＝， 所以两直线的斜率均为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3），即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. ★解题感悟 　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．　 【练习2】　设两条平行直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0.已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条平行直线间的距离的最大值为　　. 解析：∵a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，∴a＋b＝－1，ab＝c， ∴（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝1－4c. 又∵两条平行直线间的距离d＝＝，且0≤c≤，∴≤d≤，∴这两条平行直线间的距离的最大值为. 三、直线关于点对称的问题 【典例3】　求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程. 解：不妨在直线3x－y－4＝0上取两点A（，0），B（0，－4），易求得它们关于点P（2，－1）的对称点分别为A'（，－2），B'（4，2）.由两点式得l的方程为＝，即3x－y－10＝0. ★解题感悟 解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程； 方法三：由所求直线与原直线平行可设出所求直线的方程，再利用已知点到两条直线的距离相等求出未知数. 特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0. 【练习3】　已知直线l：x－y－2＝0，求其关于点（1，1）对称的直线l'的方程. 解：设所求直线l'的方程为x－y＋m＝0. 在直线l：x－y－2＝0上取一点（1，－1）， 则其关于点（1，1）的对称点（1，3）在直线l'上， 代入直线l'的方程可得m＝2，所以所求直线l'的方程为x－y＋2＝0. 四、直线关于直线对称的问题 【典例4】　求两直线l1：4x－3y＋1＝0和l2：12x＋5y＋13＝0的夹角的平分线的方程. 解：在l1与l2夹角的平分线上任取一点P（x，y），由平面几何中角平分线的性质定理，得 ＝， 化简，得2x＋16y＋13＝0或56x－7y＋39＝0. 易知2x＋16y＋13＝0为l1与l2所夹钝角的平分线，不合题意，舍去，故l1与l2的夹角的平分线的方程为56x－7y＋39＝0. ★解题感悟 解决直线关于直线对称问题的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： （1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m； （2）如果l1不平行于l2，则先求出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程. ★解题感悟 　　特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于直线x＋y＝0对称的直线方程是A（－y）＋B（－x）＋C＝0，关于直线x－y＝0对称的直线方程是Ay＋Bx＋C＝0. 【练习4】　求直线l1：2x＋y＋4＝0关于直线l：3x＋4y＋1＝0对称的直线l2的方程. 解：易知l1与l2不平行， 联立得l1，l的交点M（－3，2），再取l1上的一点A（－2，0），求得A关于l的对称点为A'（－，），则M，A'都在l2上， ∴由直线方程的两点式得直线l2的方程为＝，即2x＋11y－16＝0. ★课堂达标 1.两平行直线x＋y－1＝0与3x＋3y＋5＝0之间的距离是（　A　） A. B. C.2 D.1 解析：3x＋3y＋5＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式，得d＝＝. 2.点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（　A　） A.（－1，－3） B.（17，－9） C.（－1，3） D.（－17，9） 3.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则｜PQ｜的最小值为（　C　） A. B. C.3 D.6 解析：6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0， ∴｜PQ｜min即为两条平行直线间的距离. ∴｜PQ｜min＝＝3. 4.两条平行直线3x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则（　B　） A.a＝3，d＝ B.a＝3，d＝ C.a＝－3，d＝ D.a＝－3，d＝ 解析：由题意可得3×（－1）＝－1·a，解得a＝3，再由平行线之间的距离公式得d＝＝.故选B. 页 学科网（北京）股份有限公司 $