第1章 特殊平行四边形 全章综合训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形全章综合训练 课时目标 1. 能系统梳理平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义、性质和判定定理，厘清四类图 形的从属关系和区别，准确辨析各类易混判定条件。 2. 能综合运用特殊平行四边形的性质进行角度、线段、面积的计算，并能结合全等三角 形、等腰三角形、勾股定理等知识解决较复杂的几何综合题。 3 能运用特殊平行四边形的判定和性质解决中点四边形、动点、折叠等典型动态问题， 规范书写几何证明过程，提升逻辑推理和综合运用能力。 课时目录 知识点01：特殊平行四边形概念与关系的综合辨析 知识点02：菱形、矩形、正方形性质的综合应用 知识点03：菱形、矩形、正方形判定的综合应用 知识点04：特殊平行四边形中的角度、线段、面积计算综合 知识点05：特殊平行四边形与全等三角形、等腰三角形的综合 知识点06：中点四边形问题 1/26 知识点07：特殊平行四边形中的动点问题 知识点08：特殊平行四边形中的折叠与对称问题 知识点O9:特殊平行四边形判定与性质的说理与证明题 知识点01：特殊平行四边形概念与送系的综合辨析 四类图形的从属关系：平行四边形是最一般的特殊四边形，菱形和矩形是特殊的平行四边 形，正方形是特殊的菱形和矩形。 辨析要点： 平行四边形→菱形：增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”； 平行四边形→矩形：增加“一个角是直角”或“对角线相等”； 菱形→正方形：增加“一个角是直角”或“对角线相等”； 矩形→正方形：增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”。 易错点：缺少“平行四边形”前提直接判定（如“对角线垂直的四边形是菱形”错误）： 混淆判定条件（如将“对角线垂直”误认为可单独判定正方形）。 1.(25-26八年级下·宁夏吴忠·期末)下列说法中，错误的是() A.正方形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线互相垂直 D,对角线互相垂直的四边形是菱形 2.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)下列说法中，正确的是() A.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B.三个角是直角的平行四边形是正方形 C.对边相等的平行四边形是菱形 D.四边相等的四边形是矩形 3.(25-26八年级下·重庆巴南期末)下列说法正确的是() A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相平分的四边形是菱形 2/26 4.(25-26七年级下·上海宝山期末)下列说法中，正确的是（) A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.等腰三角形一边上的高也是这一边上的中线 D,经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 知识点02：菱形、矩形、正方形性质的综金应里 三类图形性质对比： 边：菱形四边相等，矩形对边相等，正方形四边相等： 角：菱形对角相等，矩形四角均为直角，正方形四角均为直角： 对角线：菱形垂直平分且平分对角，矩形相等且平分，正方形垂直相等且平分对角。 综合应用时，正方形可同时调用菱形和矩形的所有性质。 5.(25-26八年级下·福建福州期末)如图，在矩形ABCD中(AD>AB)· B (I)尺规作图：在矩形ABCD的边AD上找一点E,使EB平分∠AEC(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(I)的条件下，连接CE,BE,若AB=6,CE=5AE,求AE的长， 6.(25-26八年级下·安徽阜阳·期末)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点 E处，CE与AD相交于点O. B (1)求证：△AOE≌△COD (2)若OD=1.AB=V5 求440C 的面积. 7.(25-26八年级下·湖南株洲期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作 DE∥AC且DE=OC,连接CE,OE. 3/26 (1)求证：OE=CD: (2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求四边形OCED的面积. 8.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，且 DF=BE,连结CF,AE, (I)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AD=6,CD=4,四边形AECF为菱形，求菱形AECF的面积. 知识点03：菱形矩形正方形判定的综合应里 判定选择策略： 题目己给出平行四边形背景时，优先用定义判定（菱形加邻边相等，矩形加一个直角）： 题目给出多个角度条件时，用矩形判定（三个角为直角）： 题目给出多条边长条件时，用菱形判定（四边相等）； 题目涉及对角线时，用对角线特征判定（菱形垂直，矩形相等，正方形垂直且相等）。 综合题型：如图，在ABCD中，AC⊥BD,AC=BD,求证四边形ABCD是正方形。解： 由·ABCD中AC=BD→矩形；由ABCD中AC⊥BD→菱形；故~ABCD是正方形。 B 9.(25-26八年级下·山西临汾期末)如图，在口ABCD中，CE1AD于点E,CD=AE,∠ADC的平分线 交BC于F,连接AF. 4/26 E B 求证：四边形AFCE为矩形 10.(25-26八年级下·陕西安康期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在CB、AD的延 长线上，且BE=DF,连接AE、CF,AE=AF,求证：四边形AECF是菱形. D F 11.(2026河南平顶山三模)如图，在矩形ABCD中. B DL (I)尺规作图：在边CD,BC上分别作点E,F,使AE=AB,BF=EF. Q)在(1)的条件下，若AB=10,BC=8,求CF的长。 12.(25-26八年级下·天津北辰·期末)已知四边形ABCD是边长为6cm的正方形，P,Q是正方形边上 的两个动点，点P从点A出发，以2cms的速度沿A→B→C方向运动，点O同时从点D出发以 1cm的速度沿D→C方向运动.设点P运动的时间为 s(0<t<6) D→Q D o C D 》 B A》 图1 图2 5/26 I)如图1，点P在AB边上，P№，AC相交于点O,当PO,AC互相平分时，求t的值： ②)如图2，点P在BC边上，AP,BO相交于点H,当AP⊥BO时，求t的值. 知识点04：特殊平行四边形中的鱼度、线段面积计算综合 角度计算：利用“平行四边形邻角互补、菱形平分对角、矩形四角90°、正方形四角90°” 求解。 线段计算：利用“菱形四边相等、矩形对角线相等、正方形对角线=边长×V2”及勾股定 理求解。 1 面积计算：平行四边形S=h:姜形5244 S- ;矩形S=ab:正方形 。综合题 常需通过设未知数，利用方程思想求解。 13.(25-26八年级下安徽合肥期末)如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE,过 点B作BF⊥DE于点F,交CD于点G D D 图1 图2 图3 (I)求证：CG=CE: (2)如图2，连接FC、BD.若BF平分∠DBE,求∠CFE的度数： DF ③)如图3，若G为DC中点，请直接写出EF的值. 14.(25-26八年级下江苏南京期末)如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,CF平分 ∠BCD交AD于点F,分别作△ABE、△CDF的中线BG、DH,连接EH,FG. D 6/26 (I)求证：四边形FGEH是平行四边形： AB ②)若∠GEH=60°，当BC时，四边形FGEH是菱形. 15.(25-26八年级下·贵州毕节期末)数形思维社团在开展社团活动中，对多边形内两条互相垂直的线段 进行了深入研究，并提出了以下问题：如图，在ABCD中，∠ACD=90°，AB=3,AC=4,E是 BC中点，将△ABE沿AE翻折，使点B落在点F处，连接CF,EF和BF,BF交AE于点O. (I)求证：△BFC为直角三角形； (2)求CF的长度. 16.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)【问题提出】 A D F A D ⊙ 图1 图2 (I)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证： CE=CF (2)【问题解决】如图2，有一块边长为7km的正方形绿地ABCD,凉亭E、F(大小忽略不计)分别 在边AB,AD上，CE,C 是两条观光小径.已知∠BCF=45° ,小径CT的长度为 65km 求凉享E 到绿地边BC的距离BE. 知识点05：特殊平行四边形与全等三角形。等腰三角形的综合 特殊平行四边形的性质为证明三角形全等提供了丰富的条件（如对边相等、对角线平分、 四角为直角等)。 典型题型：如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF=∠2BAD, 7/26 求证AE=AF。解题思路：连接AC,由菱形性质知∠BAD=2∠BAC,∠EAF=2∠BAD =∠BAC,故∠BAE=∠CAF;又AB=AC(菱形四边相等)，∠B=∠ACP(菱形对角 相等)，故△ABE≌△ACF(ASA)，得AE=AF。 A B 此类题目核心是利用特殊平行四边形性质构造全等三角形。 17.(25:26七年级下天津河东期末)如图1，在平面直角坐标系中， A0,a),C(c,0）.且 Va-4+(c-8)2=0 ,过1，C两点分别作”轴，》轴的平行线交于B点。 A B A B E F 图1 图2 (1)请直接写出点A和点C的坐标. (②)P,Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着 B→C→O CO 运动，到达点时停止运动；点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段 向O点运动，到达O点时停止运动：设运动时间为，问：当点P在线段CO上时，取何值时，三角 形PQB的面积为2？ 3)如图2，连接1C,点 D(m,)在线段4C上，点F在'轴负半轴上，连接DF交轴于E点，记三 角形DCE的面积为9，记三角形E0F的面积为，者=，直接写出F点的坐标为 18.(25-26八年级下·四川眉山期末)综合与实践 8/26 【问题情境】下面是某校数学社团在一次数学活动中的探究过程 【操作实践】如图1，作△ABC,分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接 EG,取BC边的中点M,连接MA并延长交EG于点H E H G D M 图2 图3 【初步猜想】 (I)通过初步观察、测量，猜想AH与EG的位置关系为 【特例证明】 (②)如图2，当△ABC为等腰三角形，AB=AC时，试证明上述猜想结论的正确性； 3)如图3，当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，试证明上述猜想结论的正确性； 【推理论证】 4)如图1，当△ABC为一般三角形时，上述结论是否依然成立？请证明 19.(25-26八年级下山东德州期末)定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重 叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形， B B F D 图1 图2 图3 I)操作发现：将平行四边形纸片ABCD按图1所示折叠成完美矩形AEFG(折痕分别为AE，GF), 若平行四边形ABCD的面积为30，BC=6,则EF= AE= (②)类比探究：将三角形纸片△ABC按图2所示折叠成完美矩形EFGH(折痕分别为EF，HG,EH ),若 DE=25 DH=5 FG=5 5,求△1BC的面积： (3)拓展延伸：将平行四边形纸片ABCD按图3所示折叠成完美矩形EFGH(折痕分别为EF,FG, GH,HE).若EF:EH=3:4,AD=I0,求完美矩形EFGH的面积 20.(24-25八年级下广东广州期中)△ABC的三边为a,b,C,定义：若其中两边平方和等于第三边 9/26 平方的n倍(a2+b2=nc2,n为正整数)，那么这个三角形叫做“n阶非凡三角形”.例如：当 n=3时，某三角形三边长分别是5,2和3，因为(+3=12=3x2,所以这个三角形是“3阶非 凡三角形”. ①房8C是”阶非几三角形”，三边长为25,4,25 ,则”= (2②)若△ABC是“2阶非凡三角形”(n=2),且AB=2,BC=4,则AC的长为 ③)如图，在菱形1BCD中，AC交BD于点O,B=6,且△MBD是“3阶非凡三角形(=3》，求 AC的值. 知识点06：中点四边形问题 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 核心结论： 任意四边形的中点四边形都是平行四边形： 平行四边形的中点四边形仍是平行四边形： 菱形的中点四边形是矩形（因为菱形对角线互相垂直，中点四边形各边平行于对角线，故 邻边垂直)： 矩形的中点四边形是菱形（因为矩形对角线相等，中点四边形各边等于对角线的一半，故 四边相等)： 正方形的中点四边形仍是正方形（因为正方形对角线垂直且相等，中点四边形邻边垂直且 四边相等)。 10126 解题关键：利用三角形中位线定理（中点连线平行于第三边且等于第三边的一半）证明中 点四边形的形状。 21.(25-26八年级下福建福州期末)某学校计划将一块草坪改造成花坛，如图，矩形草坪ABCD, AB=20m AD=10m E F G H 分别是边B,BC,CDDA, 的中点，顺次连接各中点得 到的四边形EFGH,将其用篱笆围起来作为花坛，则四边形花坛EFGH的周长为() D F B A.30m B.12V5m C.16v5m D.20v5m 22.(25-26八年级下黑龙江鸡西期末)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB，BC的中点，连 接DE,AF交于点G,连接CG,EF,DF.下列结论：①△ADE≌△BAF;②DG:DE=4:5: ③依次连接AE,EF,DF,AD的中点P,O,M,N,则四边形MNPO为正方形：④ 2LADE+∠BCG=90°.其中结论正确的序号有() G A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 11/26 23.(25-26八年级下·河北承德期末)数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的 中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 图 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状： D D 0 A B 矩形 菱形 矩形的中点四边形的形状是： 菱形的中点四边形的形状是： 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形.小明的猜想是正方 形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点. 24.(25-26八年级下·湖南邵阳期末)我们不妨约定：若凸四边形对角线相等，叫做“矩基四边形”；若 凸四边形对角线垂直，叫做“正交四边形”· B 图1 图2 (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×” ①矩形一定是“矩基四边形”： ②平行四边形一定不是“正交四边形”： ③顺次连接“矩基四边形”各边中点所得的四边形是“正交四边形”： (2)如图1，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC,AD、BC的垂直平分线恰好交于AB边上一点P, 12126 连接AC、BD、DP、CP,求证：四边形ABCD是“矩基四边形”. 3)如图2，在正方形ABCD中，点E、点M分别在边DC、BC上，点F在CB的延长线上，且四边 形AFME是“正交四边形”，对角线EF、AM相交于点H,EF与边AB交于点N. ①若BF=DE,BN=2,CE=6,求BM的长： ②连接MN,若点M是BC的中点，且正方形边长为8，请直接写出MN+AE的最小值. 知识点07：特殊平行四边形纯的动点问题 动点问题通常涉及点在线段上运动，需要判断在何种位置时点构成的图形是特殊平行四边 形。 典型题型：在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P为BC上一动点，连接AP,当P运动到 何处时，△ABP为等腰三角形？ 解题思路：设BP=x,则AP=VAB+x=V36+x。△ABP为等腰三角形分三种情况： AB=BP→x=6; AB=AP→VAB+x=V36+x2=6→无解： BP=AP→VAB2+x=V36+x→解得x=3V2。 故当BP=6或3√2时，△ABP为等腰三角形。此类题目需分类讨论，结合勾股定理或特殊 平行四边形性质列方程求解。 25.(25-26八年级下·陕西咸阳期末)如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF, 连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 () 13126 5-1 1-5 A.2 B.2 c.√5-1 D.1-5 26.(25-26八年级下江苏准安·期末)已知，如图，在矩形ABCD中，菱形EFGH的三个顶点E,G, H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上，其中H为定点，E、G为动点，连接CF.当点G从D 点移动到C点的过程中，△FCG的面积() G D H A.逐渐增大B.逐渐减小 C.不变 D.先增大，再减小 27.(25-26八年级下河南新乡期末)在四边形ABCD中，AD‖BC,∠A=90°，AD=24,BC=36, AB=5. P D 图1 图2 (I)如图1，点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向点D运动，运动到点D即停止. 点Q同时从点C出发，沿C→B→C以每秒3个单位长度的速度做往返运动，当点Q返回点C时停止 运动，连接PQ.设点Q的运动时间为s. ①CD的长为 ②当四边形ABQP是矩形时，求t的值： (2)如图2，点F是AD上一动点，点E是BC边上的一点，且BE=20,连接BF,FE,若在直线EF 14126 左侧存在一点M,使以点F,B,E,M为顶点的四边形是菱形，直接写出BM的长 28.(25-26八年级下湖北荆门期末)如图，在平面直角坐标系中，直线'=+b与轴交于点 A(6,0) 与'轴交于点B,与直线)=-交于点C(2,) B B 备用图 (1)求直线AB的解析式： 2)若点T为直线y=-x上的一个动点，设点T的横坐标为m,△BTC的面积为S.求S关于m的函数 关系式： (3)若点D从A出发以2个单位/秒的速度沿x轴向右运动，同时点E从O出发以1个单位/秒的速度沿x 轴向左运动，过点D作x轴的垂线，交直线AB于点G,过点E作x轴的垂线，交直线OC于点F.设 运动时间为t秒. ①判断四边形DEFG的形状（点D,E重合时除外），并证明你的结论： ②是否存在时间t,使得四边形DEFG为正方形？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说 明理由， 几知识点08：特殊平行四边形中的折叠与对称问题 折叠问题利用轴对称性质：折叠前后重合的边相等、重合的角相等、折痕为对称轴（垂直 平分对应点连线)，。 典型题型：如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,将矩形沿EF折叠，使点C与点A重 合，求折痕EF的长度。 15126 解题思路：由折叠知AE=CE,设AE=x,则EC=x,EB=6一x,在Rt△ABE中，AB?十 13 BE2=AE2→16+(6-x)2=x2→x= 3;由对称性知F垂直平分AC,AC= 2x AB.BC 1 =√42+62=213，故EF= AC(面积法：菱形AECF面积=2ACEF=AB·BC) 2×4×6-24=24W13 →EF=213V313。 解题关键：找出折叠前后的等量关系，构造直角三角形用勾股定理求解。 29.(25-26八年级下吉林长春期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是边AD上的一点， 将△CDE沿CE折叠，恰好使点D落在对角线AC上的点D'处，则AE的长为() E D D' 5 A.2 B.2 C.2 D.3 30.(24-25八年级上山东青岛·阶段检测)如图.在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸 片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF,若AD=4. D 1)求GE的长： (2)求FC的长. 31.(25-26八年级下辽宁抚顺期末)在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE,将△AED沿 AE翻折得到△AEF,连接BF并延长交CD于点G. 16126 B 图1 图2 图3 (I)如图1，若AF=BF,求证：FG=EG; EF 2)如图2，若F为BG的中点，求AE的值： B)如图3，连接CF,若CF⊥BG,AB=6,直接写出DE的长. 32.(2026四川达州模拟预测)已知正方形ABCD的边长为6，点E为BC上一点，连接AE. 图1 图2 图3 (I)如图1，过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G,连接AG,EG,若点E为BC中点，求四边形 ABEG的面积； (②)如图2，点F,R分别在正方形ABCD的边AB,CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应 边8C恰好经过点4，过点4作10LFR于点0，连接R,若O1=而，求线段4R的长： B)如图3，点Q是边DC上的一个动点，DQ=BE,过点Q作QP⊥AE于点P,连接BP,试求线段 BP PECO 的最小值，且直接写出此时四边形 的面积. 知识点09：特殊平行四边形判定当性质的说理与证明题 综合证明题通常要求先判定图形形状，再利用性质求解。 典型题型：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB、AC的中点，连接DE并 延长至F,使EF=DE,连接CF。求证：四边形ADFC是菱形。 17126 B 解题思路： 先证ADFC:由D、E为中点知DEAC且DE=2AC(中位线定理)，又EF=DE,故 DF=AC且DFIAC,得ADFC: 再证菱形：由∠ACB=90°及DEAC知∠DEC=90°，故DF垂直平分AC,即~ADFC对角 线垂直，故为菱形。 此类题目答题规范：先写“己知、求证”，再分步证明，每步注明理由，最后得出结论。 33.(25-26八年级下山东临沂期末)如图，在口ABCD中，点O为线段AD的中点，连接B0并延长交 CD的延长线于点E,连接AE,BD,∠BDC=90° B D C (I)求证：四边形ABDE是矩形： Q连接0C.若4B=4,BD=27,求 OC ,求 的长 34.(2026吉林中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=3cm.动点P从点A出发，沿折 线4B-BC以1cm/s的速度向终点C运动.在运动过程中，连接DP.设点P的运动时间为 (s)(t>0) DP扫过的图形面积为 S(cm2) 18126 (备用图) (I)求S关于的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. 5 ②)当Dp扫过的图形面积S(cm)由矩形ABCD面积的4扩大到矩形ABCD面积的6时，点p运动了多 长时间？ 35.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图1，在正方形ABCD中，AB=6,点P为线段BC上一个动点， 连接AP,线段AP的垂直平分线交AP,对角线BD于点E，,F,连接BE. E E P 图1 图2 备用图 (I)若∠BAE=15°，求∠BEP的度数： (2)如图2，连接AF,PF. BP 1 DF ①若PC2,求BF的值： S,△AEF ②设△ABE的面积为， 的面积为 ,△BEF的面积为3，请从以下结论中选择一个正确的并 证明： 8+5为定值，S+5为定值，(i)3+8为定值。 36.(25-26八年级下·河南安阳期末)我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”. 19126 D D M H B B P OE 图1 图2 图3 ()我们学过下列四边形：①平行四边形：②矩形；③菱形；④正方形，其中是“神奇四边形”的是 (填序号) (2)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G, 连接AG,EG ①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”； ②如图2，点M,N,P,Q分别是AB,AG,GE,EB的中点，试判断四边形MNPO是不是“神 奇四边形”，并说明理由； 3)如图3，点F,R分别在正方形ABCD的边AB,CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对 应边B'C恰好经过点A,过点A作AO⊥FR于点O,连接BO.若AB=2,正方形的边长为6，则线 段BO长为 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·新疆塔城期末)如图，在平行四边形ABCD中，下列说法错误的是() D B A.AC⊥BD,AC=BD B.AB=DC.AD=BC C.OA=OC.OB=OD D. ABCD AD‖BC 2.(25-26八年级下·湖南郴州期末)下列四个命题是假命题的是() A,如果一个多边形的每个外角都是45°，那么其内角和为1080° 20126 B.菱形的对角线互相垂直 C.角平分线上的点到角两边的距离相等 D.对角线相等的四边形是矩形 3.(25-26八年级下福建龙岩期末)如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB‖y 轴.直线my=-x沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度I与平移的距离a之间的函 数图象如图②，则矩形ABCD的面积为() 1个 D 0146 图① 图② A.18 B.15 C.12 D.10 4.(25-26八年级下·福建福州期末)如图，菱形ABCD的对角线交于点O,AB=4,AC=6, DE⊥BC于点E,则OE的长为() D 0 B A.3 B V5 D.5 5.(25-26八年级下广东中山期末)如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部件的尺寸. 已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A,B对应的刻度分别为2,8，则CD的长为() A 0123456789 A.2.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 6.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是() 21126 15cm 17cm A.64 cm2 B 8cm2 C.32 cm2 D.2v2cm2 7.(25-26九年级下·山东烟台期末)四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是() D B A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠BAD=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是正方形 8.(25-26八年级下·重庆秀山期末)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E,F分别为AD,AB边 上的点，过点A作CE的垂线，交CE的延长线于点G,交CF的延长线于点M,连接GF,若DE=2, AM=CE,则GF的长为() G M 8v7 A.√73 B.7 C.5 D.9 二、填空题 9.(25-26八年级下福建泉州期末)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为8和6，则这个 菱形的面积为 10.(25-26八年级下新疆乌鲁木齐期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD在x轴上， 顶点A,B的坐标分别为（一1,0，(0,2），顶点C的坐标为 22126 B 11.(25-26八年级下·甘肃平凉期末)如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=120°，AB=6,AE⊥BC于 点E,则AE的长为一 B E 12.(25-26八年级下·北京石景山期末)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,B0=DO. 只需添加一个条件即可证明四边形ABCD是菱形，这个条件可以是 一（写出一个即可）· D 13.(25-26八年级下山东菏泽期末)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠BAD=60°， AC=6,AH平分∠BAC,CE⊥AH于点E,点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 D A B P 14.(24-25八年级下四川南充期中)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上， 且AQ=AD,连接DQ并延长，与边BC交于点P,则线段CP=一 23126 B 15.(25-26八年级下陕西延安期末)如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上的一点，连接AE, EH⊥AB于点H,将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AFE,AF与CD相交于点G,AG恰好垂直平 分CD,若BE=4,则AE的长为 16.(25-26八年级下河北唐山期末)正方 NM,M,gNM,M,O.NM,M,0.,按如图所示的 方式放置，点X,心，N,,在直线=>0)上，点4，，4.，，在轴上， 已知点2(6,2)，点2的横坐标是 ⅓ g N 92 MM函 M士 三、解答题 5-1 17.(25-26八年级下广东江门期末)宽与长的比是2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩 形给予我们以协调、匀称的美感，如图1，己知黄金矩形纸片 ABCD AD=5+1 ,长 24126 B E 图1 图2 (I)求AB的长： 2)如图2，将图1中的黄金矩形ABCD裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF,得到新的矩形DCEF, 求证：矩形DCEF是黄金矩形： 3)在图2中，连接AE,求点D到线段AE的距离. AD 18。(25-26八年级下云南昭通期末)如图，在矩形ABCD中，Bk,E为CD边的中点，连接4B, 延长AE交BC的延长线于F点，在BC边上取一点G,连接AG,使AF为∠DAG的角平分线. O E B B GC 备用图 (I)求证：△ADE≌aFCE; 2)若k=1,CE=2,求CG的值： 3)若点G将BC边分成2：3的两部分，请求出k的值. 19.(25-26八年级下·江苏南京·期末)完成下列各题： (1 (2) (1)如图(1)，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD.试判断四边形ABCD的 形状，并说明理由. ②尼知点M,N,直线，的位安如图2)所示，且 412 2.一个菱形的一组对边分别落在”， 25126 上，另一组对边分别经过M,N.求作满足条件的一个菱形.要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明. 20.(25-26八年级下·福建泉州期末)项目式学习任务：四边形的变身术 项目背景：华师大版八下数学教材139页呈现了“四边形的变身术”示意图，好学的泉小伍同学继续 进行探究。 教材回顾：一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形.剪拼前后图形的面积不变， M D HⅢ E 图① 图② 图③ (I)任务1：【基础探究】如图①，四边形ABCD为梯形，ABI‖CD,E、F是边AD、BC上的中点. 经过剪拼，易证aDEM≌，ACFQ≌ NPO ，可证四边形 为矩形 (②)任务2：【进阶探究】如图②，取四边形ABCD四边中点E、F、G、H,连接对边中点，将四边 形分为I、Ⅱ、Ⅲ、V四个部分，如图操作，作Ⅱ、V的中心对称图形，并将Ⅲ平移，拼成四边形 MNP2,判断四边形MNPO形状，并说明理由. 3)任务3：【应用拓展】如图③，取四边形ABCD四边中点E、F、G、H,连接EF,过点G作 GP⊥EF于点P,过点H作HR⊥EF于点R,若四边形ABCD的面积为48，EF=8,直接写出GP 的长 26126 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第一章 特殊平行四边形 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能系统梳理平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义、性质和判定定理，厘清四类图形的从属关系和区别，准确辨析各类易混判定条件。 2. 能综合运用特殊平行四边形的性质进行角度、线段、面积的计算，并能结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识解决较复杂的几何综合题。 3. 能运用特殊平行四边形的判定和性质解决中点四边形、动点、折叠等典型动态问题，规范书写几何证明过程，提升逻辑推理和综合运用能力。 ▌课时目录 知识点01：特殊平行四边形概念与关系的综合辨析 知识点02：菱形、矩形、正方形性质的综合应用 知识点03：菱形、矩形、正方形判定的综合应用 知识点04：特殊平行四边形中的角度、线段、面积计算综合 知识点05：特殊平行四边形与全等三角形、等腰三角形的综合 知识点06：中点四边形问题 知识点07：特殊平行四边形中的动点问题 知识点08：特殊平行四边形中的折叠与对称问题 知识点09：特殊平行四边形判定与性质的说理与证明题 ▌知识点01：特殊平行四边形概念与关系的综合辨析 四类图形的从属关系：平行四边形是最一般的特殊四边形，菱形和矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形和矩形。 辨析要点： 平行四边形→菱形：增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”； 平行四边形→矩形：增加“一个角是直角”或“对角线相等”； 菱形→正方形：增加“一个角是直角”或“对角线相等”； 矩形→正方形：增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”。 易错点：缺少“平行四边形”前提直接判定（如“对角线垂直的四边形是菱形”错误）；混淆判定条件（如将“对角线垂直”误认为可单独判定正方形）。 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）下列说法中，错误的是（     ） A．正方形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形的性质与判定定理，逐一判断各选项的说法正误，即可找出错误选项． 【详解】解：A、正方形属于特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，故此选项说法正确； B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理，故此选项说法正确； C、菱形的性质之一就是对角线互相垂直平分，故此选项说法正确； D、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）下列说法中，正确的是（     ） A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B．三个角是直角的平行四边形是正方形 C．对边相等的平行四边形是菱形 D．四边相等的四边形是矩形 【答案】A 【详解】解：A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，说法正确； B．三个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，正方形是邻边相等的矩形，说法错误； C．平行四边形本身对边相等，邻边相等的平行四边形才是菱形，说法错误； D．四边相等的四边形是菱形，不是矩形，说法错误． 3．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）下列说法正确的是（     ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据平行四边形、特殊四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，四个角相等的四边形每个内角都为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴A正确； 对角线互相平分的四边形才是平行四边形，∴B错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴C错误； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不是菱形，∴D错误． 4．（25-26七年级下·上海宝山·期末）下列说法中，正确的是（     ） A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．等腰三角形一边上的高也是这一边上的中线 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，故A错误； 根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故B正确； 等腰三角形只有底边上的高同时是这边上的中线，腰上的高不满足该结论，故C错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，故D错误． ▌知识点02：菱形、矩形、正方形性质的综合应用 三类图形性质对比： 1. 边：菱形四边相等，矩形对边相等，正方形四边相等； 2. 角：菱形对角相等，矩形四角均为直角，正方形四角均为直角； 3. 对角线：菱形垂直平分且平分对角，矩形相等且平分，正方形垂直相等且平分对角。 综合应用时，正方形可同时调用菱形和矩形的所有性质。 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中（）． (1)尺规作图：在矩形的边上找一点E，使平分（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求的长． 【答案】(1)如图，点E即为所求； (2)2 【分析】（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于E，点E即为所求； （2）设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）理由∶由作法得：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，即平分； （2）解：设， ∵， ∴， 由作法得：， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， 即． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证： (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， 矩形沿对角线折叠点落在点处， ∴，， ∴，, 在和中， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的对边相等可得，，再根据翻折的性质可得，，然后求出，，再利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ∴由勾股定理得， ∵， ， ∴的面积． 7．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：为菱形， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形；   ； (2) 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理得出，最后根据矩形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴四边形的面积． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，四边形为菱形，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：因为四边形是矩形， ，， ， ， 即， 又， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，再由可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，解方程得到，最后根据菱形的面积公式即可求出菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ， 设，则， 在矩形中，，，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形的面积． ▌知识点03：菱形、矩形、正方形判定的综合应用 判定选择策略： 1. 题目已给出平行四边形背景时，优先用定义判定（菱形加邻边相等，矩形加一个直角）； 2. 题目给出多个角度条件时，用矩形判定（三个角为直角）； 3. 题目给出多条边长条件时，用菱形判定（四边相等）； 4. 题目涉及对角线时，用对角线特征判定（菱形垂直，矩形相等，正方形垂直且相等）。 综合题型：如图，在▱ABCD中，AC⊥BD，AC＝BD，求证四边形ABCD是正方形。解：由▱ABCD中AC＝BD→矩形；由▱ABCD中AC⊥BD→菱形；故▱ABCD是正方形。 9．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，于点，，的平分线交于，连接． 求证：四边形为矩形 【答案】∵， ∴， ． 平分， ． ． ． ∵， ， 又， 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是矩形． 【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论． 【详解】略 10．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在、的延长线上，且，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，； ， ，即， 四边形是平行四边形； ， ∴四边形是菱形． 【分析】根据平行四边形的性质得到，；证明，则可证明四边形是平行四边形；再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 11．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中． (1)尺规作图：在边上分别作点E，F，使，． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)3 【分析】（1）以点A为圆心，为半径画弧交于点E，作的角平分线交于点F即可； （2）连接，由作图和矩形的性质得到，，在中由勾股定理求出．得到．设，则．在中，由勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴在中，． ∴． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． ∴． 12．（25-26八年级下·天津北辰·期末）已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以的速度沿方向运动．设点运动的时间为． (1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值； (2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此四边形为平行四边形，得，分别用表示两条线段长度，列方程求解． （2）在上，先确定范围；由，利用正方形直角及互余角证明，得对应边相等，，用表示、列方程求解． 【详解】（1）解：互相平分， 四边形是平行四边形， ． 由题意：点在上，；，正方形边长， ． ， 解得：． （2）解：点在边上，，速度，走完用时， 故． 则，， ． 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， 解得：． ▌知识点04：特殊平行四边形中的角度、线段、面积计算综合 1. 角度计算：利用“平行四边形邻角互补、菱形平分对角、矩形四角90°、正方形四角90°”求解。 2. 线段计算：利用“菱形四边相等、矩形对角线相等、正方形对角线＝边长×”及勾股定理求解。 3. 面积计算：平行四边形S＝ah；菱形；矩形S＝ab；正方形。综合题常需通过设未知数，利用方程思想求解。 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点B作于点F，交于点G．    (1)求证：； (2)如图2，连接、．若平分，求的度数； (3)如图3，若为中点，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）证出即可得证； （2）先求出的度数，再得出，进而可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，利用三角形的内角和定理求解即可； （3）设，则，先求出的长，再利用的面积公式求出的长，然后求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴， ∴． （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形 平分，平分 ， 在和中 ， ， 、分别是、的中线 、分别是的中点 ， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)当时，四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据角平分线，推导出 ，得到，继而推导出，得到，进而推导出，，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）设，则，，推导出当四边形是菱形时，，证明出是等边三角形，得到， ，继而推导出是等边三角形，求出，，得到当时，四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， 当四边形是菱形时， ，即， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴当时，四边形是菱形． 15．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）数形思维社团在开展社团活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题：如图，在中，，，，是中点，将沿翻折，使点落在点处，连接，和，交于点． (1)求证：为直角三角形； (2)求的长度． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 为中点， ．             由折叠的性质得：， ∴， ，． ， ， 为直角三角形．                 (2) 【详解】（1）（1）由平行四边形的性质得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由折叠的性质得，由等边对等角得，，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由勾股定理得，则，由折叠的性质得，，根据等面积法求出的长，再根据勾股定理即可求解． （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， 又， ，解得， ， 在中，． 16．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：． (2)【问题解决】如图2，有一块边长为的正方形绿地，凉亭、（大小忽略不计）分别在边，上，，是两条观光小径．已知，小径的长度为求凉亭到绿地边的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用三角形全等对应边相等即可． （2）利用三角形全等对应边相等得到边相等，再利用勾股定理计算边长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，延长至点，使． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴．， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 在中，，根据勾股定理得 ∴． ∴，, 设，则， ， 在中，， ∴，解得， 故凉亭到绿地边的距离为． ▌知识点05：特殊平行四边形与全等三角形、等腰三角形的综合 特殊平行四边形的性质为证明三角形全等提供了丰富的条件（如对边相等、对角线平分、四角为直角等）。 典型题型：如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证AE＝AF。解题思路：连接AC，由菱形性质知∠BAD＝2∠BAC，∠EAF＝∠BAD＝∠BAC，故∠BAE＝∠CAF；又AB＝AC（菱形四边相等），∠B＝∠ACF（菱形对角相等），故△ABE≌△ACF（ASA），得AE＝AF。 此类题目核心是利用特殊平行四边形性质构造全等三角形。 17．（25-26七年级下·天津河东·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过，两点分别作轴，轴的平行线交于点． (1)请直接写出点和点的坐标． (2)，为两动点，，同时出发，其中点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着运动，到达点时停止运动；点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段向点运动，到达点时停止运动；设运动时间为，问：当点在线段上时，取何值时，三角形的面积为？ (3)如图2，连接，点在线段上，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，若，直接写出点的坐标为________． 【答案】(1)， (2)当在上时，取或或时，，，三点构成的三角形面积为 (3) 【分析】（1）根据，则求解即可． （2）根据题意，得，，得到根据三角形得，当点到达点，点的横坐标为，点的横坐标为，得到，求解即可； （3）连接，过点作轴，轴，表示各个三角形的面积，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故，； （2）解：根据题意，得四边形是矩形，，； ，， ， 点P的运动最长时间为，点Q的运动最长时间为， 点运动的时间，点运动的时间， ①当在上时（没到端点时），，即时 ，， 或； ②时，此时点已到达点， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ， ； 当在上时，取或或时，，，三点构成的三角形面积为； （3）解：连接，过点作轴于点G，轴于点H， ． ， ， ， ， ； 18．（25-26八年级下·四川眉山·期末）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次数学活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，作，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，取边的中点，连接并延长交于点． 【初步猜想】 (1)通过初步观察、测量，猜想与的位置关系为________； 【特例证明】 (2)如图2，当为等腰三角形，时，试证明上述猜想结论的正确性； (3)如图3，当为直角三角形，°时，试证明上述猜想结论的正确性； 【推理论证】 (4)如图1，当为一般三角形时，上述结论是否依然成立？请证明． 【答案】(1) (2)证明：∵，M是边的中点， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴； (3)证明：正方形和正方形， ∴，，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，M是边的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ (4)解：成立， 理由：延长至N，使，连接， ∵M是中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）观察图形，经过测量即可判断； （2）根据三线合一的性质得出，根据正方形的性质，余角的性质可得出，，然后根据三线合一的性质即可得证； （3）证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合，得出，即可得证； （4）延长至N，使，连接，证明，得出，，导角得出，证明，得出，结合，得出，即可得证． 【详解】（1）解：观察图形，经过测量判断； （2）略 （3）略 （4）略 19．（25-26八年级下·山东德州·期末）定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为，），若平行四边形的面积为30，，则________，________； (2)类比探究：将三角形纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，），若，，，求的面积； (3)拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，，）．若，，求完美矩形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，，根据平行四边形的性质，求出的长即可； （2）根据折叠的性质得出，设，则，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中线平分面积进行求解即可； （3）连接，易得四边形是平行四边形，得到，设，，勾股定理求出，再根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∵平行四边形的面积为30，， ∴， ∴； （2）解：∵折叠， ∴， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （3）解：连接， 由折叠可知：为的中点，为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴ ∴解得 ∴四边形的面积为． 20．（24-25八年级下·广东广州·期中）的三边为，，，定义：若其中两边平方和等于第三边平方的倍（，为正整数），那么这个三角形叫做“阶非凡三角形”．例如：当时，某三角形三边长分别是，2和3，因为，所以这个三角形是“3阶非凡三角形”． (1)若是“阶非凡三角形”，三边长为，4，，则______． (2)若是“2阶非凡三角形”（），且，，则的长为______． (3)如图，在菱形中，交于点，，且是“3阶非凡三角形”，求的值． 【答案】(1)2或3 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，二次根式的乘法计算，正确理解“阶非凡三角形”的定义是解题的关键； （1）先求出的值，再根据“阶非凡三角形”的定义求解即可； （2）先求出的值，再分，和三种情况，讨论求解即可； （3）根据菱形的性质可得，，根据题意可得或或，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴，， ∴是“阶非凡三角形”或“阶非凡三角形”，即或； （2）解：∵，， ∴， ∵是“2阶非凡三角形”（）， ∴当时，则， ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∴符合题意； 当时，则， ∴或， ∵， ∴， ∴符合题意； 当时，则，此时不符合题意； 综上所述，或； （3）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵是“3阶非凡三角形”， ∴或或， ∴或， ∴或（舍去）或或（舍去）， 当时，则，则， ∴； 当时，则，则， ∴； 综上所述，的长为或． ▌知识点06：中点四边形问题 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 核心结论： 1. 任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 2. 平行四边形的中点四边形仍是平行四边形； 3. 菱形的中点四边形是矩形（因为菱形对角线互相垂直，中点四边形各边平行于对角线，故邻边垂直）； 4. 矩形的中点四边形是菱形（因为矩形对角线相等，中点四边形各边等于对角线的一半，故四边相等）； 5. 正方形的中点四边形仍是正方形（因为正方形对角线垂直且相等，中点四边形邻边垂直且四边相等）。 解题关键：利用三角形中位线定理（中点连线平行于第三边且等于第三边的一半）证明中点四边形的形状。 21．（25-26八年级下·福建福州·期末）某学校计划将一块草坪改造成花坛，如图，矩形草坪，，，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接各中点得到的四边形，将其用篱笆围起来作为花坛，则四边形花坛的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由矩形的性质得，，，再由中点的定义及勾股定理求四边形的边长，即可得四边形花坛的周长． 【详解】解：∵矩形草坪，，， ∴，，， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，， 由勾股定理得， ∴四边形花坛的周长为． 22．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点H，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ， ，分别是，的中点， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，故②正确； 如图， 根据题意可知：， ， ， 四边形是菱形， ， ， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点H， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的有． 23．（25-26八年级下·河北承德·期末）数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【答案】(1)菱形；矩形 (2)如图，四边形中，对角线相等且互相垂直． 【分析】（1）矩形的中点四边形：顺次连接各边中点，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形； 菱形的中点四边形：顺次连接各边中点，根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【详解】（1）解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形； 菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：图略， 证明：顺次连接各边中点， 由三角形中位线定理可得，，，，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 24．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）我们不妨约定：若凸四边形对角线相等，叫做“矩基四边形”；若凸四边形对角线垂直，叫做“正交四边形”． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①矩形一定是“矩基四边形”：___________ ②平行四边形一定不是“正交四边形”：___________ ③顺次连接“矩基四边形”各边中点所得的四边形是“正交四边形”：___________ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点，连接、、、，求证：四边形是“矩基四边形”． (3)如图2，在正方形中，点、点分别在边、上，点在的延长线上，且四边形是“正交四边形”，对角线、相交于点，与边交于点． ①若，，，求的长； ②连接，若点是的中点，且正方形边长为8，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)证明：如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“矩基四边形”； (3)①；② 【分析】（1）①根据矩形的性质判断即可；②根据平行四边形的性质判断即可；③根据中位线定理得到，证明四边形是菱形，再根据菱形的性质进而判断即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，可知，证明，得到，即可得到四边形是“矩基四边形”； （3）①证明，，进一步利用全等三角形的性质求解即可； ②过点E作，过点M作，结合，可得A，E，K三点共线时，的值最小，作交于点G，证明，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①∵矩形的对角线相等， ∴矩形一定是“矩基四边形”： √ ②∵平行四边形的对角线不一定垂直； ∴平行四边形一定不是“正交四边形”说法错误： × ③如图，∵矩基四边形， ∴， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴，， 同理可得，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的对角线互相垂直， ∴四边形是正交四边形， ∴顺次连接“矩基四边形”各边中点所得的四边形是“正交四边形”： √ （2）略 （3）解：①在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是“正交四边形”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当A，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“正交四边形”， ∴，即， 作交于点G， 则， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形边长为，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为. ▌知识点07：特殊平行四边形中的动点问题 动点问题通常涉及点在线段上运动，需要判断在何种位置时点构成的图形是特殊平行四边形。 典型题型：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为BC上一动点，连接AP，当P运动到何处时，△ABP为等腰三角形？ 解题思路：设BP＝x，则AP＝。△ABP为等腰三角形分三种情况： 1. AB＝BP→x＝6； 2. AB＝AP→＝6→无解； 3. BP＝AP→→解得x＝。 故当BP＝6或时，△ABP为等腰三角形。此类题目需分类讨论，结合勾股定理或特殊平行四边形性质列方程求解。 25．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 26．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，通过证明得出为定值，再根据三角形面积公式结合的变化情况即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 交 的延长线于点，连接， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是菱形， ，， ， ， ， 在 和 中， ， ， 为定点， 为定值，即 的高 不变， ， 当点 从 点移动到 点的过程中， 逐渐减小， 的面积逐渐减小． 27．（25-26八年级下·河南新乡·期末）在四边形中，，，，，． (1)如图1，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，运动到点即停止．点同时从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度做往返运动，当点返回点时停止运动，连接．设点的运动时间为． ①的长为__________； ②当四边形是矩形时，求的值； (2)如图2，点是上一动点，点是边上的一点，且，连接，，若在直线左侧存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出的长． 【答案】(1)①13；②t的值为9或18 (2)的长为20或 【分析】（1）①由 ，，过点 作 于 ，则四边形 为矩形，可得 ，，，故 ，由勾股定理得 ． ② 四边形 中，，若为矩形，则．分点 从 向 运动和从 返回 两种情况列方程计算即可． （2）过作，得，分三种情况讨论：①为菱形对角线时，由菱形对角线垂直平分得，由勾股定理得；②为菱形边且为邻边时，；③ 为边且为邻边时，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：① 如图，过点 作 于 ， ，， ，且，即， 四边形为矩形， ，， 在中， ． ②由题意可得，点 从 出发，沿 运动，速度为每秒3个单位长度，， 则 从 到 用时 秒，再返回 又用 秒，总时间 秒． ， 若四边形 是矩形，则， 当点从向运动，即时， ， 由 ，可得，解得，符合题意． 当点从返回运动，即时， ， 由 得，，解得，符合题意． 综上， 或 ． （2）解：过点 作 于点 ． 四边形为矩形， ， 当为菱形的对角线时， 如图， 设的中点为， , ， 由，可知，点与点重合，即， 在中，由勾股定理： ， ， 此时点在直线左侧，符合题意． 如图，当为菱形的边，且为邻边时， ， 在中，由勾股定理： ， ， 点在线段上，即点在边上，点在直线左侧，符合题意． 如图，当为边，为邻边， 此时对应点落在直线右侧，不符合题意． 综上，的长为或． 28．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点为直线上的一个动点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式； (3)若点从出发以2个单位/秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发以1个单位/秒的速度沿轴向左运动，过点作轴的垂线，交直线于点，过点作轴的垂线，交直线于点．设运动时间为秒． ①判断四边形的形状（点，重合时除外），并证明你的结论； ②是否存在时间，使得四边形为正方形？若存在，直接写出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①四边形为矩形．证明如下： 由题意知：点的坐标为，点的坐标为． 轴，轴， ∴轴，， ． 同理：． 且， ，． ． 又， ∴四边形为平行四边形． 而， ∴四边形为矩形． ②存在时间，使得四边形为正方形，或 【分析】（1）先把点坐标代入求出，得到点完整坐标，再将、两点坐标代入，解二元一次方程组得到和，即可得到直线的解析式． （2）先求出点的坐标，再用表示出点的坐标；可通过割补法或者底乘高的方式计算的面积，根据点相对于点的位置分类讨论，得到关于的函数关系式． （3）①先根据运动速度和时间，写出、的坐标，再分别代入对应的直线解析式求出、的坐标；因为和都垂直于轴，所以，再计算和的长度，判断是否相等，即可确定四边形形状。②先计算的长度，因为正方形邻边相等，所以令，列方程求解． 【详解】（1）解：（1）将代入， 得． ． ∴将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：在中，当时，， ， ∴． ． 由题意可知． 当时，如图 ． 当时，如图 ． 当时，如图 ． 综上，． （3）解：①略 ②存在时间，使得四边形为正方形，或．理由： 且， 当时，矩形为正方形， ∵点的坐标为，点的坐标为． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或 解得或． ▌知识点08：特殊平行四边形中的折叠与对称问题 折叠问题利用轴对称性质：折叠前后重合的边相等、重合的角相等、折痕为对称轴（垂直平分对应点连线）。 典型题型：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长度。 解题思路：由折叠知AE＝CE，设AE＝x，则EC＝x，EB＝6－x，在Rt△ABE中，AB²＋BE²＝AE²→16＋(6－x)²＝x²→x＝；由对称性知EF垂直平分AC，AC＝，故EF＝（面积法：菱形AECF面积＝AC·EF＝AB·BC）→EF＝。 解题关键：找出折叠前后的等量关系，构造直角三角形用勾股定理求解。 29．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 30．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正方形边长和E是中点，用勾股定理计算的长度，再结合折叠性质得，那么，即可求解的长． （2）设的长为x，那么，由折叠性质得，同时，所以．在中用含x的式子表示，在中也用含x的式子表示，列方程求解x，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵正方形边长，． ∴， ∵是中点， ∴． 在中，由勾股定理得： ． 由折叠性质可知，， ∴． （2）解：设，由折叠性质得， ∴． 由折叠得， ∴，是直角三角形． 在中，由勾股定理得：； 在中，，由勾股定理得： ∴， 代入，，，： 得 ， 展开化简得： ， 解得， 即， ∴ ． 31．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠性质得：，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，结合折叠性质证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，，，进一步求出等于30度，即可得，再根据等角对等边即可证明． （2）根据四边形是正方形，即可得，，结合直角三角形斜边中线的性质得，可证明，即可得，再根据折叠性质即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，再根据30度角的直角三角形性质即可得的值． （3）延长交于，连接交于，根据折叠性质、结合四边形是正方形，即可证明，根据全等性质得，再根据，结合余角性质得，根据等角对等边得，结合已知条件得，设，用的代数式表示出、、，在直角三角形中，根据勾股定理列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：如图2， 连接，， ∵为的中点，是直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质得：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． （3）解：如图3， 延长交于，连接交于，则：， 根据折叠性质得：，，， ， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 设，则，，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键． 32．（2026·四川达州·模拟预测）已知正方形的边长为6，点E为上一点，连接． (1)如图1，过点B作于点H，交于点G，连接，，若点E为中点，求四边形的面积； (2)如图2，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，连接，若，求线段的长； (3)如图3，点Q是边上的一个动点，，过点Q作于点P，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)最小值，四边形的面积为 【分析】（1）利用证直角三角形全等得到等长线段，将四边形面积分为与的面积之和求解； （2）利用翻折性质得等线段，构造矩形通过证三角形全等转化线段长，设未知数结合勾股定理求出，再利用两次勾股定理分别计算线段长最终可得到； （3）延长线段构造全等三角形推出点为中点，利用两点之间线段最短得到最小值，再作垂线利用勾股定理求出线段长，从而得出直角三角形面积，借助全等三角形面积相等进行等量代换，用正方形总面积减去面积即可得到四边形面积． 【详解】（1）解：正方形的边长为6，点E为中点， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长，交于点H，过点F作于点M， 四边形为正方形， ， ， 四边形与四边形为矩形， ，， ，， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，， ，，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，解得， ． ， ， ； （3）解：如图，延长，交的延长线于点N，连接，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即D为的中点， ， ， ， 当点B，P，D在一条直线上时，取得最小值，此时， 如图，当取得最小值时，过点P作于点K， 四边形为正方形， ， ， ，， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ， ， 正方形的面积四边形的面积， 四边形的面积正方形的面积． ▌知识点09：特殊平行四边形判定与性质的说理与证明题 综合证明题通常要求先判定图形形状，再利用性质求解。 典型题型：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接CF。求证：四边形ADFC是菱形。 解题思路： 1. 先证▱ADFC：由D、E为中点知DE∥AC且DE＝AC（中位线定理），又EF＝DE，故DF＝AC且DF∥AC，得▱ADFC； 2. 再证菱形：由∠ACB＝90°及DE∥AC知∠DEC＝90°，故DF垂直平分AC，即▱ADFC对角线垂直，故为菱形。 此类题目答题规范：先写“已知、求证”，再分步证明，每步注明理由，最后得出结论。 33．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为线段的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为△的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得． 34．（2026·吉林·中考真题）如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为． (1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况建立函数关系式即可； （2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 当时，； 当时，扫过的图形为四边形，此时 ∴ ∴； （2）解：由题意得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 ∴点运动了． 35．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，在正方形中，，点为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线交，对角线于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，的面积为，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）为定值；（ii）为定值；（iii）为定值． 【答案】(1) (2)①； ②（iii）为定值正确； 证明：过点E作交于点N， 由（1）得， 设， ， ， 过点F作交于点R，过点F作交于点M，过点E作交于点T， 易得四边形为正方形，四边形为矩形， ∴， ∴ ， ∴（iii）为定值正确． 【分析】（1）利用正方形的性质，直角三角形斜边中线定理以及三角形外角定理即可求解； （2）①连接，过点F作交于点M，证明，通过条件得出，最后利用等腰直角三角形的性质求出线段长度即可； ②过点E作交于点N，过点F作交于点R，过点E作交于点T，根据条件求出相关线段的长度，易得四边形为正方形，四边形为矩形，然后根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； （2）①连接，过点 F 作交于点M， 在正方形中，， 又∵， ∴ ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ， ∴， 在等腰和等腰中，， ∴， ； ②略 36．（25-26八年级下·河南安阳·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中是“神奇四边形”的是________（填序号） (2)如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点，，，分别是，，，的中点，试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由； (3)如图3，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接．若，正方形的边长为6，则线段长为________． 【答案】(1)④ (2)①四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； （3）延长交于点，由勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，即可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”． （2）略 （3） 解：延长交于点， 由折叠的性质得，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴在中，为斜边上的中线， ． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·新疆塔城·期末）如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，逐一判断各选项即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形对边相等）， 故B选项说法正确 ∴，（平行四边形对边平行），故D选项说法正确， ，（平行四边形对角线互相平分）， 故C选项说法正确， 而是菱形的性质，是矩形的性质，一般的平行四边形不具备这两个性质，故A选项说法错误． 2．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）下列四个命题是假命题的是（     ） A．如果一个多边形的每个外角都是，那么其内角和为 B．菱形的对角线互相垂直 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【详解】对选项A，∵任意多边形外角和为，该多边形每个外角为，∴边数，∴内角和为，A是真命题； 对选项B，根据菱形的性质，可得菱形的对角线互相垂直，B是真命题； 对选项C，根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角两边的距离相等，C是真命题； 对选项D，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，因此D是假命题． 3．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线沿x轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度l与平移的距离a之间的函数图象如图②，则矩形的面积为（     ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】根据图象折线中各个点的位置，判断出与矩形顶点的关系，求出矩形的长和宽，再计算面积． 【详解】解：由图可知，当时，直线m过点． 当时，直线经过点． 当时，直线经过点． 当时，直线经过点． 故当在上移动时，，， 当在上移动时，， ∵直线是二、四象限夹角的平分线， 又∵直线沿x轴正方向平移， ∴直线过点B时与y轴的夹角为， ∵轴， ∴此时， ∵矩形中， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积为：． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，菱形的对角线交于点，，，于点，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出和，以及，利用勾股定理求出长度，最后再利用直角三角形斜边上中线是斜边一半求出长度． 【详解】解：为菱形， ，，， ， ， 在中，． ，， 是的中线， ． 5．（25-26八年级下·广东中山·期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【详解】解：∵点A，B对应的刻度分别为2，8， ， 在中，，点D为边的中点， ∴． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出正方形的边长，进而可知正方形的面积． 【详解】解：由图可知正方形的边长， ∴这个正方形的面积是． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期末）四边形是平行四边形，下列说法错误的是（     ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形的判定方法即可判断． 【详解】解：A选项：，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），该选项正确，故不符合题意； B选项：，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），该选项正确，故不符合题意； C选项：，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），该选项正确，故不符合题意； D选项：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，该选项错误，故符合题意． 8．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】过作于，证明，可得，，再证，有，，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：过作于，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 二、填空题 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知菱形的两条对角线、的长分别为8和6，则这个菱形的面积为__________． 【答案】24 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：菱形的对角线、的长分别为和， 这个菱形的面积是． 10．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为________． 【答案】 【分析】勾股定理求出的长，根据菱形的性质得到的长，进而求出点坐标即可. 【详解】解：∵顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∵菱形的边在轴上， ∴，轴， ∴. 11．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质可得，，则为等边三角形，再由等边三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 13．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，菱形中，对角线，相交于点，，，平分，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线于P，连接，则，，即的最小值是的长．利用菱形的性质与直角三角形的性质，求出，长，再证明是直角三角形，然后由勾股定理求出长即可． 【详解】解：如图，作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线于P，连接，则， 此时，，即的最小值是的长． ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点O与点F关于对称， ∴，， ∴在中，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的最小值是． 14．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，与边交于点，则线段_______． 【答案】 【分析】由矩形得到，，，从而根据勾股定理求出，根据，得到的长，且，根据平行线的性质及对顶角相等可得出，从而根据等角对等边即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在菱形中，点是边上的一点，连接，于点，将沿所在直线折叠得到，与相交于点，恰好垂直平分，若，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，由四边形是菱形，则，又垂直平分，所以，，则有，故是等边三角形，是等边三角形，得，再由直角三角形性质可得，由勾股定理得，由折叠性质可知，所以，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·河北唐山·期末）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点，，，…．在直线上，点，，，，…，在轴上，已知点，点的横坐标是_________． 【答案】 【分析】先求出，从而得到直线的解析式为，结合正方形的性质依次计算出，，，总结规律可得，最后求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为． 三、解答题 17．（25-26八年级下·广东江门·期末）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给予我们以协调、匀称的美感，如图1，已知黄金矩形纸片，长． (1)求的长； (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形； (3)在图2中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； (3) 【分析】（1）由题意得，，据此计算即可； （2）根据正方形的性质得到，则可得到，证明，即可证明矩形是黄金矩形； （3）连接，设点D到线段的距离为h，求出；由勾股定理得，根据，求出h的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图2所示，连接， 设点D到线段的距离为h， 由正方形的性质可得， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴点D到线段的距离为． 18．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，在矩形中，，为边的中点，连接，延长交的延长线于点，在边上取一点，连接，使为的角平分线． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若点将边分成的两部分，请求出的值． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ，， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ∴． (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质、全等三角形的判定定理，即可得证； （2）根据矩形的性质、全等三角形的性质、角平分线的定义、等角对等边、正方形的判定与性质，以及勾股定理，进行解答即可； （3）结合题意分情况讨论，再利用勾股定理，列方程解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，． 为的角平分线， ． 由（1）可知，，，， ， ， ， 是以为底边的等腰三角形． ， ， 矩形为正方形， ． ， ， ． 设，则，， 在中，， ， 解得，即． （3）解：①当时， 设，则，，． ， ． 由（2）可知，， ， 在中，， ， 整理得，， 解得，（舍去负值）； ②当时， 设，则，，， ． ， ． ， 在中，， ， 整理得，， 解得（舍去负值）． 综上，或． 19．（25-26八年级下·江苏南京·期末）完成下列各题： (1)如图（1），将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．试判断四边形的形状，并说明理由． (2)已知点，，直线，的位置如图（2）所示，且．一个菱形的一组对边分别落在，上，另一组对边分别经过，．求作满足条件的一个菱形．要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)解：四边形是菱形，理由如下：如图，过点C作于点H，于点G， ∵两个纸条为两个宽度相等的矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴平行四边形是菱形． (2) 解：如图， 在上取一点，利用尺规作图作，连接，以为直径作圆，以为圆心，长度为半径，作弧交圆于点，作直线，交于点，利用尺规作图，过点作的平行线，交于点，则为所求菱形． 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据面积法可得，即可证明四边形是菱形； （2）在上取一点，利用尺规作图作，连接，以为直径作圆，以为圆心，长度为半径，作弧交圆于点，作直线，交于点，利用尺规作图，过点作的平行线，交于点，则为所求菱形． 【详解】（1）略 （2）解：作图略， 由作图可得的长度为之间的距离且， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， 之间的距离等于之间的距离， 根据（１）中原理可得平行四边形为菱形． 20．（25-26八年级下·福建泉州·期末）项目式学习任务：四边形的变身术 项目背景：华师大版八下数学教材139页呈现了“四边形的变身术”示意图，好学的泉小伍同学继续进行探究． 教材回顾：一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形．剪拼前后图形的面积不变． (1)任务1：【基础探究】如图①，四边形为梯形，，、是边、上的中点．经过剪拼，易证_，_，可证四边形为矩形． (2)任务2：【进阶探究】如图②，取四边形四边中点、、、，连接对边中点，将四边形分为、、、四个部分，如图操作，作、的中心对称图形，并将平移，拼成四边形，判断四边形形状，并说明理由． (3)任务3：【应用拓展】如图③，取四边形四边中点、、、，连接，过点作于点，过点作于点，若四边形的面积为，，直接写出的长_． 【答案】(1)， (2)解：是平行四边形，理由如下： 如图，连接，，，，， 则，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 根据旋转和平移可得点，，三点共线，，，三点共线，且，，，， ，， ∴， ，， ∴， ∴是平行四边形． (3) 【分析】（1）根据证明、即可； （2）连接，，，，，根据三角形的中位线定理得到是平行四边形，进而得到，，然后根据旋转和平移得到，，即可得到结论； （3）连接，，，，连接交于点，可得是平行四边形，然后证明，即可得到，，然后把四边形绕点旋转，把四边形绕点旋转，平移四边形，得到四边形，证明是矩形，根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据剪拼可知，， 、是边、上的中点， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ． （2）略 （3）解：如图，连接，，，，连接交于点， 把四边形绕点旋转，把四边形绕点旋转，平移四边形至四边形，得到四边形， 由（2）可得是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， 即， 解得． / 学科网（北京）股份有限公司 $