第二章一元二次方程 基础卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学一元二次方程基础卷，聚焦定义、解法及应用，通过九章算术古题、足球联赛销售等真实情境，融合基础巩固与实践探究，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、参数问题|第7题引用《九章算术》门高竿长问题，渗透文化传承| |填空题|5/15|解方程、新定义（行列式）、几何面积|第13题以组队问题考查方程建模，培养数据意识| |解答题|8/75|解法纠错、根与系数关系、销售利润、探究题|第21题结合足球联赛销售求利润，第23题探究黄金分割数，发展创新意识与推理能力|

※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学第一学期第二章一元二次方程 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2已把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 4．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 6.已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 7.我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8.如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则　　秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 9．．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．方程x2＝2026x的解是　　． 12将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，这个记号叫做2阶行列式．定义，若，则x＝　　　　　　 13．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 14如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ． 15．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解方程： (1)； (2)． 17.本小题分阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； (2)请你写出正确的解答过程． 18.本小题分 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 19.本小题8分新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 20本小题10分月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 21.本小题10分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款苏超球服，以每件68元的价格出售，经统计，2026年4月份的销售量为256件，2026年6月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2026年4月份到2026年6月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的7月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 22本小题12分形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 23本小题12分）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学第一学期第二章一元二次方程 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 解：①，不是整式方程，不是一元二次方程； ②，含有2个未知数，不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，是一元二次方程, 综上，符合条件的方程有③和④，共2个， 故选：B． 2已把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 6.已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 解：∵方程为二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根（包括相等的情况）， ∴， ∴ ∴且． 故选：A． 7.我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 故选：B． 8.如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则　　秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 解：设秒后，的面积等于4， 由题意得：，，则， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：． 9．．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 【答案】C 解：方程可分解为， 解得或， ∴菱形的一条对角线可能为6或4， 设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：， 整理得． 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为； 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为． ∴菱形的面积可能为24或， 故选：C． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．方程x2＝2026x的解是　　． 【答案】x1=0，x2=2026 解：∵x2﹣2026x＝0， ∴x（x﹣2026）＝0， 则x＝0或x﹣2026＝0， 解得x1＝0，x2＝2026， 故答案为：x1＝0，x2＝2026． 12将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，这个记号叫做2阶行列式．定义，若，则x＝　　　　　　． 【答案】0或—0.5 解：由题意，得：（x+1）（x+1）﹣x（1﹣x）＝1， ∴x2+2x+1﹣x+x2＝1， ∴2x2+x＝0， ∴x＝0或x=—0.5． 故答案为：0或—0.5 13．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 14如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 15．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解方程： (1)； (2)． （1）解：， ， ， ， 或， 所以方程的解为． （2）解：方程中的， 方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即． 17.本小题分阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； (2)请你写出正确的解答过程． 解：（1）配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：； （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，． 18.本小题8分 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 19.本小题8分新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． （1）解：根据题意，方程整理得：，则， 解得：； （2）解：根据题意，方程整理得：，即， ∵方程没有实数根， ∴   解之得：， ∴实数m的取值范围是． 20本小题10分月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） （1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 21.本小题10分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款苏超球服，以每件68元的价格出售，经统计，2026年4月份的销售量为256件，2026年6月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2026年4月份到2026年6月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的7月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ （1）解：设该款苏超球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2026年4月份到2026年6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款苏超球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款苏超球服降价元时，月销售利润达元. 22本小题12分形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． （1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 23本小题12分）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． （1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期第二章一元二次方程 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C A B A C B 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． x1=0，x2=2026 12. 0或—0.5 13． 14． 15．　1或或 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 （1）解：， ， ， ， 或， 所以方程的解为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：方程中的， 方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分) 解：（1）解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即，.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 或， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 由（1）知， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 19.本小题8分)（1）解：根据题意，方程整理得：，则， 解得：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：根据题意，方程整理得：，即， ∵方程没有实数根， ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分   解之得：，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20本小题10分 （1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 最大的数可用表示为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得或（舍去），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 21.本小题10分）（（1）解：设该款苏超球服销售量的月平均增长率为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 根据题意得，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 解得，（舍去）；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 答：该款风云球服2026年4月份到2026年6月份销售量的月平均增长率为┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 （2）解：设该款苏超球服降价元时，月销售利润达元，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 整理得， 解得，（舍去）；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：该款苏超球服降价元时，月销售利润达元.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 22.本小题12分(（1）解：∵， ∵， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 当时，代数式有最小值，最小值为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：设，则， ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 23本小题12分 （1）解：将代入，得， ∴， ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴， ∴“黄金分割数”为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学第一学期第二章一元二次方程 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第二章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2已把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 4．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 6.已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 7.我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8.如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则　　秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 9．．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．方程x2＝2026x的解是　　． 12将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，这个记号叫做2阶行列式．定义，若，则x＝　　　　　　 13．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 14如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ． 15．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解方程： (1)； (2)． 17.本小题分阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； (2)请你写出正确的解答过程． 18.本小题分 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 19.本小题8分新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 20本小题10分月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 21.本小题10分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款苏超球服，以每件68元的价格出售，经统计，2026年4月份的销售量为256件，2026年6月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2026年4月份到2026年6月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的7月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 22本小题12分形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 23本小题12分）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $