第2章一元二次方程 回顾与思考 单元练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元复习卷，通过回顾思考与三级达标分层设计，覆盖概念、解法、应用等核心知识点，融入冬雪通道、口罩销售等现实情境，适配单元巩固与数学思维、模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|4题|根的判别式、方程识别、面积问题|结合冬雪清扫通道情境，考查几何直观与模型意识| |填空|8题|韦达定理、特殊根、增长率问题|以菱形面积、篮球赛赛制为载体，强化抽象能力与符号意识| |解答|7题|解方程、利润问题、综合构造|设置口罩销售利润计算、阅读材料构造方程等题，发展运算能力与推理意识|

第二章一元二次方程 回顾与思考 今日复习 1.一元二次方程的一般形式是 2.一元二次方程 根的判别方法： (1)当△ 0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当△ 0时，方程有两个相等的实数根； (3)当△ 0时，方程没有实数根.以上三条，反之也成立. 3.解一元二次方程的四种方法： 、 、 、 4.如果x₁，x₂是一元二次方程 0(a≠0)的两个实数根，则有 , 名师点拨 1.一元二次方程 的特殊根： (1)若c=0，一元二次方程有一个根为x=0； (2)若a+b+c=0,一元二次方程有一个根为x=1; (3)若a-b+c=0,一元二次方程有一个根为x=-1. 2.△的符号确定根的个数，两根之和、两根之积的符号确定两根的正、负性. 3.求一元二次方程待定系数的方法： (1)考虑待定系数的取值范围；(2)建立关于根的方程，并求解；(3)检验所求解是否符合(1)中的范围. 4.(1)百分率相等的增长问题：增长n次后的量=基础量×(1+x)n. (2)百分率不等的增长问题：增长n次后的量=基础量 (1+ xn). 课时三级达标 A级双基过手 1.(1)(2026·编写)方程( 的解是 (2)(2026·编写)若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 . 2.(1)(2026·编写)若一元二次方程 3x+1=0的两个实数根为a和b，则 的值为 . (2)(2026·编写)菱形的两条对角线的长是方程 的两根，则菱形的面积是 . 3.(1)若关于x的一元二次方程 的一个根是0,则a为 . (2)(2026·编写)方程( 1)x-6=0的解为 4.(1)(2024·眉山)已知方程 的根为x₁,x₂,则( 的值为 . (2)(2026·锦江)某学校要组织一次九年级篮球赛，赛制为单循环形式(每两个班之间都赛一场)，计划安排45 场比赛.设该学校九年级共有x个班，依据题意，可列方程为 . 5.下列方程中，属于一元二次方程的是 ( ) A. x-2y=1 6.关于x的一元二次方程 有实数根，则m的值为 ( ) 且m≠0 且m≠0 7.(2026·编写)下列判断正确的是 ( ) A.方程 的解是x=0 B.方程(x+1)(x-1)=1的解是x=±1 是一元二次方程 的一次项是-3x 8.(2026·高新)北方的冬天已经迎来了冬雪.为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道(图中阴影部分)，保留了3块积雪活动区.已知矩形空地的长为20m，宽为15m，通道面积是整个矩形空地面积的56%.若设通道的宽为 xm，则根据题意可得方程( ) A.(20-2x)(15-2x)=15×20×56% B.(20-2x)(15-2x)=15×20×(1-56%) C.(20-4x)(15-2x)=15×20×56% D.(20-4x)(15-2x)=15×20×(1-56%) 9.(2026·编写)用适当的方法解下列方程： (2)(x+1)(x-3)=-2; (3)x(x+3)=5(x+3); 10.(1)(2026·编写)某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒。现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价 1 元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%.设该口罩售价为每盒x(x>60)元，现在预算销售这种口罩每周要获得 1200元利润，求每盒口罩的售价. (2)(2022·郫都)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. ①求m的取值范围； ②设 x₁，x₂ 是方程的两根且满足 求m的值. B级能力提升 11.(2025·武侯)若x₁,x₂ 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 。 12.(1)(2026·编写)已知a,b,c满足 17=0,则 等于 . (2)(2026·编写)若实数x满足方程 那么 的值为 . 13.(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 有下列结论：①当a>-1时，方程有两个不相等的实根；②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a>-1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的个数为 . 14.(2025·武侯)某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x/元 40 45 55 60 销售量γ/千克 80 70 50 40 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为多少元? C级综合拓展 15.(2026·天府新区)阅读材料: 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m，n满足 0,且m≠n,则可将m,n看作方程. x-1=0的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数a,b满足a+b=3, ab=2,则可以将a，b看作方程 的两个实数根. 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程 的两根x₁,x₂,则 (2)已知实数m，n满足 求 的值； (3)已知实数a,b,c满足a+b=c-5, 且c<5，求c的最大值. 【今日复习】 2.(1)>(2)=(3)< 3.直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.(1)x=-3或:x=1 (2)-1 2.(1)7 (2) 3.(1)2 (2)x₁=一( +1),x₂=3( +1) 4.(1)6 5. B6 . A7 . D8 . D 9.(1)【解】 开平方，得 解得 (2)【解】(x+1)(x-3)=-2,整理,得 配方，得 开平方，得 解得. (3)【解】x(x+3)=5(x+3),x(x+3)-5(x+3)=0, (x+3)(x-5)=0,x+3=0或x-5=0, 解得. (4)【解】 设2x+1=a，则原方程化为 解得a=7或a=-4. 当a=7时,2x+1=7,解得x=3. 当a=-4时,2x+1=-4,解得 所以原方程的解是 10.(1)【解】由题意,得(x-50)[80-2(x-60)]=1200,整理，得. 解得. 当x=70时,利润率 符合题意；当x=80时，利润率 50%，不合题意，舍去.所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元. (2)【解】①∵方程有两个不相等的实数根， 解得 ②由根与系数的关系可知： 整理，得 -3=0,解得m=-3或:m=1. ∴m的值为1. B级(能力提升) 11.2 12.(1)29/4 (2)4 13.3 14.【解】(1)设y与x之间的函数关系式为y= kx+b.将(40,80),(45,70)代入y= kx+b,得 ∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+160. (2)由题意,得(x-30)(-2x+160)=800, 解得. ∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于 60元的价格销售， ∴x=40, 即每天的销售单价应为40元. C级(综合拓展) 15.【解】(1)由题意可知, 故答案为-5,1. (2)当 m≠n时,∵实数m,n满足 ∴m，n可看作方程 的两根， ∴原式 当m=n时,原式=1+1=2. 综上所述，原式的值为 或2. (3)设关于x的一元二次方程. ∵a+b=c-5, 又∵c<5,即5-c>0, ∴5-c≥4,即c≤1, ∴c的最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $