2026—2027 学年苏科版数学九年级上册期中测试（测试范围：第1章—第3章）

**基本信息** 本试卷聚焦九年级上册第1-3章核心内容，以反比例函数、一元二次方程、圆为主体，通过基础题巩固概念，综合题（如氦气压力与容量关系、露营帐篷销售利润）培养模型意识与应用能力，创新题（旋切点定义）发展几何直观与推理能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/16|反比例函数图像、圆的基本概念、配方法|基础概念辨析，如直径与弦关系判断| |填空题|10/20|弧长计算、一元二次方程根与系数关系、反比例函数性质|结合几何中点（如14题弦中点）考查空间观念| |解答题|9/64|方程求解、实际问题建模（氦气、帐篷销售）、圆与几何综合（旋切点）|20题氦气问题体现模型意识，27题旋切点新概念题发展创新意识|

2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：把点代入可得． 2．下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、圆心角的关系和垂径定理推论，利用垂径定理、圆的有关定义、圆心角、弦、弧之间的关系、等弧的定义等知识分别判断后即可解答． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 3．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 4．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 5．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 6．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 8．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 10．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 11．在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 【答案】 或 【分析】弦在圆中对应两条不同的弧，分别为劣弧和优弧，根据弧长公式分别计算两条弧的长度即可. 【详解】解：已知的半径，弦所对的圆心角为，弧长公式为，其中为弧所对的圆心角度数，为圆的半径.当所求弧为劣弧时， 当圆心角，代入公式得； 当所求弧为优弧时，圆心角， 代入公式得. 综上：弧长为或 12．冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用待定系数法求出比例系数，即可得到与的关系式． 【详解】解：∵与成反比， ∴设， ∵时，， ∴， 因此与之间的关系式为． 13．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 14．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 15．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 16．如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 17．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 18．如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点A作直线的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 【答案】 【分析】连接，交于点O，易证，得到．设的中点为P，连接，则，因此点G在以点P为圆心，为直径的圆弧上运动，当B，P，G三点共线时，的值最大，连接，则点O在上，，易得为等边三角形，根据“三线合一”结合勾股定理求出，根据解答即可． 【详解】解：连接，交于点O，如图1， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵在矩形中，， ∴， ∴． 设的中点为P，连接． ∵，即， ∴． ∴点G在以点P为圆心，为直径的圆弧上运动． 当B，P，G三点共线时，的值最大，如图2． 连接，则与的交点为的中点，已证点O是的中点， ∴点O在上，， ∵， ∴为等边三角形， ∵P为的中点， ∴，． ∴在中，． ∴． 即的最大值为． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，；（4分） （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，．（8分） 20．（6分）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． (1)试确定P与V之间的函数表达式； (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 【答案】(1) (2)不低于200升 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：；（3分） （2）解：当时，．     钢瓶的容积要求不低于200升．（6分） 21．（6分）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2分） （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，；（4分） （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：．（6分） 22．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．（3分） （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为．（6分） 23．（6分）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略；（3分） （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为．（6分） 24．（6分）如图所示：一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，． (1)求，，的值； (2)求的面积； (3)观察函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求，再将点代入反比例函数求，最后把点代入一次函数求； （2）利用一次函数与轴交点，将面积转化为与的面积差，以为底、两点横坐标绝对值为高计算即可； （3）观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围，结合交点横坐标写出解集即可． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在上， ∴，解得， ∵点在上， ∴， 解得；（2分） （2）解：；（4分） （3）解：已知，由（1）得， 由图可知，不等式的解集为或．（6分） 25．（8分）如图，F是的边上的一点，以为直径的与相交于点D，与相交于点E，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 为的直径， ， 又 ，， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据相似三角形的性质，得到，，结合等腰三角形的性质，可证明，从而可证明结论； （2）先求出，，可进一步求得，再求出，即可求得答案． 【详解】（1）略（4分） （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积．（8分） 26．（8分）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套． (1)若该帐篷每套涨价元，则此时月销售量是多少套？（用含的代数式表示） (2)若要使这款帐篷的月销售利润达到元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨多少元？ 【答案】(1) (2)该款帐篷每套应涨价元 【分析】（1）根据帐篷每套盈利元时，月销售量为套，每套每涨价元，月销售量将减少套，可知每套涨价元，则此时月销售量； （2）根据销售利润销售量每套盈利，列方程求解即可． 【详解】（1）解：这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套， 该帐篷每套涨价元时，月销售量为；（4分） （2）解：设该款帐篷每套涨价元， 根据题意得：， 解得：，， 要最大限度让利于消费者，所以涨价元， 答：该款帐篷每套应涨价元．（8分） 27．（10分）对于点P，和直线l，若将绕点P逆时针旋转（）得到，使得与直线l相切，则称点P为和直线l的旋切点，当存在n个满足条件的时，称该点为n阶旋切点，其中最小的称为最小旋切角． 在平面直角坐标系中， (1)若的半径为1，直线，则在点，，中，点 是和直线l的旋切点，且为 阶旋切点； (2)已知点，的半径为2，直线，若点是和直线m的旋切点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，的半径为1，直线，点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)C，2 (2) (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，勾股定理，一次函数与几何综合； （1）根据定义进行判断，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点； （2）当时，圆无论如何都不可能与直线相切，不符合题意；当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，即为临界状态，据此即可求解； （3）点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足，找到旋切角等于和旋切角等于这两种临界情形下的b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，即将以点为中心逆时针旋转或时，与直线相切，且，， ∴点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线没有交点， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），不能与直线相切，不符合定义要求， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线的交点、， ∴、、共线， ∴在逆时针方向上，， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），也不能与直线相切，不符合定义要求， 综上：点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点，点、点不是和直线的旋切点．（3分） （2）解：∵的半径为2，直线，， 又∵旋转方向为逆时针，旋转角度（）， ∴当时，圆无论如何都不可能与直线相切， 当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，符合题意，此时， ∴，解得：（舍去）或， ∴如果点沿着轴向左运动，一定符合题意， ∴．（6分） （3）解：∵点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足， ∴我们首先来讨论第一个临界状态，旋切角等于（虽然等于不符合定义，但是不妨碍其作为临界值）， 作的两条切线，如图所示，切点分别为点和点，也就是不用旋转即与直线相切，这种情况可以理解为旋切角等于的临界状态， 当直线与相切于点时， ∵，， ∴， ∴， 当直线与相切于点时， ∵， ∴， ∵旋切角， ∴此处的值不能取等号， 我们再来讨论第二个临界状态，旋切角等于， 将点绕点逆时针旋转得到点，以点为圆心，1为半径作，作的两条切线和，与轴分别交于点和点，其中切线与相切于点， ∵，，， ∴， 作的垂直平分线交轴于点，可得是底角的等腰三角形， 过点作轴于点，中，， 设，则，，， 在中，，即， 化简变形可得，，即，解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰，由，可得， ∴，代入的解析式，可得， ∵直线和在轴上截得的线段， ∴直线和在轴上截得的线段， ∴， 综上：或．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 2．下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 3．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 4．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 5．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 6．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 10．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 11．在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 12．冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 13．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 14．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 15．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 16．如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 17．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 18．如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点A作直线的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（6分）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． (1)试确定P与V之间的函数表达式； (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 21．（6分）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 22．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 23．（6分）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 24．（6分）如图所示：一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，． (1)求，，的值； (2)求的面积； (3)观察函数图象，直接写出不等式的解集． 25．（8分）如图，F是的边上的一点，以为直径的与相交于点D，与相交于点E，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 26．（8分）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套． (1)若该帐篷每套涨价元，则此时月销售量是多少套？（用含的代数式表示） (2)若要使这款帐篷的月销售利润达到元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨多少元？ 27．（10分）对于点P，和直线l，若将绕点P逆时针旋转（）得到，使得与直线l相切，则称点P为和直线l的旋切点，当存在n个满足条件的时，称该点为n阶旋切点，其中最小的称为最小旋切角． 在平面直角坐标系中， (1)若的半径为1，直线，则在点，，中，点 是和直线l的旋切点，且为 阶旋切点； (2)已知点，的半径为2，直线，若点是和直线m的旋切点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，的半径为1，直线，点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，直接写出b的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C A C D C C 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 1（答案不唯一，即可） 10. 11. 或 12. 13. 14. 15. 4 16./30度 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，；（4分） （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，．（8分） 20．（6分） 【答案】(1) (2)不低于200升 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：；（3分） （2）解：当时，．     钢瓶的容积要求不低于200升．（6分） 21．（6分） 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2分） （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，；（4分） （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：．（6分） 22．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．（3分） （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为．（6分） 23．（6分） 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略；（3分） （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为．（6分） 24．（6分） 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求，再将点代入反比例函数求，最后把点代入一次函数求； （2）利用一次函数与轴交点，将面积转化为与的面积差，以为底、两点横坐标绝对值为高计算即可； （3）观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围，结合交点横坐标写出解集即可． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在上， ∴，解得， ∵点在上， ∴， 解得；（2分） （2）解：；（4分） （3）解：已知，由（1）得， 由图可知，不等式的解集为或．（6分） 25．（8分） 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 为的直径， ， 又 ，， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据相似三角形的性质，得到，，结合等腰三角形的性质，可证明，从而可证明结论； （2）先求出，，可进一步求得，再求出，即可求得答案． 【详解】（1）略（4分） （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积．（8分） 26．（8分） 【答案】(1) (2)该款帐篷每套应涨价元 【分析】（1）根据帐篷每套盈利元时，月销售量为套，每套每涨价元，月销售量将减少套，可知每套涨价元，则此时月销售量； （2）根据销售利润销售量每套盈利，列方程求解即可． 【详解】（1）解：这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套， 该帐篷每套涨价元时，月销售量为；（4分） （2）解：设该款帐篷每套涨价元， 根据题意得：， 解得：，， 要最大限度让利于消费者，所以涨价元， 答：该款帐篷每套应涨价元．（8分） 27．（10分） 【答案】(1)C，2 (2) (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，勾股定理，一次函数与几何综合； （1）根据定义进行判断，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点； （2）当时，圆无论如何都不可能与直线相切，不符合题意；当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，即为临界状态，据此即可求解； （3）点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足，找到旋切角等于和旋切角等于这两种临界情形下的b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，即将以点为中心逆时针旋转或时，与直线相切，且，， ∴点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线没有交点， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），不能与直线相切，不符合定义要求， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线的交点、， ∴、、共线， ∴在逆时针方向上，， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），也不能与直线相切，不符合定义要求， 综上：点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点，点、点不是和直线的旋切点．（3分） （2）解：∵的半径为2，直线，， 又∵旋转方向为逆时针，旋转角度（）， ∴当时，圆无论如何都不可能与直线相切， 当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，符合题意，此时， ∴，解得：（舍去）或， ∴如果点沿着轴向左运动，一定符合题意， ∴．（6分） （3）解：∵点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足， ∴我们首先来讨论第一个临界状态，旋切角等于（虽然等于不符合定义，但是不妨碍其作为临界值）， 作的两条切线，如图所示，切点分别为点和点，也就是不用旋转即与直线相切，这种情况可以理解为旋切角等于的临界状态， 当直线与相切于点时， ∵，， ∴， ∴， 当直线与相切于点时， ∵， ∴， ∵旋切角， ∴此处的值不能取等号， 我们再来讨论第二个临界状态，旋切角等于， 将点绕点逆时针旋转得到点，以点为圆心，1为半径作，作的两条切线和，与轴分别交于点和点，其中切线与相切于点， ∵，，， ∴， 作的垂直平分线交轴于点，可得是底角的等腰三角形， 过点作轴于点，中，， 设，则，，， 在中，，即， 化简变形可得，，即，解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰，由，可得， ∴，代入的解析式，可得， ∵直线和在轴上截得的线段， ∴直线和在轴上截得的线段， ∴， 综上：或．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上期中测试 考试范围：第1—3章 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 2．下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 3．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 4．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 5．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 6．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 10．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 11．在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 12．冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 13．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 14．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 15．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 16．如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 17．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 18．如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点A作直线的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（6分）庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． (1)试确定P与V之间的函数表达式； (2)运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 21．（6分）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 22．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 23．（6分）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 24．（6分）如图所示：一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，． (1)求，，的值； (2)求的面积； (3)观察函数图象，直接写出不等式的解集． 25．（8分）如图，F是的边上的一点，以为直径的与相交于点D，与相交于点E，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 26．（8分）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套． (1)若该帐篷每套涨价元，则此时月销售量是多少套？（用含的代数式表示） (2)若要使这款帐篷的月销售利润达到元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨多少元？ 27．（10分）对于点P，和直线l，若将绕点P逆时针旋转（）得到，使得与直线l相切，则称点P为和直线l的旋切点，当存在n个满足条件的时，称该点为n阶旋切点，其中最小的称为最小旋切角． 在平面直角坐标系中， (1)若的半径为1，直线，则在点，，中，点 是和直线l的旋切点，且为 阶旋切点； (2)已知点，的半径为2，直线，若点是和直线m的旋切点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，的半径为1，直线，点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，直接写出b的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $