第三章图形的相似学情自测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 第三章图形的相似单元复习卷，以比例线段、相似判定与性质、位似为核心，融合墨子小孔成像（文化传承）、2026数学日黄金矩形（时代热点）及旗杆测量（实际应用），考查几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|比例线段、相似判定、位似|通过图形扩张辨析相似条件，强化空间观念| |填空题|6/18|黄金分割、相似性质|以黄金矩形、等腰三角形黄金分割点为情境，体现数学审美| |解答题|8/72|相似证明、动态问题、实际测量|设计旗杆测量（应用意识）、动点相似（推理能力），呼应核心素养要求|

第三章图形的相似学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) L,点B把线段4C分成两部分，如果ABAC BC=4B=k,那么k的值为《） V5+1 5-1 A.2 B.2 C.V5+1 D.-1 2.在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边 间距均为1，则新三角形与原三角形相似. 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均 为1，则新矩形与原矩形相似， 对于两人的观点，下列说法正确的是() 图1 图2 A.甲对，乙不对B.甲不对，乙对 C.两人都对 D.两人都不对 3.下列条件中，不能判定△ABC∽△AB'C'的是() AB BC AC A.∠A=∠A',∠B=∠B B.ABB'C AC AB BC AB AC C.AB=BC,且LB=LB D.ArB=AC,且∠C=∠C 4.如图，己知AB∥CD∥EF,AC=CE,DF=5,那么BD的长是() A B D E F A.5 B.4 C.3 D.2 5.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE 试卷第1页，共3页 与△ACB相似的是() A.∠ADE=∠ACB B.DE∥BC 4E-4D C.ABAC ADDE D.AB BC 6.如图，添加下列条件不能使△AED∽aABC的是() D AE AD AE AD A.ABAC B.AC AB C.∠ABD=∠ABCD.∠ADE=∠ACB 7.如图，在口ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交对角线BD于点M,MNI‖AD交 AB于点N若AD=5,则MN的长是() A.3 B.2 8.中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应 的数学模型如图2，光线经过小孔P,物体AB在幕布上形成倒立的实像AB(点A,B的 对应点分别是，B'),且AB⊥AB,AB'⊥AB,若AB=10cm,P到AB的距离 PO=6cm AB' ,则长为() 试卷第2页，共3页 B 4' (图1) (图2) A.12cm B.13.5cm C.15cm D.18cm 9.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OC=2OF,△ABC的周长为8，则 △DEF的周长为() A A.1.5 B.2 C.3 D.4 10.如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为lCm/s,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速 度为lcm1s,连接P0.设运动的时间为同，其中01<4当4MBC和△MP2相似时，1 的值为() B 2019 2025 A.3或1 9或4 B. D.9或9 二、填空题（每题3分，共18分） 11.在线段AB上找到一个点C,且AC<BC,满足AC:CB=CB:AB,设AB=lm,则线 段AC= m 12.2026年国际数学日的主题为“数学与希望”.某校学生运用所学A虹技术围绕该主题 试卷第3页，共3页 5-1 设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比2）海报.若该海报的长为4V5cm,则它 的宽为 cm 13.某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则 这个点就叫作这条线段的黄金分割点.过顶角为36°的等腰△ABC底角的顶点B作∠ABC的 平分线交AC于点D,其中D为AC的黄金分割点，即AD=CD·AC.若AB=4,则线段 CD的长为 14.如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上， AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=9,则DH的长为一· 15.如图，AB∥CD,AD与BC相交于点E,AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F, AF G.若AB=10:CD=15,则DG的值为 B G 16.如图，在8×8网格中，若△ABC和△4B'C位似，则位似中心应为点 试卷第4页，共3页 B 三、解答题（每题9分，共72分） ab 17.已知线段a,b,满足49 a+b ()求b的值： (2)当线段x是a,b的比例中项且a=4时，求x的值. 18.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH, D 95C 1359 72° B (1)求∠H的度数： AB4 (②)若E示34D=15,求EH的长。 19.己知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且AD2=AB·AF 求证：EF∥CD 20.如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4 试卷第5页，共3页 (I)求证：△ABCOAEDC: (2)求AC与EC的长： (3)求△ABC和△EDC这两个三角形的面积比. 21.如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，（不与B、C重合） 折痕为EF. 万 D (I)求证：△BDE∽△CFD. (2)若BD=7,DC=2,求△BDE与△CFD的相似比. 22.某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆EF的高度，并制作了如下实践 报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 A C BO D 位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一 测量过程 根标杆CD,在B和D之间找到一个合适的位置O,并在O 处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和 试卷第6页，共3页 点卫重合（图中各点在同一平面）. DF =15m BD=5.4m,CD=2m,点B处同学的眼睛离地 测量数据 面的高度AB=1.6m.AB,CD,EF均与水平地面垂直. 请你根据以上实践报告，求出旗杆EF的高度. 23.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点E自点A出发，以每秒lcm的速 度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒2Cm的速度向点C移动，若移动时间为t且 0<t<6 A B (I)当t是多少时，DE=2DF: (②)四边形DEBF的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由. (3)△DEF能否与△BCD相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由。 24.在如图所示的方格纸中， △04B与△01B是以点P为位似中心的位似图形. (1)在图中标出位似中心P的位置， (2)已知40AB △O4B, 的面积为2，则 的面积为. 试卷第7页，共3页 第三章图形的相似学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 2．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 3．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 4．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． ①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A．，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． B．由得，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． 故选：D． 6．如图，添加下列条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定；由图可知与已有一组公共角相等，依次根据选项判断添加的条件能否判定即可． 【详解】解：A、，加上已知公共角，由两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，可判定，故A不符合题意； B、的对应边错误，中对应边为，对应边为，故B符合题意； C、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故C不符合题意； D、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故D不符合题意． 故选：B． 7．如图，在中，点E是的中点，连接交对角线于点M，交于点N．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 先推断出，，得到，则，进而得到，求出，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∵，点E是的中点， ∴，， ∴， 即， 则， ∴， 解得． 故选：A． 8．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 10．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段________． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键． 设，则 ，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，并根据舍去不合题意的根，即可得解． 【详解】解：设，则 ， 由得， 即， 两边乘以得， 展开得， 整理得， 解方程得， 由于，即，而（不合题意），故取， 所以． 故答案为： 12．2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 13．某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 14．如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，证明，得，解得，则． 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，， ，是的中位线， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 15．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 16．如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知线段，，满足． (1)求的值； (2)当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用表示出进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用表示出，再进行计算，即可求解； （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 故， ∴． （2）解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 18．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)58° (2) 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）根据四边形内角和算出∠D的度数，再根据相似多边形的性质即可求解； （2）根据相似多边形的性质得出，即可求解． 【详解】（1）解：在四边形中，， 则， 四边形四边形， ； （2）解：四边形四边形， 又， ， 解得：． 19．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 20．如图，在和中，已知．    (1)求证：； (2)求与的长； (3)求和这两个三角形的面积比． 【答案】(1) 证明：， ． 设每小格的长度为a， 则，， ， ， ； (2)， (3)4 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，相似三角形的判定和性质． （1）设每小格的长度为a，由勾股定理得，，推出，即可证明； （2）根据，计算出a的值，结合（1）中得出的，，即可求解； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】（1）略 （2）设每小格的长度为a， 则， 又， ， 解得， 由（1）知，， ，； （3）解：，， ． 21．如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 22．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 23．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 24．在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【详解】（1）略 （2），， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $