第三章 图形的相似 基础卷 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学图形的相似基础卷，覆盖相似判定、比例线段等核心知识，解答题含实践测量（如崇文塔高度）和探究性问题（如矩形折叠），注重几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形判定、比例中项、黄金分割|结合网格图、动态问题，考查抽象能力| |填空题|5/15|相似条件补充、实际应用（铁道口栏杆）|联系生活情境，培养量感与模型意识| |解答题|8/75|位似作图、证明计算、实践测量、综合探究|分层设计，从基础证明到探究性问题，发展推理能力与创新意识|

保密大启用前 九年级数学第一学期第三章图形的相似基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大第三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前，填写好自已的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2.答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3.有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出 答题区域书写的答案无效。 4.请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3，,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角 形不相似的是() A 65 65 65 【答案】C 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意： B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意： C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意： D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意， 故选：C, a 5 h 2.已知线段c是线段ab的比例中项，若。=4，则。=() 5 2V5 5 A.4 B.5 c.5 D.2 【答案】B 解：，线段c是线段a、b的比例中项， a_c .".c b a5 又c4, .b4, b_4 .c5 故选：B 3.如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O,小正方形的边长为1，则 OC的长等于() D 1 210 3√10 A.1.5 B. C.5 D.5 【答案】D 解：由网格可知，AB∥CD, .△DOC∽△AOB 2 OC CD 3 .OBBA2」 BC=V12+32=V10 0c=,3BC-3 2+3 5 故选：D 4大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，P为线段AB的黄金分割点 (AP>PB) 如果AB的长度为10cm,那么AP的长度是() A.(5v5-5)em B.(5-5v5)cm c.(10-55)em D.(55+5)em 【答案】A 解：根据黄金分割的定义进行计算得： AP=5-14B=5-x10=5-5)em 2 2 故选：A. 5如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是() B 2‘ 【答案】A -3 解：根据题意得：AB=V3+P-V0,AC=2,BC=VP+平=V2, BC:AC:AB=1:2:5 A、三边之比为1：V2:V5,图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似： B、三边之比V2:V5:3,图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似： C、三边之比为1：V5:2W2,图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似： D、三边之比为2：5：V3,图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似. 故选：A. 6.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为 3,两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为 2,则点F的坐标() G OA B E主 A.(96) 8.32) c.(6,9) D.(2,3) 【答案】A 1 解：：正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3， BC OB 1 .EF EO 3, BC=2, ..EF BE=6 OB OB 1 ∴.EOOB+BE3, OB 1 ∴.OB+63, 解得：OB=3, EO=OB+BE=9」 .F点坐标为：(9,6)， 故选：A 4 7.如图1，在△ABC中∠A=36°，动点P沿折线C→A→B→C以2cm/s的速度匀速运动，设点P的运动 时间 t(S).CP的长 度(cm),'与'的函数图象如图2所示。当△1PC△1CB(不考虑全等)时，【 的值是() y/cm 0 10.4 14.4 图1 图2 A.13 B.6.5 C.6 D.3.75 【答案】B 由题图2可知，AC=8,AB=12.8,BC=8, 又∠A=36°， .∠B=36°，∠C=108°， .AP=2t-8, 当△APC∽△ABC时，P点在边AB上， AP AC 2t-8 8 AC=AB即8=12.8， 解得t=6.5, 故选：B. 8.如图，BD,CE分别是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点M,N分别在BO,CO上，四边形 EMND是平行四边形.若BD=6,则BM的长度为() 5 D B4 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 解：BD,CE分别是边AC,AB上的中线， .DE是△ABC的中位线， DE∥BC, DE=-BC 2 :四边形EMND是平行四边形， ∴.MN=DE,MO=DO,MN∥DE, N=BC,Mw∥BC 2 .△OMN∽△OBC OM MN 1 .OB BC 2, ∴.BM=OM=DO, BM=-BD=2 9.如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD,垂足B在CD的延长线上，过点E作EF LBC,垂足为 F.若AE=3,EF=4,则菱形的边长为() B D E 82 9W2 A.3 B.22 C.4 D.3√2 【答案】C 解：四边形ABCD是菱形， .BC∥AD,BC=CD, EF⊥BC, .EF⊥AD, 6 .'AE⊥CD ∴菱形ABCD的面积=BC·FG=CD·AE, ..FG=AE=3. .EG=EF-FG=4-3=1. .AG=AE2-EG2=2V2 :∠AGE=∠AED=90°，∠EAG=∠DAE, .△EAGADAE, .AE:AD=AG:AE. .3:AD=2√2：3， AD=92 , 9√2 菱形的边长为4. 故选：C 10.如图，己知在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=II,BC=13,AB=12.动点P、Q 分别在边AD、BC上，且BO=2DP.线段PO与BD相交于点E,过点E作EF∥BC,交CD于点F,射 线PF交BC的延长线于点G,设DP=x,给出下列说法： G 0 C 13 ①当四边形PQCD为平行四边形时，x= 3: DF 1 ②CF2: 208 ③当点p运动时，四边形EFGQ的面积始终等于3； ④当△PQG是以线段P为腰的等腰三角形时，x最多有四种结果 说法正确的个数是多少个？() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 7 解：：PD=x,B0=2DP,BC=13, ∴.QC=BC-B0=13-2x, .AD∥BC,即PD∥QC 当PD=QC时，四边形POCD为平行四边形， .x=13-2x, 13 .PD=x=了，故①正确： .AD∥BC,BQ=2DP .△PDE∽△QBE DE PD 1 BE BO 2, :EF∥BC, DE DF .BE CF, DF 1 .CF2,故②正确： EF∥BC, ∴.aDEF∽aDBC. EF DE 1 .BC DB 3, BC=13 EP=13 .3, 又，PD∥CG. PD DF 1 :CG-CF-2, ∴.CG=2PD .CG=B0,即OG=BC=13」 作DN⊥BC,垂足为点N,过E作EM⊥BC于M, P D E B OM NC .EM∥DN,DN=AB=12, ∴.△BEM∽aBDN EM BE EM 2 :.DNBD=12=3, .EM=8 S形Eoe- 得+8=0 3,故③正确： 作PH⊥BC,垂足为点H,则PH=AB=12,BH=AP=II-x, 8 O H C )当PO=PG时， m=om-0G- 2， 2×3 11-x (i)当P0=G0时，P№=V11-3x)}+122=13 16 X= 解得x=2或3， 3 16 综上，当△PQG是以P吧为腰的等腰三角形时，x的值为2、2或3，故④错误， 正确的结论有3个 故选：D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，己知∠1=∠2，请添加一个条件一，使得△ABC一△ADE. AB AC 【答案】∠B=∠ADE或ADAE或∠C=∠E(答案不唯一) 解：添加∠B=∠ADE, .∠1=∠2， .∠I+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE, ,∠B=∠ADE ∴.△ABC△ADE: AB AC 添加ADAE, .∠1=∠2， ∴.∠I+LDAC=∠2+LDAC,即∠BAC=∠DAE, AB AC AD AE, 9 .△ABCP△ADE； 添加∠C=∠E, .∠1=∠2， ∴.∠I+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE, .∠C=∠E, △ABCAADE: AB AC 故答案为：∠B=∠ADE或ADAE或∠C=∠E(答案不唯一)· 12如图，铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高一 16m 0.5m 7n7777777777 【答案】8m 【详解】 如图， 16m A 0.5m 7777777777 由题意知∠BAO=LC=90°， .∵∠AOB=∠COD, .△AB0△CD0, AB BO 0.51 ∴.CD=D0,即CD=16, 解得：CD=8, 故答案为：8m, 13.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若BF:FD=4:I, BC=10,则CE的长为一： 10 D 10 【答案】3 解：作DH∥AE交BC于点H,如图所示： B E H ,D是AC的中点， .CD:AD=1, ·DH IAE CH:HE=CD:AD=1,BE:EH=BF:DF=4:1 BE:EC=4:2=2:1, BC=10. CE=1x10= 10 3 3, 10 故答案为：3 14如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图)，将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰 好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面AB的宽度为Cm. 6cm B 液面高度 15cm 10cm ￥桌面 图1 图2 【答案】9 解：如图，作BE⊥DE于E,则∠BED=90°， 由题意知，BD=15,BC=6,BE=10,∠C=90°，AB∥DE,AC∥BD」 .∠CAB=∠DBA=∠BDE. 11 又，∠C=∠BED=90°， .△CABP△EDB AB BC :BD BE AB 6 即1510 解得，AB=9 答：液面的宽度为9cm. 故答案为：9. 6cm A B液面高度 15cm :10cm 桌面 D E 图1 图2 15.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,AC=11,点D为AB边上一动点，点E在AC边上， DE∥BC,将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为P,连接BF.当△BDF为直角三角形时，AE的长为 A D 1122 【答案】3或3 解析：：DE∥BC,∠ABC=60, ∴.∠ADE=∠ABC=60° ,将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F, .∠EDF=∠ADE=60°，AD=DF ∴.∠BDF=60°， 如图，当∠BFD=90°时，点F在△ABC内， 12 A E .∠BDF=60° .∠DBF=30°， .BD=2DF, 由折叠得DF=AD, ∴.BD=2AD, .3AD=12, AD=4, DE∥BC」 △ADE一△ABC, AD AE ..AB AC, 4AE 即1211， 当∠DBF=90°时，点F在△ABC外， A D B令 F 同理可得AD=DF=2BD, ..AD=8 DE∥BC .△ADE-△ABC, AD AE ..AB AC, 8 AE 即1211， :AE=22 ； 1122 综上所述，AE的长为3或3」 13 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题8分)如图，在12×12的正方形网格中，△CAB的顶点坐标分别为点C(1,)、A(2,3)、B(4,2). 1 (1)以点C(1,1)为位似中心，按2：1在位似中心的同侧将△CAB放大为△CA'B',放大后点A,B的对应点分 别为A,B,画出△CAB,并写出点A,B'的坐标： (2)在(1)中，若P(,b)为线段AB上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点P的坐标， (1)解：如图，△CAB即为所求，其中4(3,5)，B'(门，3)： B (2)解：根据(1)中A,B变换的规律可得，P'(2a-1,2b-) 1本小思8分知图，在正方形6CD中，E为D边上-一点，BF1BE交C”于点F ABCD 交于点. 14- E D F G (1)求证：△ABE一△DEF: (2)若AB=4,CF=3FD,求DE的长： (1)证明：四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠D=90°， EF⊥BE, ∴.∠BEF=90°， ∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEF=9O°， .∠ABE=∠DEF, ∴.△ABE一△DEF (2)解：四边形ABCD为正方形，AB=4 .CD=AD=AB=4 CF=3FD DF-481 CF-3, :△ABE∽△DEF, AB AE ‘DEDF, 44-DE DE1,解得：DE=2. 18.(本小题8分) 如图，已知：AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC与BD交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为 F D EFEF a求证：AB+CD1 (2)连接AF、DF,求证：EF平分∠AFD, 15 (1)证明：：AB⊥BC,EF LBC, .EF∥AB, ∴.△CEF∽△CAB EF CF ..AB BC, 同理可得，△BEFABDC, EF BF ∴.CDBC. EF EFCF BF =BC=1 :AB'CD BCBCBC: (2)证明：：AB⊥BC,CD⊥BC, .AB∥CD .△ABEACDE, AB BE :CD DE, :EF LBC,CD⊥BC, EF∥CD BF BE .'CF DE, AB BF ..CD CF, :∠ABF=∠DCF=90°， △ABF∽aDCF, ∴.∠AFB=∠DFC ∠BFE=∠CFE=90°， ∴.∠BFE-∠AFB=∠CFE-∠DFC, 即∠AFE=∠DFE, ∴.EF平分∠AFD t△ABC∠ACB CD⊥AB Rt△ADC AC 19.(本小题8分)如图，在 中， 为直角， 于D.在 中，E是的中点 ED的延长线与CB的延长线交于点F (I)求证：△FDC∽aFBD: B若FD=6N5.B=10,求BC的长. 16 【详解】(1)在Rt△ACD中，点E是AC的中点， DE=号AC 即DE=CE=AE ∴.∠CDE=∠DCE. .LDCE+∠DCF=∠CDE+∠ADE=∠CDE+∠BDF=9O°， ·LBDF=∠DGF .∠F=∠F, ∴.△FDCr△FBD: (2),△FDC∽△FBD, FD FC .FB FD 即FD=(FB+BC)FB ..FD=6V5,FB=10 :.(6N52=(10+BC)x10 解得BC=8. 20(本小题10分)如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角)在综合实践 活动中测量崇文塔的高度AB. 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为BE，同一时刻小明站在地面上的点D处时，小明影子的顶端也在 E处，在地面上的F处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿BE移动至点H处时，恰好从平面镜F 中看到崇文塔的顶端A: 【测量数据】经过测量可知CD=GH=1.6m,DE=2m,DF=57m,FH=3m 已知点B、D、E、F、H在同一条直线上，且AB⊥BH,CD⊥BH,GH⊥BH.请你根据以上测量步 骤及所得数据求出崇文塔的高度AB C G DE F H 解：DF=57m,DE=2m, 17 ∴.EF=DF-DE=55m, .BF=(BE+55)m :AB⊥BH,CD⊥BH, .AB∥CD ,∴.△ECD∽△EAB」 CD ED AB EB. .DE =2m.CD=1.6m, .1.62 'AB BE, 5 .EB=二AB 41 AB⊥BH,GH⊥BH, .∠ABF=∠GHF=90°， 又：∠BFA=∠HFG, .△BFA∽△HFG BF AB 'HF GH, BE+55AB 即31.6， 5 AB+55 AB :41 3 1.6, 解得AB=88m, 答：崇文塔的高度AB为88m, 21.(本小题10分)如图，△ABC中，D.E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD,CE=2AE, (1)求证：△ADE∽△ABC: (2)若DF=2,求FC的长度. E 【解答】(1)证明：，BD=2AD,CE=2AE, AD AE 1 .AB=AC=3」 又，∠DAE=∠BAC, ∴.△ADE∽△ABC: (2)解：，△ADE∽△ABC, 18 DE AD 1 :.BC=AB=3,∠ADE=∠ABC, .∴.DE∥BC, .△DEF∽△CBF, DF DE 21 .CF=CB,即CF=3, .FC=6 22本小题12分如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD, (1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以 P,C,D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由； (2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P,C,D三点 为顶点的三角形相似？并求BP的长， 解：(1)存在1个P点 设BP=x,则PD=10-x. ,AB⊥BD,CD⊥BD, ∴.∠B=∠D AB BP 9= ①当AMBP∽APDC时，PDDC,即10-x4· 整理，得x2-10x+36=0, 4=(-102-4×1x36=4<0 ∴.此方程没有实数解； AB BP ②当AABP∽ACDP时，CDDP, 9 90 即410-x,解得x= 13 90 综上所述，BP的长为13： (2)存在2个点P. 19- 设BP=x,则PD=12-x. .AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠B=∠D AB BP ①当A4 BPAPDC时，PD=DC,即12-x4: X=x2=6 解得 AB BP 9 x ②当A4 BPACDP时，即CDDP,即412-x, 108 解得x= 13 108 综上所述，BP的长为6或13· 23(本小题12分)【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究. G 图1 图2 图3 图4 AF (I)如图1，在正方形ABCD中，AF⊥DE,AF交DE于点G,则DE (填比值)； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD、BC于点E、F,GH分别交AB、DC于点G、 EF AB H,求证：GHAD 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N 乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明. 【结论应用】 (3)如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合.若AB=3,BC=4,求折痕EF的长： 20 【拓展运用】 (④如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5,点E、F分别在线段AB、BC DE 上，且AF⊥DE,求AF的值 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， 又AF⊥DE, .∠AED+∠ADE=90°=∠AED+∠BAF, .∠ADE=∠BAF, 在△ADE和△BAF中， ∠ADE=∠BAF AD=AB ∠DAE=∠ABF ∴△ADE≌△BAF(ASA) .DE AF, AF =1 DE (2)证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N: A E D H M F 图2 ,四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC, .四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB=90°， :BN=GH AM=EF, :EF⊥GH, .AM⊥BN .∠NBC+∠AMB=90°. ∴∠BAM=∠NBC, 又：∠ABM=∠BCN=90°， .△BAMACBN, AB AM BC BN, EF AB GH AD: 乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N,EM交GH于点O, 21 E D H O G M F C 图2 :四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD=BC,AB‖CD, ∴四边形AEMB、GBCN均为矩形， .AB=EM,GN=BC=AD :EF⊥GH,EM⊥GN ∴.∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90°， :∠EOH=∠GOM, ∴∠MEF=∠HGN, 又∠EMF=∠GNH=90°， :.△EFM∽GHN, EF EM GH GN, EF AB ..GH AD 15 (3)折痕EF的长为4 (3)解：由矩形的性质可得AD=BC=4,∠A=90°， 由勾股定理得BD=√AB2+AD2-V32+4=5, EF AB 由(2)可知，BDAD, EF 3 54, .EF=15 , 15 即折痕EF的长为4； (4)解：如图4，过点D作MN'⊥BC,交BC的延长线于M',过点A作AN'⊥MN'于点N',连接AC, 过点F作FH'⊥AN'于点H',过点E作EG⊥MN'于点G, 22 E G B F C M 图4 :∠ABC=90°，AN'⊥MN',MW'⊥BC, .四边形ABMN是矩形， ∠N'=∠M'=90°，AN'=BM,MW=AB=10 AD=AB,BC=CD,AC=AC, △ACD≌aACB(SSS) ·∠ADC=∠ABC=90°， .∠ADN'+∠CDM'=90°. .·∠ADN'+∠N'AD=90° .∠N'AD=∠CDM, 又∠N'=∠M'=90°， ∴△ADN'∽aDCM'」 CD CM'DM'5 1 AD DN AN102, .AN'=2DM',DN'=2CM' DC2=CM2+DM2」 52=CM2+10-2CM2, ∴CM'=5(不合题意舍去)或CM'=3, .BM'=BC+CM'=5+3=8=AW', 同(2)知，∠AFH'=∠DEG, 又：∠AHF=∠EGD=90°， DEG'AFH', DE EG AF FH' EG'=AW'=8,FH'=AB=10, DE_8_4 AF105, DE 4 即AF的值为5. 23九年级数学第一学期第三章图形的相似 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大第三章，试卷总分：120分：考试时间：90分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 8 9 10 答案 C B D A B B D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 AB AC 11.∠B=∠ADE或ADAE或∠C=∠E(答案不唯一) 10 1122 12.8m13._3_14.915.3或3 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题8分) (1)解：如图，△CAB即为所求；其中A'(3,5),B'(7,3) -…每空2分，共4分 -2分 (2)解：根据(1)中4，B变换的规律可得， P'(2a-1,2b-1) -2分 17.(本小题8分) (1)证明：四边形ABCD为正方形， .∠A=∠D=90°， EF⊥BE, .∠BEF=90° ∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEF=9O°， ∴.∠ABE=∠DEF, ,△ABE一△DEF.===== -4分 (2)解：：四边形ABCD为正方形，AB=4 .CD=AD=AB=4 .CF=3FD Dr-48=1,CF=3, -2分 :△ABE∽△DEF, AB AE ..DE DF, 4=4-DE “DE1,解得：DE=2. …2分 18本小题g分【(1)证明：：1BLBC,EF1BC, ∴.EF∥AB, ∴.△CEF∽△CAB, -2分 EF CF .'AB BC, 同理可得，△BEF∽△BDC, EF BF ..CD BC, EFEF_CF BF =BC=1 .AB CD BC BCBC -…2分 (2)证明：：AB⊥BC,CD⊥BC, .AB∥CD .△ABEACDE, 2 AB BE .'CD DE, …2分 .EF⊥BC,CD⊥BC, EF∥CD, BF BE ..CF DE, AB BF .'CD CF, .∠ABF=∠DCF=90°， .△ABF∽ADCF ∴.∠AFB=∠DFC, .∠BFE=∠CFE=90° .∠BFE-∠AFB=∠CFE-∠DFC, 即∠AFE=∠DFE, ∴，EF平分∠AFD.. 2分 19,本小思g分解：解】(1)在Rt△ACD中，点E是4C的中点， DE=1AC 2 即DE=CE=AE, -2分 ∴.∠CDE=∠DCE .∠DCE+∠DCF=∠CDE+∠ADE=∠CDE+∠BDF=9O°， ·.LBDF=∠DCF ∠F=∠F, ∴△FDC∽aFBD: 2分 (2),△FDC∽△FBD, FD FC .FB FD... …2分 即FD=(FB+BC)·FB FD=6N5,FB=10, 3 :(6W52=10+BC)x10 解得BC=8」 --2分 20本小题10分) 解：DF=57m,DE=2m, ∴.EF=DF-DE=55m, ∴.BF=(BE+55)m AB⊥BH,CD⊥BH, AB∥CD, ∴AECD∽△EAB」 CD ED AB EB, 2分 DE=2m,CD=1.6m, 1.6、2 ·ABBE, 2分 AB⊥BH,GH⊥BH, .∠ABF=∠GHF=90°， 又'∠BFA=∠HFG. ∴.△BFA∽△HFG, …2分 BF AB HF GH, -2分 BE+55 AB 即3 1.6, B+55 4 AB 1.6, 解得AB=88m,- …2分 答：崇文塔的高度AB为88m, 解得BD=7.5. 将BD=7.5代入①，得AB=5.95≈6.0 2分 4 故路灯AB的高度约为6.0m. 21.(本小题10分) (1)证明：，BD=2AD,CE=2AE, AD AE 1 :B=AC=3, 2分 又，∠DAE=∠BAC, .△ADEn△ABC: 2分 (2)解：，△ADE∽△ABC, DE AD 1 .BC=AB=3,∠ADE=∠ABC, -2分 .DE∥BC ,∴，△DEFC∽△CBF,=- -2分 DF DE 21 .CF=CB,即CF=3, .FC=6. 2分 22.(本小题12分)解：(1)存在1个P点. 设BP=x,则PD=10-x. ,AB⊥BD,CD⊥BD, .∠B=∠D AB BP9x ①当△ABP∽△PDC时，PDDC,，即10-x4 整理，得x2-10x+36=0, :△=（-102-4x1x36=-44<0 ∴.此方程没有实数解： 3分 AB BP ②当A4BP∽ACDP时，CDDP, 90 x= 即410-x,解得13 3分 90 综上所述，BP的长为13： (2)存在2个点P. 5 设BP=x,则PD=12-x. .AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠B=∠D AB BP 9-x ①当A4 BPAPDC时，PD=DC,即12-x4: 解得=x2=6 3分 AB BP 9x ②当A4BP∽ACDP时，即CD-DP,即412-x, 108 解得x=13· 108 综上所述，BP的长为6或13. 3分 23本小题12分 解：(1)四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， 又：AF⊥DE, ·,∠AED+∠ADE=90°=∠AED+∠BAF, ∴.∠ADE=∠BAF, 在△ADE和△BAF中， 「∠ADE=∠BAF AD=AB ∠DAE=∠ABF :△ADE≌△BAF(ASA)」 :DE AF, : =1 DE 1分 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N: 6 A E D H N G M F 图2 :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC, ∴四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB=9O°， .BN=GH AM=EF, .EF⊥GH .AM⊥BN, ∴.∠NBC+∠AMB=90°， .∠BAM=∠NBC 又：∠ABM=∠BCN=90°， .△BAMCBN, AB AM 'BC BN, EF=AB GH AD: --2分 乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N,EM交GH于点O, A E D H G M F 图2 :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90,AD=BC,AB‖CD, ∴四边形AEMB、GBCN均为矩形， ∴.AB=EM,GN=BC=AD :EF⊥GH,EM⊥GN, ∴.∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90°， '∠EOH=∠GOM, .∠MEF=∠HGN, 又∠EMF=∠GNH=90°」 ∴△EFM∽aGHN, EF EM GH GN, EF AB ..GH AD 2分 7 (3)解：由矩形的性质可得AD=BC=4,∠A=90°， 由勾股定理得BD=√AB+AD2=V32+4=5, EF AB 由(2)可知，BDAD, EF 3 54 ·EF= 4, 15 即折痕EF的长为4： 3分 (4)解：如图4，过点D作MN'⊥BC,交BC的延长线于M',过点A作AW'⊥LMN'于点N',连接AC, 过点F作FH'⊥AN'于点H',过点E作EG'⊥MN'于点G', A H -W E G M' B 图4 :∠ABC=90°，AN'⊥MN',MNW'⊥BC, ∴.四边形ABMN'是矩形， ∠N'=∠M'=90°，AW'=BM,MN'=AB=10, AD=AB,BC=CD,AC=AC. ∴△ACD≌△ACB(SSS) ∠ADC=∠ABC=90°. .∠ADN'+∠CDM=90°. .·∠ADN'+∠WAD=90° ∠N'AD=∠CDM', 又∠N'=∠M'=90°， ∴△ADN'∽aDCM CD CM'DM'5 1 .AD DN'AN102, -2分 :.AN'=2DM',DN'=2CM' DC2=CM+DM2 5=CM2+10-2CM2, ∴.CM'=5(不合题意舍去)或CM'=3, .BM'=BC+CM'=5+3=8=AN', 8 同(2)知，∠AFH'=∠DEG, 又：∠AHF=∠EG'D=90° aDEG'n△AFH', .DE EG ·AFFH', EG'=AN'=8,FH'=AB=10, DE-8=4 AF105, DE 4 即AF的值为5.- 3分 9 保密★启用前 九年级数学第一学期第三章图形的相似 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C． D． 2.已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 4.大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 5.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 6.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（   ） A． B． C． D． 7.如图1，在中，动点沿折线以的速度匀速运动，设点的运动时间为，的长度，与的函数图象如图2所示．当（不考虑全等）时，的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知在直角梯形中，，，，，．动点P、Q分别在边、上，且．线段与相交于点E，过点E作，交于点F，射线交的延长线于点G，设，给出下列说法： ①当四边形为平行四边形时，； ②； ③当点运动时，四边形的面积始终等于； ④当是以线段为腰的等腰三角形时，最多有四种结果 说法正确的个数是多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．   12如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高_____ 13．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ； 14.如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 第11题 第12题 第13题 第14题 15．如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 17本小题8分如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 18.本小题分如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 19.本小题8分如图，在中，为直角，于D．在中，E是的中点．的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 20本小题10分如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 21.本小题10分如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若DF＝2，求FC的长度． 22本小题12分如图，已知，. （1）若，，，请问在上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； （2）若，，，请问在上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求的长. 23本小题12分)【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学第一学期第三章图形的相似 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C． D． 2.已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 4.大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 5.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 6.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为2，则点的坐标（   ） A． B． C． D． 7.如图1，在中，动点沿折线以的速度匀速运动，设点的运动时间为，的长度，与的函数图象如图2所示．当（不考虑全等）时，的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知在直角梯形中，，，，，．动点P、Q分别在边、上，且．线段与相交于点E，过点E作，交于点F，射线交的延长线于点G，设，给出下列说法： ①当四边形为平行四边形时，； ②； ③当点运动时，四边形的面积始终等于； ④当是以线段为腰的等腰三角形时，最多有四种结果 说法正确的个数是多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．   12如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高_____ 13．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ； 14.如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 第11题 第12题 第13题 第14题 15．如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 17本小题8分如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 18.本小题分如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 19.本小题8分如图，在中，为直角，于D．在中，E是的中点．的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 20本小题10分如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 21.本小题10分如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若DF＝2，求FC的长度． 22本小题12分如图，已知，. （1）若，，，请问在上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； （2）若，，，请问在上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求的长. 23本小题12分)【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $