第四章投影与视图学情自测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦投影与视图核心知识，通过灯光秀、太阳能路灯等生活情境题及三视图还原、几何体表面积计算等空间想象题，适配初中数学第四章复习，落实空间观念、推理能力与模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|正投影夹角、中心投影面积比、三视图判断|结合古城墙射灯等情境，基础与空间想象结合| |填空题|6/18|投影影长计算、三视图表面积、小正方体个数|融入墙影问题，考查几何直观| |解答题|8/72|平行投影作图、直四棱柱侧面积、太阳能路灯应用|综合节能减排场景，需推理与建模|

第四章投影与视图学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（   ）    A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，正投影，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点，    ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为， 故选：B． 2．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 3．在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，分式方程的应用，如图，设直射灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、，根据题意知：，，证明，，进一步推出，代入数据求解即可．解题的关键是正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】解：如图，设直射筒灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、， 根据题意知：，， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴直射筒灯距离城墙大约． 故选：A． 4．如图，在中，、，将以直线为轴旋转一周得到的立体图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体以及简单几何体的三视图、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确求出旋转得到的立体图形是圆锥是解题关键．根据题意可知得到的立体图形是圆锥，再根据圆锥的主视图是等腰三角形、以及等边三角形的判定求解即可得． 【详解】解：∵在中，、， ∴， ∴， ∴将以直线为轴旋转一周得到的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的母线为，圆锥的底面是直径为的圆， ∴这个圆锥的主视图是等边三角形． 故选：D． 5．如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体上面看所得到的图形，根据几何体的特征进行判断即可求解． 【详解】解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱 ∴从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形 ∴该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆． 6．某工件的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图和左视图判断工件由大小两个长方体组成，上层的小长方体在下层的大长方体中间，根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：由主视图和左视图可知，工件由大小两个长方体组成，上层的小长方体在下层的大长方体中间， ∴其俯视图为矩形，中间有两条实线， ∴C选项符合题意． 7．小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据主视图和俯视图判断几何体的形状，进而确定其左视图，用到了由三视图判断几何体的知识． 【详解】解：根据该几何体的主视图为长方形，俯视图为圆形可知， 该几何体可能是圆柱， ∴其左视图是长方形，选D． 8．如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从左向右看，看到的宽度是底面中顶点E到边的垂直距离，过点E作于点Q，则，在中，，得到，从而求出长． 【详解】解：过点E作于点Q，则是边上的高，且， 在中，，， ， 即． 9．仓库里有一堆相同的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图． 这堆纸箱可能有（     ） A．7或8 B．8或9 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】根据从正面和左面看到的平面图形，结合从上面看到的图形，可进行求解． 【详解】解：第一种情况：如图所示： （箱）， 第二种情况：如图所示： （箱）， ∴这堆货物可能有10箱或9箱． 10．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可． 【详解】解：根据主视图和俯视图，这个几何体的底层有7个小正方体， 第二层最多有6个小正方体，最少有2个小正方体， 第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有16个，最少有10个小正方体． 如图， 则所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是6， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． 12．如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______． 【答案】 【分析】由中心投影可知与是位似图形，根据位似图形的性质，面积比等于位似比的平方，求出位似比即可求解． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形，点为位似中心． ， ， ， 与的位似比为， ， ， ． 13．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．根据图中所给的数据，它的表面积为_____． 【答案】92 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，菱形的性质，勾股定理，由图形可得，该几何体的形状是直四棱柱，由三视图可得，棱柱底面菱形的对角线长分别为、，由勾股定理求出菱形的边长，最后由表面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，该几何体的形状是直四棱柱， 由三视图可得，棱柱底面菱形的对角线长分别为、， 故菱形的边长为， 故棱柱的表面积为， 故答案为：92． 14．如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分别保持不变，那么最多可以拿走___________小正方体． 【答案】7 【分析】本题考查了简单组合体三视图，熟练掌握简单组合体三视图的画法是解题的关键． 根据简单组合体三视图的形状进行解答即可． 【详解】解：如图，在相应位置标注可以拿掉的小正方体的个数，使三视图不变， ∴所能拿掉的小正方体的个数为． 故答案为：7 ． 15．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 16．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【分析】根据三视图确定几何体的形状及小正方体的排列情况，利用几何体表面积等于主视图、左视图、俯视图面积之和的2倍进行计算． 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 【答案】(1)平行投影 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据投影的定义进行判断即可； （2）连接，过D作即可完成作图； （3）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：太阳光下形成的投影属于平行投影； （2）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影： （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得： 18．如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．分别利用小立方块的个数得出其形状，进而画出从正面和左面看到的形状图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求作； 19．如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； (3)求这个几何体的侧面积． 【答案】(1) (2) 解：左视图如下图所示： (3) 【分析】本题主要考查了三视图、勾股定理，三视图是从几何体的正面、左面、上面观察到的几何体的平面图形． （1）过点作，根据等腰梯形的性质求出，利用勾股定理求出等腰梯形的高； （2）从左面看，左视图是矩形,宽等于（1）中梯形的高，高等于主视图中棱柱的高； （3）几何体的侧面是四个矩形，其中左侧和右侧的矩形的长是宽是，正面的矩形长是宽是，后面的矩形长是宽是，根据矩形的面积公式求出四个矩形的面积之和即为几何体的侧面积． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 四边形是等腰梯形， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：， 这个几何体的侧面积是． 20．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 21．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 【答案】三棱柱，图见解析； 【分析】本题考查三视图，棱柱的表面积，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱；根据勾股定理求出等腰三角形的腰长，再根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱，其平面展开图如图①所示(画法不唯一)．由三视图，可知三棱柱的底面是等腰三角形，如图②，过点A作于点D． 由题意，得， ∴ ∴． 22．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 23．如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)2 【分析】此题主要考查了几何体三视图画法，注意观察角度是解题关键． （1）从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右4列正方形的个数依次为1，2，1，2，依此画出图形即可； （2）根据保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个，即最多可再添加2个小正方体． 故答案为：2 24．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由多少个小正方体搭成； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体． 【答案】(1)10个小正方体搭成 (2)最多可以再添加4个小正方体 【分析】（1）按照从后到前的顺序，计算得，解答即可； （2）根据不同方向看得到几何形状图特点解答即可． 本题考查了从不同方向看，熟练掌握不同方向看几何形状是解题的关键． 【详解】（1）解：按照从后到前的顺序，得， 故这个几何体由10个小正方体搭成． （2）从三个不同方向看这个几何体，图形如下： 观察图形可知：如果从左面和从上面看到的形状图不变，可以在第二列添加3个小正方体， 在第三列添加1个小正方体． ∴最多可以再添加（个）小正方体． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第四章投影与视图学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.如图，一条线段B在平面内的正投影为，B=24B=5,则B与B的夹 角为() A.45° B.30° C.60° D.以上都不对 2.如图，将一块面积为16cm的三角形硬纸板ABC平行于投影面放置，在光源O的照射 下形成的投影是△DEF.若OA:AD=2:3,则△DEF的面积为() D A.40cm2 B.60cm2 C.80cm2 D.100cm2 3.在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离， 如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三 角板的一边长为80cm,且投影三角板的对应边长为100cm,三角板中心点与其投影的中心 点距离大约是4m,由此估计直射筒灯距离城墙大约() 试卷第1页，共3页 A.20m B.10m C.8m D.16m 4.如图，在△ABC中，∠C=90°、∠A=60°，将△ABC以直线BC为轴旋转一周得到的立 体图形的主视图是() B 5.如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是( ) 俯视 左视→ 主视 6.某工件的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为() 主视图 左视图 B C. D 试卷第2页，共3页 7.小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为() 俯视图 主视图 A C 8.如图是三棱柱及其三视图，在俯视图△EFG中，EF=8cm,EG-14cm,∠EGF=30° 则左视图中AB的长为() D 主视图 左视图 俯视图 A.4cm B.7cm C 8cm D.14cm 9.仓库里有一堆相同的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图. 前面 左面 上面 这堆纸箱可能有() A.7或8 B.8或9 C.9或10 D.10或11 10.一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那 么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是() 试卷第3页，共3页 主视图 俯视图 A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，阳光下一根长2m的木棒AB在地面上的影子BC长为3m,此时旗杆DE的影子 有一部分落在距离旗杆15m的墙FG上，旗杆的影子落在墙上的高度FH为2.8m,则旗杆 DE的高度为 m. D B CE 12.如图，在点光源O的照射下，一块面积为5cm的三角形硬纸板（记为△ABC)平行于 投影面时，形成的投影是△DEF.若AD:AO=1I:2,则△DEF的面积是一 13.一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形.根据图中所给的数据，它的表面 积为 cm2 8cm 4cm 3cm 主视图 左视图 俯视图 14.如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的 试卷第4页，共3页 几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分 别保持不变，那么最多可以拿走 小正方体. 15.如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为一· 左 6 图 图 俯 视 ←3> -6 l6.某几何体是由棱长为lcm的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个 几何体的表面积是 cm2 主视图 左视图 俯视图 三、解答题（每题9分，共72分） 17.【数学思考】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=6m,某一时刻AB 在阳光下的投影BC=2m,DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息： A 77777777777777777777777 (1)太阳光下形成的投影属于_；（填“平行投影”或“中心投影”）： (2)在图中画出DE在阳光下的投影： (3)求立柱DE的长 试卷第5页，共3页 18.如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位 置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图 - 2 从正面看 从左面看 19.如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）· 3 3 5 10 10 主视图 左视图 P 俯视图 (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为一： (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长： (3)求这个几何体的侧面积 20.己知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角 形 2cm 2cm 主视图 左视图 俯视图 (1)请写出该几何体的名称： (2)根据图中数据，求该几何体的体积。 试卷第6页，共3页 21.一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的 平面展开图，并求其表面积S 1.5cm 主视图 左视图 0.75cm 俯视图 22.为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯.如图AB是一种新型太 阳能路灯，已知太阳能路灯AB与墙OP相距18米，身高1.6米的小明在离路灯3米的D处 时，测得自身影长DG为1米. P M B DG 图1 图2 (1)求路灯AB的高度： (2)小明沿着DO走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是事多少米： (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的N处停下，求此时小明在墙上的影子高度， 23.如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体. 从正面看 (主视图) (左视图) (俯视图) (1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来： (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图 不变，那么最多可以再添加 个小正方体， 24.如图是由一些相同的小正方体组成的几何体， 试卷第7页，共3页 从正面看 (1)这个几何体由多少个小正方体搭成： (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变， 那么最多可以再添加几个小正方体. 试卷第8页，共3页