第四章 投影与视图 单元复习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第四章投影与视图单元复习卷，以生活情境与文化素材为载体，覆盖投影类型、三视图、相似应用等核心知识，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行投影判断（1）、中心投影识别（2）、影长计算（3）、三视图辨析（4,6,7）|古诗情境（2）、几何体视图对比（4）| |填空题|5/15|中心投影性质（11）、相似测高（12）、三视图小正方体个数（13）|生活场景（12路灯）、空间想象（13）| |解答题|8/85|画三视图（16）、投影类型判断（17）、相似解决实际问题（19,20）、综合实践（22测量旗杆,23垃圾分类）|跨学科实践（23）、分层设问（22证明与计算）|

· 第四章 投影与视图�单元复习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（） A． B． C． D． 2．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 3．在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为10米，则这棵树的高度为（　　） A．3米 B．4.6米 C．6.4米 D．7.8米 4．下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（    ） A． B． C． D． 5．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，则（   ） A． B． C． D． 6．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 7．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体 8．小莉用几个体积是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体．如图是从不同方向看到的图形．这个几何体的体积是（　　）立方厘米． A．4 B．5 C．6 D．7 9．一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的n个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则n的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子______．（填“越长”“越短“或“一样长”） 12．学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是_________米． 13．某立体图形是由相同的正方体拼成，该立体图形的三视图如图所示，则正方体共有 _____个． 14．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 15．如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． (1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积（包括底面）是_______． 17．如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形. (1)两幅图中的投影属于中心投影的是图________（用“甲”或“乙”填空）； (2)若阳光下小丽影子长为，大树影子长为，小丽身高，则大树高度是________． 18．如图是分别从正面、左面、上面观察一个几何体得到的图形，请解答以下问题： (1)这个几何体的名称为 ； (2)若从正面看到的是长方形，其长为；从上面看到的是等边三角形，其边长为，求这个几何体的侧面积． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图象高米，则投影机光源离屏幕大约为多少米？ 20．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 21．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 23．某小区入口为A处，共有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋．为激励居民进行垃圾分类和可回收物交投，社区垃圾分类管理部门准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心分类回收箱”（如图1）． 任务1：计算投放重量 “爱心分类回收箱”是一个有偿回收系统，回收标准为元/千克．某日，居民小海扫描回收箱上的二维码绑定手机号后，将回收物投入箱中，随后点击屏幕中的“结束投放”，很快屏幕显示元已入账所绑定的手机．入账金额需满10元才可以提现，若小海想提现，则他至少还需投入多少千克的回收物； 任务2：测算运输费用 当回收箱满仓时，会有专人将回收物转运到中转站，再进行大仓分拣，最终实现资源再生，据调查，运输费用随着运输距离的变化情况如表所示： 距离x/千米 … 1 2 3 4 5 6 … 运费y/元 … 10 13 16 … 若小区入口A处与回收点的距离为千米，请根据表3中的数据估计满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用； 任务3：确定摆放位置 现需设计“爱心分类回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最小，某数学兴趣小组开展了如下探究活动：小组成员借助小区平面图（如图2）测得，根据比例测算出了某些道路的长度，并抽象成图3，其中与交于点F，，米，米，米．请在图3中标出投放地点G的位置，并求出此时距离之和的最小值．（结果保留整数，参考数据：） ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C C D C B C C 1．C 【分析】本题考查平行投影的意义，根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项C中的图形符合题意， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影． 【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用， 熟练掌握同时同地物高与影长的比相等列出比例式是解题的关键．根据同时同地物高与影长的比相等列出比例式， 然后求解即可 【详解】解：设树高为x米，由题意得 ， 米， 故选C． 4．C 【分析】本题主要考查简单的几何体的三视图，正方体的主视图与俯视图都是正方形，圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，球体的主视图与俯视图都是圆形，只有圆锥的主视图与俯视图不同． 【详解】解：圆锥的主视图与俯视图分别为三角形、圆形， 故选：C 5．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，证明，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：观察图中，得出， ∴， ∴， ∵动力臂，阻力臂， ∴， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有两列，数量分别为1、2，据此即可判断答案． 【详解】 解：由图形可知，主视图为 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据前两个视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据第三个视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案． 【详解】解：∵前两个视图都是长方形， ∴该几何体是一个柱体， 又第三个视图是一个三角形， 故该几何体是一个三棱柱． 故选：C． 8．B 【分析】根据上面看到的图形确定下层正方体的个数，根据正面和左面看到的图形确定上层正方体的个数，即得． 本题主要考查了由三视图推断小正方体的个数．解决问题的关键是熟练掌握由俯视图掌握小正方体的堆叠方式，由另两种视图确定小正方体的个数． 【详解】观察从三个方向看到的图形，从上面看到的图形由4个正方体排成两行三列，下层有4个正方体；从正面看到的图形有两层，上层左列只有1个正方体；从左面看到的图形有两层，上层后行只有1个正方体． 可得该几何体如图所示， ， 由5个体积是1立方厘米的正方体摆成， ∴这个几何体的体积是5立方厘米． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：在保证左视图不变的情况下，留下的正方体按照图中的方式摆放，则n的最大值为3． 故选：C． 11．越短 【分析】本题考查了中心投影的定义，在灯光下，离点光源（路灯）越近的物体的影子越短，离点光源越远的物体的影子越长；理解中心投影的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，离路灯越近，旗杆的影子越短， 故答案：越短． 12． 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：，， ， ， 小红的身高为米，他在路灯下的影子长为2米；小红距路灯杆底部为4米， ，，， ， 解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米． 故答案为：． 13．6 【分析】本题考查了由三视图确定小正方体的个数，能根据三视图确定小正方体的个数分布是解题的关键． 【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图，底层有4个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是个．分布如下： 故答案为：6． 14．6 【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ． ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：6． 15．9 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 16．(1) 如图所示， (2)26 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）这个几何体的表面积， 故答案为：26． 17．(1)乙 (2) 【分析】本题考查了平行投影与中心投影、同一时刻物高与影长比值相同， （1）物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影，据此即可判断和说明； （2）根据平行投影，物高与影长比相等，设树高为，利用比例相等列出式子进行求解即可． 【详解】（1）如图所示： 甲图是平行投影，乙图是中心投影； 故答案为：乙． （2）解：设树高为，依题意，， 解得：， 答：树的高度为．   故答案为：． 18．(1)三棱柱 (2)这个几何体的侧面积为． 【分析】本题主要考查立体图形展开图的识别，立体图形侧面积的计算方法． （1）根据立体图形的展开图的特点分析即可求解； （2）根据立体图形侧面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：这个几何体从正面看和从左边看都是长方形，从上面看是三角形， 所以这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长，宽是三棱柱的高， 所以三棱柱侧面展开图形的面积为： ． 答：这个几何体的侧面积为． 19．5米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点作于点，交于点，则可得，米，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意得：，米，米， ∴， ∵点为光源，与胶片的距离为米， ∴米， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：投影机光源离屏幕大约为5米． 20． 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：． 21．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 22．(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∴ 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 23．任务1：千克；任务2：元；任务3：543米． 【分析】任务1：设还需投入x千克的回收物，根据入账金额需满10元才可以提现建立不等式求解即可； 任务 2 ，先求出距离大于 3 千米时的函数解析式，再将代入解析式求出值即可； 任务 3 ，连接交于点，连接，根据两点之间线段最短，则点位置就是使得它到 4 栋住宅楼的距离之和最小．就是求出线段的值即可． 【详解】解：任务1，设还需投入x千克的回收物， 由题意得，， 解得， ∴x的最小值为， 答：小海想提现，则他至少还需投入千克的回收物； 任务2：从表格数据看，当运输距离大于等于3千米时，运输距离每增加1千米时，运费增加元， ∴， 当时，； 答：满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用为元． 任务3：如图，连接交于点，连接， ∵，， ， ， ∴垂直平分线段， ， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，则点位置就是使得它到4栋住宅楼的距离之和最小． 米，米， （米）， 米， ∵， ， ∵， ， 米， （米）， 过点D作，则四边形是矩形， 米，米， （米）， （米）， （米）． 答：点G到四栋楼距离之和最小值约为543米． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次不等式的应用，求函数关系式和函数值，线段垂直平分线的性质与判定，等角对等边，矩形的性质与判定，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 答案第10页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $