2026年九年级数学秋季开学学情自测卷01（新教材北师大版，八年级全部内容+九年级上册前两章）

2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级全部内容+九年级上册前两章 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则（     ） A． B． C． D． 7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 8．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），则随变化的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．计算：______． 12．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 13．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到_____次第二名． 14．一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个外角等于__________． 15．如图，中，将绕点A顺时针旋转得到，将绕点C顺时针旋转得到，连接．点G、H分别是的中点，若的面积是，则_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分) 16．化简求值与解方程 （本题共10分，每小题5分） (1)先化简，再求值：，其中，； (2)解一元二次方程：． 17．（8分）如图，已知点，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为　　． (2)画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为　　． (3)在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　． 18．（9分）如图，四边形是平行四边形，交于点，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． (3)求证：四边形是菱形． 19．（9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 20．（9分）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 21．（10分）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 22．（10分）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 23．（10分）已知菱形和等边，．    (1)当E，F分别在的延长线上时（如图1），连结． ①求证：； ②连结，交于点N（如图2），取的中点M连结．若，求的长； (2)当点F在的延长线上时（如图3），连结，分别取的中点M，N，连结．若，，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级全部内容+九年级上册前两章 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则（     ） A． B． C． D． 7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 8．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），则随变化的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．计算：______． 12．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 13．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到_____次第二名． 14．一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个外角等于__________． 15．如图，中，将绕点A顺时针旋转得到，将绕点C顺时针旋转得到，连接．点G、H分别是的中点，若的面积是，则_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分) 16．化简求值与解方程 （本题共10分，每小题5分） (1)先化简，再求值：，其中，； (2)解一元二次方程：． 17．（8分）如图，已知点，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为　　． (2)画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为　　． (3)在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　． 18．（9分）如图，四边形是平行四边形，交于点，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． (3)求证：四边形是菱形． 19．（9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 20．（9分）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 21．（10分）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 22．（10分）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 23．（10分）已知菱形和等边，．    (1)当E，F分别在的延长线上时（如图1），连结． ①求证：； ②连结，交于点N（如图2），取的中点M连结．若，求的长； (2)当点F在的延长线上时（如图3），连结，分别取的中点M，N，连结．若，，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】此题考查轴对称图形，中心对称图形，解题关键在于对图形的识别. 2．已知 ，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质解答即可. 【详解】A. -2a<-2b，故该项错误； B. ，故该项错误； C.2-a<2-b，故该项错误； D. 正确， 故选：D. 【点睛】此题考查不等式的性质，熟记性质并熟练解题是关键. 3．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ∴当时，四边形是菱形． 4．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义：把整式变形成整式乘积的形式，即可作出判断． 【详解】A、符合因式分解的定义，故本选项正确； B、结果不是整式的积的形式，因而不是因式分解，故本选项错误． C、是整式的乘法运算，因而不是因式分解，故本选项错误； D、不是对多项式进行的变形，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确理解定义是关键． 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 6．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，推出可得结论． 【详解】解：由作图可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 为等腰直角三角形， ． 7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念，对各选项逐一分析判断即可得解. 【详解】A. ，故该选项错误； B. 是整式的乘法，不是因式分解，故该选项错误； C. ，不是因式分解，故该选项错误； D. ，正确. 故选D. 【点睛】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程是因式分解. 8．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有3个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出，且，由此确定整数a的值，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 解得 该不等式组有且只有个整数解，即三个整数解为，，1， 解得． 解分式方程 得． ，且， ，，解得且． 综上，且． 为整数， 或，即满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三种情况，根据平行四边形的性质得出点的坐标，即可解决问题． 本题考查了平行四边形的判定以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； ∴点的坐标不可能是． 故选：B． 10．如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），则随变化的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分点在、、上运动三种情况，分别求出与的函数关系式，根据函数类型判断图像形状 【详解】解：∵，，速度为， ∴点在上运动的时间为． 此时，，， ∴该段图像为过原点的线段； ∵在矩形中，， ∴点在上运动的时间为， 此时，的高为，， ∴该段图像为平行于轴的水平线段； ∵在矩形中，， ∴点在上运动的时间为， 此时，，， ∴该段图像为下降的线段． 综上所述，函数图像由三条线段组成．选项B符合题意． 二、填空题 11．计算：______． 【答案】 【分析】先进行绝对值的化简、开方、特殊角的三角函数、负整数指数幂运算，然后合并． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、开方、特殊角的三角函数、负整数指数幂运算知识点，属于基础题． 12．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程判别式与根的情况关系，由题意得到判别式大于，代入方程系数计算后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有不相等实数根， ，，， ∴，解得． 13．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到_____次第二名． 【答案】8 【分析】根据题意，可得一共经过了：（个）月，超过4个月，即x+y＜13，故x+y可以为：1，2，4，又因为x＞y，所以可得x＝3，y＝1，进而可以设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意可以列方程组即可得解． 【详解】解：根据题意，得 一共经过了：（个）月， 23+20+9＝52，x＞y， ∵＞4， ∴x+y＜13， 故x+y可以为：1，2，4， 又∵x＞y，故x＝3，y＝1， ∴一共有13个月， 设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意，得 由①得：3a+3b≤39③ 由②得，3a＝23﹣b④ 将④代入③，解得b≤8， 当b＝8时，a＝5， 答：第一小组最多得到8次第二名． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查不等式组与分式的实际应用，解题的关键是根据题意得到相应的式子进行求解． 14．一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个外角等于__________． 【答案】45 【分析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数． 【详解】解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720， 解得：n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个外角也相等，度数为360°÷8=45°． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角．解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题． 15．如图，中，将绕点A顺时针旋转得到，将绕点C顺时针旋转得到，连接．点G、H分别是的中点，若的面积是，则_______． 【答案】1 【分析】根据的面积和，可求出的长，再结合中位线的性质可得出的长． 【详解】解：过点E作的垂线，垂足为K， ∵， ∴． 根据旋转可知，， 又∵的面积是， ∴， 则． ∴AB=2． 连接交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由旋转可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 故点P与点G重合． 又∵点H为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行四边形的性质等考点，熟知旋转的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 三、解答题 16．化简求值与解方程 (1)先化简，再求值：，其中，； (2)解一元二次方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先计算括号里异分母分式减法运算，再将除法转化为乘法，约分即可得到化简结果，最后将，代入，由二次根式乘法运算计算即可得到答案； （2）由十字相乘因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：， ， 或， 解得，． 17．如图，已知点，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为　　． (2)画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为　　． (3)在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　． 【答案】(1) 解：如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：． (2) 解：如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：． (3)或或 【分析】（1）根据旋转的性质分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出坐标即可得； （2）根据中心对称的定义分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出坐标即可得； （3）分①组成的平行四边形是，②组成的平行四边形是，③组成的平行四边形是三种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如图，组成的平行四边形是， ，， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， ， ，即为； ②如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； ③如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转画图、画中心对称图形、平行四边形、点坐标的平移变换，熟练掌握旋转和中心对称图形的画法是解题关键． 18．如图，四边形是平行四边形，交于点，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． (3)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． (2) (3)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）得出，进而得出即可得证； （2）先求出，再求出的长，进而求出的长即可； （3）先得出四边形是平行四边形，再得出即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴四边形的面积为． （3）略． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 20．阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1) (2) (3)证明：令， ， 将还原， ， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【分析】（1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“m”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， ， 将“”还原，得； （2） 解：令， ， 将“”还原，得： ； （3）证明详见答案 21．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个 (2)最少可以购买40个甲种滑动变阻器 【分析】（1）列分式方程解决问题； （2）列一元一次不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的根，并符合题意， 元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个， 由题意得， 解得， 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器． 22．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 23．已知菱形和等边，．    (1)当E，F分别在的延长线上时（如图1），连结． ①求证：； ②连结，交于点N（如图2），取的中点M连结．若，求的长； (2)当点F在的延长线上时（如图3），连结，分别取的中点M，N，连结．若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①利用等边三角形的性质可证，即可证； ②连结，先证明点N为的中点，则为的中位线，则，由于为等边三角形边上的高，可通过解直角三角形求得，故也可求出． （2） 过点C作于点G，取的中点Q，连结，， 先由等边三角形求得的长，再由求得的长，进而求得的长，接着求得的长，设法证明是等边三角形，则，即可求解． 【详解】（1）①∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴也是等边三角形． ∴ 即． ∵是等边三角形， ∴   在中， ∴   ∴ ②连结，    ∵，， ∴， ∵， ∴，，又   ∴   ∴ ∵M是中点   ∴是的中位线   ∴， ∵是等边三角形，   ∴，又由是等边三角形得 ∴， ∴ （2）过点C作于点G，取的中点Q，连结，，    ∵是等边三角形， ∴， ∴   ∴ ∵   ∴ 又∵，， ∴   ∴ ∵是的中位线，是的中位线 ∴，   ∴ ∵   ∴ ∵， ∴ ∵， ∴   ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的证明、三角形中位线定理的应用、勾股定理的应用等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．_________ 12．_________ 13．_____________ 14．_________ 15．___________ 三、解答题（本题共8小题，共75分) 16．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19． （9分） 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 破。 5.正确填涂 7 6789 6789 6789 123456789 456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 89 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A[B][C][D] 2「A1[B1[CIID1 6[A][B][C][D] 10[A][B][CD] 效网 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（本题共5小题， 每题3分，共15分) 11. 13 14. 15. 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16.(10分) 警 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 5 3 2 -5-4-3-2-10 345 L--L 5 18.(9分) O B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作数，麴第黑顶知道顸限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) D B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内数，学第聪影庭限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内数学，第6属框限定区域的答案无效！: : 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学 :: (考试时间：100分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：八年级全部内容+九年级上册前两章 -、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） .: : 1.下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( .: : 2.已知a>b,则下列不等式中正确的是() A.-2a>-2b B.ab C.2-a>2-b D.a+2>b+2 常 O 22 . 3.如果口ABCD的对角线相交于点O,那么在下列条件中，能判断口ABCD为菱形的是() A.∠OAB=∠OBAB.∠OAB=∠OBCC.∠OAB=∠OCDD.∠OAB=∠OAD : 4.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是() : : A.3x2+2x=x(3x+2) B.x2-x-2=x(x-1)-2 C.(a+b)(a-b)=㎡-b D.a2b=ab●a 5.固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为 : 500Wh/kg.经过两轮技术迭代后，能量密度达到720Wkg,且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增 : 长率相同.设电池能量密度每轮的平均增长率为x,则可列方程为() A.500(1+x)2=720 B.500(1+x)=720 的 C.500(1+2x)=720 D.5001+x2)=720 : 6.如图，已知∠MAN,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM,AN相交于点B,C,分别以 : 点B,C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAV内部相交于点P,作射线AP.分别以点A, 2 试题第1页（共8页） : : 6学科网·上好课 B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D,B,作直线DB分别与AB,AP,AW相交于 点F,Q,H.若AB=8,∠PQE=67.5°，则AH=() M B A.22 B.4 C.42 D.2√5 7.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.4x2+y2=(2x+y)(2x-y) B.a(4-y2)=4a-y2 C.x2+3x-1=x(x+3)-1 D.-4x2+12xy-9y2=-(2x-3y)2 2x-7≥x-8 a 8.若整数a使关于x的不等式组{ a-6x. >-2 有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 ~3 4 3=-1的解满足y<5,则所有满足条件的整数a的值之和为（） 3- A.6 B.7 C.8 D.10 9.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别是(-1,2)，(2,1)，(3,3)，点D是平面内一点， 若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是() A 0 A.(0,4) B.1,3) C.(6,2) D.(-2,0) 10.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=6cn.点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿 A→B→C→D运动，点P与点D重合时停止运动.设运动的时间为t(单位：s),△APD的面积为S(单 位：cm),则s随t变化的函数图象大致为() 试题第2页（共8页） 学科网·上好课 A>P B S/cm2 S/cm2 24- 24 47 11 is 11t/s S/cm2 ←S/cm2 24-- 24 D, 0 11 t/s 4 11 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 1计-6ca0（一 12.若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有不相等实数根，则k的取值范围是 13.重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心.某公司为了调动员工积极性，将公司员工分 成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集 0分(x>y,且均为正整数)，经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集 分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到次第二名. 14.一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每 个外角等于 15.如图，口ABCD中，将AB绕点A顺时针旋转45°得到AE,将CD绕点C顺时针旋转45°得到CF,连接 BE、DF、EF.点G、H分别是EF、AD的中点，若△ABE的面积是√2，则GH= B 三、解答题（本题共8小题，共75分) 16.化简求值与解方程（本题共10分，每小题5分） 试题第3页（共8页） 其中x=5,y=2: 兵 (2)解一元二次方程：x2-2x-24=0. 张 江 样 17.(8分)如图，已知点A(2,4),B(1,1),C(3,2). 4 3 人 时 -5-4-3-2-1Q 12345x 3 世 5 (1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△4RC,画出△AC,并写出点C的对应点C1的坐标为_， (2)画出△ABC关于原点成中心对称的图形△AB,C,；并写出点A的对应点A的坐标为· (3)在平面直角坐标系内找点D,使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为一· 试题第4页（共8页） 18.(9分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC,BD交于点O,∠OBC=∠OCB,且DE AC,CE∥BD O B (1)求证：四边形ABCD是矩形. (2)若∠BOC=120°，AB=4cm,求四边形ABCD的面积. (3)求证：四边形OCED是菱形. O O .: 19.(9分)己知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0. ·! (1)求证该方程总有两个实数根： (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值. .: : .0 的 O 试题第5页（共8页） 6学科网·上好课 20.（9分)阅读以下材料. 材料：因式分解：(a+b)+6(a+b)+9. 解：将“a+b"看成一个整体，令a+b=m,则原式=m2+6m+9=(m+3)2. 再将“m"还原，得原式=(a+b+3). 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：(a-2b)-2(a-2b)+1: (2)因式分解：(a2-4a+3)(a2-4a+5+1； (3)试证明：无论n为何值，式子(n+4+10)(m+4-2)+38的值一定是一个不小于2的数. 21.(10分)某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动 变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻 器单价比甲种单价贵5元。 (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价： (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种 滑动变阻器？ 试题第6页（共8页） 可学科网·上好课 22.(10分)长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可 售出20件.为了迎接“十一"国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销 售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.设每件童装降价x 元 (1)采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 23.(10分)已知菱形ABCD和等边△CEF,∠ABC=60°. F M B B 图1 图2 图3 试题第7页（共8页） (1)当E,F分别在CA,CB的延长线上时（如图1），连结AF,DE, ①求证：AF=DE; ②连结DF,交AB于点N(如图2)，取AE的中点M连结MN.若AE=AC=3,求N的长； (2)当点F在DA的延长线上时（如图3），连结AE,DE,分别取AB,DF的中点M,N,连结MN.若AC=2, CE=√19，求MN的长. 兵 张 江 游 时 世 试题第8页（共8页）函学科网·上好课 www.zxxk.com 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分) 题号 1 3 4 5 6 7 答案 B D D A A D 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11.-2 12.k>-1 13.8 14.45 15.1 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16.本题共10分 (1)y,V6 (2)x=6.x2=-4 解：e-小到 功后 =(x-y)÷x-y y =(x-y)xxy x-y =Xy. 当x=5,y=V2时，原式=5xV2=V6: (2)解：x2-2x-24=0, ∴(x-6)(x+4)=0. ∴.x-6=0或x+4=0, 解得x=6,x2=-4 上好每一堂课 ① 9 10 A B B 丽学科网·上好课 17.(8分) (1)解：如图，△4BC即为所求， VA A B 5-4-3-2-10 2345x 1--- 则点C的坐标为(-2,3) 故答案为：（-2,3) (2) 解：如图，△4，B,C2即为所求， VA 2 5-4-3-2-10 345x A2 则点4的坐标为(-2，-4). 故答案为：（-2，-4) (3)(0,3)或(2，-1)或(4,5) 18.(9分) (1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :.OC=AC,OB=1BD 2 .∠OBC=∠OCB www.zxxk.com 上好每一堂课 2 可学科网·上好课 WW .0B=0C, 1 ∴21C=2BD,即AC=BD: 2 .四边形ABCD是矩形 (2)16v3cm2 (3)i证明：：DE‖AC,CE∥BD, .四边形OCED是平行四边形， 由(1)己证：四边形ABCD是矩形， ∴.0C=0D ∴四边形OCED是菱形 19.(9分) (1) 证明：：x-(m+l)x+2(m-1)=0, ∴△=[-(m+10]-4×1×2(m-1) =m2+2m+1-8m+8 =m2-6m+9 =(m-3)2≥0. .该方程总有两个实数根： (2) m的值为2或5 (2)解：x2-(m+1)x+2(m-1)=0 (x-2)[x-(m-1]=0. 解得x=2,x2=m-1, 方程的一个根是另一个根的2倍， .分两种情况讨论：当=2x2时，2=2(m-), 当x2=2x时，m-1=2×2,解得m=5: 综上，m的值为2或5 20.(9分) v.zxxk.com 解得m=2； 上好每一堂课 3 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()(a-2b-1)2 (2(a-2) (3)证明：令n2+4n=m, (n2+4n+10)(n2+4n-2）+38 =(m+10)(m-2)+38 =m2-2m+10m-20+38 =m2+8m+18 =(m+4)}+2, 将m=n2+4n还原， (m2+4n+10)(n2+4n-2)+38=(2+4n+4)+2=(n+2)+2, 无论n为何值(n+2)≥0， (n+2)+2≥2， 即式子(m2+4n+10)(2+4n-2)+38的值一定是一个不小于2的数. 21.(10分)(1)解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得2.1620=3600 xx+51 解得x=45, 经检验：x=45是原方程的根，并符合题意， 45+5=50元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个： (2)解：设购买甲种滑动变阻器个， 由题意得45m+50(100-m)≤4800. 解得m≥40， 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器。 22.(10分)【答案】(1)(20+2x),(40-x) (2)每件童装应该降价20元 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)解：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.设每件童装降价x元， “采取降价措施后，每天可销售(20+2x)件，每件盈利(120-80-x)=(40-x)元 (2)解：由题意得(20+2x)(40-x)=1200, 整理得x2-30x+200=0, 解得x=10,x2=20 ,要使优惠力度最大， x=20, ∴每件童装应该降价20元. 23.(10分) (1)①，四边形ABCD是菱形， .AB=BC, :∠ABC=60° .△ABC是等边三角形 ∴.AC=BC=AC=CD=AD .△ACD也是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ACD=60° 即∠ACF=∠DCE :△CEF是等边三角形， ∴CF=CE CA=CD 在 中， ∠ACF=∠DCE △FCA与AECD CF=CE .△FCA≌△ECD(SAS) .AF=ED ②连结EB, 可学科网·上好课 www.zxxk.com B ..AE=AC=3,CE=CF,CA=CB=AD ∴.AD=BF=BC=3,CE=6 AD//BC .LDAN=∠FBN,∠ADN=∠BFN,又AD=BF ：.△AND≌△BNF(ASA) .'AN=BN M是AE中点 ,MN是△EAB的中位线 .MN=1EB 2 :aCEF是等边三角形，BF=BC ∴.BE⊥FC,又由△ABC是等边三角形得AB=AC=3 .EB=VCE2-BC2=V62-32=3√3， W=3 (2)过点C作CG⊥AD于点G,取EF的中点Q,连结QM,ON, E Q B △ACD是等边三角形， ca-94c-5.4c-0l 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com G=CP-CG=i9-(3=4 .FA=3 ,∠FCE=∠ACD=60° .∠FCA=∠ECD 又，CA=CD,CF=CE, .△FCA≌△ECD(SAS) .AF=DE :QM是△EFA的中位线，QN是△EFD的中位线 :.OM-TAF,QN-IDE 2 2 ..OM=ON :∠FAC=∠EDC=180°-∠CAD=120° .∠FDE=120°-∠ADC=60° .ONIIDE .∠FNQ=∠FDE=60° .QMI∥AF ∴.∠MQN=∠FNQ=60° △OMN是等边三角形， N=OM=)4f=3 1 2 2 上好每一堂课