第三章 函数的概念与性质（单元自测·基础通关卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一年级必修一第三章函数单元检测卷，聚焦函数概念与性质，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，适配单元复习，强化数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数定义、定义域、奇偶性、幂函数|如第1题辨析同一函数，第7题结合充分必要条件考单调性，体现数学抽象与逻辑推理| |填空题|3题/15分|函数最值、参数范围、实际应用|第14题广告面积最小化问题，渗透数学建模与应用意识| |解答题|5题/77分|函数解析式、单调性证明、存在性问题|19题探究对称中心及函数应用，综合考查逻辑推理与运算能力，契合单元核心素养目标|

2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D C C B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD CD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/3.5 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】解：（1）由题意，函数的定义域为， 则函数满足，解得，即， 即函数的定义域为；（6分） 函数的定义域，对于函数，有，（11分） 解得且. 由此，函数的定义域为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以当时，，，（3分） 又，所以的函数解析式为．（6分） （2）当时，，在上是增函数， 因为是定义在上的奇函数且在图象不间断， 故在上是增函数. 而，故，（8分） 故即为 ，（10分） 故在上恒成立即在上恒成立，（13分） 由于函数在上单调递增， 所以，即，即 .（15分） 17．（15分） 【详解】（1）在中，令，可得，解得.（2分） 令，可得，解得.（4分） （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数.（7分） （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数，（10分） 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且，（14分） 所以不等式的解集为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设，（1分） 则，（3分） 可得，解得，， 所以.（5分） （2）因为，所以，即；（9分） 法一：所以，化简得，当且仅当时取等，（13分） 所以， 故的最小值为9；（15分） 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为9.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的；所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是.（3分） （2）当时，. ①函数在区间上单调递增； 证明如下:，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增，（7分） ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知在上单调递增，又，所以， 又，（10分） 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增，（12分） 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在.（13分） 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以，（15分） 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的取值范围是.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域和对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域均为,对应关系也相同，故为同一个函数，故A正确， 对于B, 的对应关系不相同，故不是同一个函数，故B错误， 对于C, 定义域为，的定义域为，故不为同一个函数，C错误， 对于D，的定义域为， 的定义域为，故不为同一个函数，D错误， 故选：A 2．某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，所以设生产x台，建立关系式f(x)＝25x－y，代入求最大值即可. 【详解】设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500. 故当x＝50台时，获利润最大. 故选：C 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 4．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合对勾函数的单调性即可求解. 【解答过程】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 5．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由奇函数得到上单调递减且，再由单调性解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意知，在上单调递减且；由可得或， 则或，解得或. 故选：C. 6．已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 7．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 8．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对A，成立，故正确； 对B，成立，故正确； 对C，令，则，不成立，故错误； 对D，， 由，所以成立，故正确； 故选：ABD 10．给出下列四个命题是真命题的是：（    ） A．函数与函数表示同一个函数； B．函数与直线（常数）有且仅有一个交点； C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到； D．若函数的定义域为，则函数的定义域为． 【答案】CD 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故两个函数不是同一函数， 故A为假命题. 对于B，取，但直线与前者的图象没有交点，故B为假命题. 对于C，由图象的平移变换可知该命题为真命题. 对于D，令，故即函数的定义域为，故D为真命题. 故选：CD. 11．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 【答案】BD 【解答】对于A：令，则，令，则， 令，则，故错误； 对于B：由A选项的计算可知，故正确； 对于C：，则，则， 因为，所以，又时，， 所以，所以， 所以为上的减函数，故错误； 对于D：令，则，则， 所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数，故正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数在区间的最大值为 . 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 13．设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合每段单调性，分段点处的函数值关系，建立不等式求解即可. 【详解】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 14．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 【答案】 【解题思路】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式，结合基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为， 所以，矩形广告的总面积为 ， 当且仅当时，即当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）求下列函数的定义域 （1）已知函数的定义域为，求的定义域. （2）已知函数的定义域，求的定义域. 答案（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）由题意可得出，由此可解得函数的定义域. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 则函数满足，解得，即， 即函数的定义域为； （2）函数的定义域，对于函数，有，解得且. 由此，函数的定义域为. 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 16．（15分）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的函数解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 答案．(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质可求的函数解析式； （2）根据函数解析式的性质可得，再结合函数的单调性可得在上恒成立，故可求实数的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以当时，，， 又，所以的函数解析式为． （2）当时，，在上是增函数， 因为是定义在上的奇函数且在图象不间断， 故在上是增函数. 而，故， 故即为 ， 故在上恒成立即在上恒成立， 由于函数在上单调递增， 所以，即，即 . 17.（15分）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2)函数是偶函数，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 18．（17分）已知函数为一次函数，且对均满足. (1)求函数的解析式； (2)已知，，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）设，根据题意列式求即可； （2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设，则， 可得，解得，， 所以. （2）因为，所以，即； 法一：所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为9； 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为9. 19．（17分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; (2)当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①函数在区间上单调递增，证明见解析；②[0，1]. 【解题思路】（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心； （2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； ②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【解答过程】（1）根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的； 所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是. （2）当时，. ①函数在区间上单调递增； 证明如下:，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 2．某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 5．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．给出下列四个命题是真命题的是：（    ） A．函数与函数表示同一个函数； B．函数与直线（常数）有且仅有一个交点； C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到； D．若函数的定义域为，则函数的定义域为． 11．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数在区间的最大值为 . 13．设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 14．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）求下列函数的定义域 （1）已知函数的定义域为，求的定义域. （2）已知函数的定义域，求的定义域. 16．（15分）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的函数解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17.（15分）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 18．（17分）已知函数为一次函数，且对均满足. (1)求函数的解析式； (2)已知，，且，求的最小值. 19．（17分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; (2)当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 2．某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 5．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．给出下列四个命题是真命题的是：（    ） A．函数与函数表示同一个函数； B．函数与直线（常数）有且仅有一个交点； C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到； D．若函数的定义域为，则函数的定义域为． 11．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数在区间的最大值为 . 13．设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 14．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）求下列函数的定义域（1）已知函数的定义域为，求的定义域.（2）已知函数的定义域，求的定义域. 16．（15分）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的函数解析式；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17.（15分）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时.(1)求及的值；(2)判断的奇偶性并证明；(3)解不等式：. 18．（17分）已知函数为一次函数，且对均满足. (1)求函数的解析式；(2)已知，，且，求的最小值. 19．（17分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）;(2)当时，①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $