专题 2.1 图形的轴对称（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“图形的轴对称”核心知识点，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的概念辨析，轴对称的基本性质（全等、对称轴垂直平分对称点连线），以及规范作图方法（找点—作点—连线），构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料亮点在于通过基础夯实与综合提升分层题型设计，如折叠角度计算、将军饮马最短路径模型，培养学生几何直观与空间观念。同步检测融入跨学科实例（物理反射问题），助力学生用数学语言表达现实世界，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺强化应用。

专题 2.1 图形的轴对称（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】轴对称图形 2 【知识点二】两个图形成轴对称 2 【知识点三】轴对称的基本性质 2 【知识点四】轴对称图形的作图方法 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】轴对称图形的识别与对称轴计数 3 【题型 2】轴对称性质的基础计算 5 【题型 3】 轴对称图形规范作图 7 四.题型精析（综合提升） 10 【题型 4】折叠类角度与线段计算 10 【题型 5】轴对称最短路径问题（将军饮马模型） 13 【题型 6】轴对称面积综合计算 16 五.同步检测 21 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 30 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，能准确辨析二者区别与联系。 2. 熟记轴对称核心性质，掌握轴对称图形的规范作图方法。 3. 能运用轴对称性质解决折叠计算、最短路径、面积求解等基础几何问题。 （二）重难点 1. 轴对称相关概念识别、轴对称核心性质应用。 2. 平面轴对称图形的标准作图。 3. 区分轴对称图形与两个图形成轴对称。 4. 轴对称性质在折叠问题、将军饮马模型中的综合运用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】轴对称图形 定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴。 【要点提示】 1. 轴对称图形是单个图形自身的对称属性。 2. 对称轴是直线，非线段、射线，作图需画直线。 3. 对称轴数量不唯一：等腰三角形1条、正方形4条、圆无数条。 4. 常见图形：线段、角、等腰三角形、矩形、圆、正多边形等。 【知识点二】两个图形成轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后能够重合的对应点，叫做关于这条直线的对称点。 【要点提示】 1. 两个图形成轴对称描述的是两个独立图形之间的位置关系。 2. 若将成轴对称的两个图形视为一个整体，这个整体就是一个轴对称图形。 3. 两个图形关于某直线对称，与图形的位置、方向无关，只满足折叠重合即可。 【知识点三】轴对称的基本性质 1. 成轴对称的两个图形一定全等，对应边、对应角相等。 2. 对称轴垂直平分任意一组对称点的连线。 3. 对称点到对称轴的距离相等。 【要点提示】 1. 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等。 2. 几何折叠本质是轴对称变换，折叠前后边角对应相等。 3. 可利用垂直平分性质反向求解图形对称轴。 【知识点四】轴对称图形的作图方法 通用步骤（找点—作点—连线） 1. 定点：找出图形顶点、端点等关键顶点； 2. 作对称点：过关键点作对称轴垂线，截取等长线段得对称点； 3. 连线：按原图顺序连接对称点，得到轴对称图形。 【要点提示】 1. 作图必须保留垂线、等长辅助痕迹，规范答题； 2. 对称轴上的点，对称点为自身，无需重复绘制。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】轴对称图形的识别与对称轴计数 解题技巧：判断核心为“沿直线对折后两侧完全重合”，切忌凭视觉对称主观判断。 【例题1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 【答案】见分析 【分析】本题考查轴对称的定义，沿对称轴折叠后能重合的两个图形是轴对称图形，熟练掌握相关知识是解题关键，根据轴对称的定义，找出对称轴即可判断 解：如图的5个图形都是轴对称图形， 图中所示为对称轴， 【变式1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 【变式2】（24-25六年级上·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线． 【答案】 无数 直径 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义即可得． 解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线． 故答案为：无数；直径． 【变式3】（【浙教版课时练习】八年级上册2.1图形的轴对称）线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 【答案】线段、角是轴对称图形；线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线；角的对称轴为角平分线所在的直线． 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 解：线段、角是轴对称图形； 线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线； 角的对称轴为角平分线所在的直线． 【点拨】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 【题型 2】轴对称性质的基础计算 【例题2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． （1）点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； （2）若，则 ； （3）写出两组相等的线段． 【答案】（1），；（2）；（3），（答案不唯一） （1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 解：∵点关于的对称点是点关于的对称点是， ∴，． ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【答案】 解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，直线，相交于点O，点P关于直线，的对称点分别为，． （1）若直线，相交所成的锐角，则的度数为________． （2）若，，则的周长为________． 【答案】 15 【分析】（1）由于关于的对称点分别为，可得出，再根据即可求解； （2）根据对称的性质可知，，再根据即可求出的周长． 解：（1）关于的对称点分别为， ， ； 故答案为：． （2）关于的对称点分别为， ∴， ∵， ∴的周长为 ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 【题型 3】轴对称图形规范作图 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知和直线，作出以直线为对称轴的图形． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查图形的轴对称变换，得到关键点的位置是解决本题的关键．首先找出三个顶点关于直线对称的点； 然后顺次连接三个对称点，就能得到关于直线对称的图形． 解：如图所示： 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是四名同学作关于直线成轴对称的，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称作图，正确掌握轴对称的性质及作图的方法是解题的关键．根据轴对称的定义逐一判断即可． 解：A、中点与中点都不关于直线对称，则与不关于直线对称，故选项A错误； B、中点与中点都关于直线对称，则与关于直线对称，故选项B正确； C、中点与中点都不关于直线对称，则与不关于直线对称，故选项C错误； D、中点与中点都不关于直线对称，则与不关于直线对称，故选项D错误； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 解：根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； （2）在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 【答案】（1）如图1所示，即为所求， （2）如图2所示，作点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点D即为所求． 【分析】本题考查了画轴对称图形，以及轴对称图形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）先找到点B关于y轴的对称点，再连接，则与y轴的交点即为所求． 解：（1）略 （2）略 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】折叠类角度与线段计算 【例题4】（25-26七年级下·河南周口·期末）综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． （1）如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； （2）如图2，若交边于点G，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，得到，进行求解即可； （2）同（1）法求出的度数，再根据互余关系，求出的度数，进而求出的度数即可. （1）解：由题意，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）法可得， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式1】（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，点，分别落在点，处．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠前后对应角相等得到，算出两角相加的度数，再根据、、共线，构成平角，用减去即可求出． 解：由折叠性质得， ， 又、、共线，平角为， ． 【变式2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）如图，长方形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论． 解：，， ， 由折叠的性质得出， ． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． （1）解：， ，， ； （2）解：由折叠可知．   ∵， ∴．   ∴．   由折叠可知． 【题型 5】轴对称最短路径问题（将军饮马模型） 【例题5】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． （1）如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． （2）如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）点的位置即为所求： （2）点的位置即为所求： 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． （1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 【题型 6】轴对称面积综合计算 【例题6】（23-24七年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． （1）在图中画出； （2）若的面积为，则的面积是______． 【答案】（1）即为所求． （2） 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 解：（1）略 （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】连接交于点M，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 解：连接交于点M， ∵点，关于对称， ∴，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则___． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识；由折叠可得，且的面积为，利用面积关系即可求得结果． 解：∵， ∴； 由折叠知，，， ∴， ∴； ∵四边形的面积是6， ∴ ∴； ∵， ∴； 故答案为：4． 【变式3】（25-26七年级上·上海·单元复习）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． （1）观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． （2）如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 【答案】（1）；（2）梯形的面积 【分析】本题主要考查整式的运算与图形的面积： （1）用二种方式表示出图形面积即可得出结论； （2）由折叠的性质求出的长，从而得出的长，再根据梯形面积公式求解即可； （1）解：根据题意得，， （2）解：由折叠得，， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·山西太原·期末）刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 解：A.原图是轴对称图形，符合要求； B.原图不是轴对称图形，不符合要求； C.原图不是轴对称图形，不符合要求； D.原图不是轴对称图形，不符合要求． 2．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后，折痕两侧能够完全重合的直线．画出各图形的对称轴即可求解． 解： 解：A．对称轴有1条； B．对称轴有4条； C．对称轴有2条； D．对称轴有5条； 综上可知，对称轴最多的图形是， 故选D． 4．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·广西钦州·期末）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，求出，再根据平角的定义和折痕是角平分线进行求解即可． 解：如图， ∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 7．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图，与关于直线l对称，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称图形的性质及三角形内角和定理即可求解． 解：∵与关于直线l对称，且， ∴， ∴． 8．（21-22七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 解：， ， 是的垂直平分线， ， ， 同理可得：， ， ， ． 11．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【答案】 解：如图，该轴对称图形共有条对称轴． 12．（25-26七年级下·河南开封·期末）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质， 根据平分，得出关于的对称点在角平分线上，作点关于的对称点，根据点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，即最小，进而根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：如图，作点关于的对称点，    ∴， ∴， 当三点共线，且时，最短，即最小， ∵，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 15．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点，分别在长方形的边，上，，把长方形纸片沿折叠，，两点的对应点分别是，，若，则__________． 【答案】72 【分析】由平行线的性质可知，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（22-23七年级上·全国·期末）（1）已知点在线段所在直线上，下列关系式：①，②，③，④．其中不能确定是中点的有______．（只填序号） （2）如图，在三角形中，，点为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则______． 【答案】 ②③④ 或 【分析】（1）根据中点的定义判断即可； （2）根据，分在下方和在上方两种情况求解． （1）解：①，点在线段所在直线上，点是线段的中点，故①不符合题意； ②当点在点、之间时，，点是的中点，故点不一定是线段的中点，故②符合题意； ③当点在点、之间时，，点是的中点，故点不一定是线段的中点，故③符合题意； ④当点在点、之间时，，点是的中点，故点不一定是线段的中点，故④符合题意； 综上所述，不能确定是中点的有②③④； （2）解：如下图所示，当在下方时， ，， ， 由折叠可知， ； 如下图所示，当在上方时， ， ， 由折叠可知， ； 综上所述，或． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． （1）作关于直线l对称的图形； （2）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求： （2） 【分析】（1）根据轴对称性质得到对应点，然后顺次连接可得图形； （2）根据网格特点，利用割补法求解的面积即可． 解：（1）略 （2）解：的面积为． 18．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得到、，进而求出的周长为长． 解：点，分别是点关于，的对称点， 、， ， 的周长为． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，，则的周长为__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由折叠的性质得，将的周长转化为即可求解． （1）解：， 由折叠的性质得：， ∴． （2）解：由折叠的性质得：， 的周长． 20．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 （1）如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 （2）如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 （3）如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】（1）④；（2）11；（3）①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 图形的轴对称（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】轴对称图形 2 【知识点二】两个图形成轴对称 2 【知识点三】轴对称的基本性质 2 【知识点四】轴对称图形的作图方法 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】轴对称图形的识别与对称轴计数 3 【题型 2】轴对称性质的基础计算 4 【题型 3】 轴对称图形规范作图 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 4】折叠类角度与线段计算 6 【题型 5】轴对称最短路径问题（将军饮马模型） 7 【题型 6】轴对称面积综合计算 8 五.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，能准确辨析二者区别与联系。 2. 熟记轴对称核心性质，掌握轴对称图形的规范作图方法。 3. 能运用轴对称性质解决折叠计算、最短路径、面积求解等基础几何问题。 （二）重难点 1. 轴对称相关概念识别、轴对称核心性质应用。 2. 平面轴对称图形的标准作图。 3. 区分轴对称图形与两个图形成轴对称。 4. 轴对称性质在折叠问题、将军饮马模型中的综合运用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】轴对称图形 定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴。 【要点提示】 1. 轴对称图形是单个图形自身的对称属性。 2. 对称轴是直线，非线段、射线，作图需画直线。 3. 对称轴数量不唯一：等腰三角形1条、正方形4条、圆无数条。 4. 常见图形：线段、角、等腰三角形、矩形、圆、正多边形等。 【知识点二】两个图形成轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后能够重合的对应点，叫做关于这条直线的对称点。 【要点提示】 1. 两个图形成轴对称描述的是两个独立图形之间的位置关系。 2. 若将成轴对称的两个图形视为一个整体，这个整体就是一个轴对称图形。 3. 两个图形关于某直线对称，与图形的位置、方向无关，只满足折叠重合即可。 【知识点三】轴对称的基本性质 1. 成轴对称的两个图形一定全等，对应边、对应角相等。 2. 对称轴垂直平分任意一组对称点的连线。 3. 对称点到对称轴的距离相等。 【要点提示】 1. 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等。 2. 几何折叠本质是轴对称变换，折叠前后边角对应相等。 3. 可利用垂直平分性质反向求解图形对称轴。 【知识点四】轴对称图形的作图方法 通用步骤（找点—作点—连线） 1. 定点：找出图形顶点、端点等关键顶点； 2. 作对称点：过关键点作对称轴垂线，截取等长线段得对称点； 3. 连线：按原图顺序连接对称点，得到轴对称图形。 【要点提示】 1. 作图必须保留垂线、等长辅助痕迹，规范答题； 2. 对称轴上的点，对称点为自身，无需重复绘制。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】轴对称图形的识别与对称轴计数 解题技巧：判断核心为“沿直线对折后两侧完全重合”，切忌凭视觉对称主观判断。 【例题1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 【变式1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线． 【变式3】（【浙教版课时练习】八年级上册2.1图形的轴对称）线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 【题型 2】轴对称性质的基础计算 【例题2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． （1）点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； （2）若，则 ； （3）写出两组相等的线段． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，直线，相交于点O，点P关于直线，的对称点分别为，． （1）若直线，相交所成的锐角，则的度数为________． （2）若，，则的周长为________． 【题型 3】轴对称图形规范作图 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知和直线，作出以直线为对称轴的图形． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是四名同学作关于直线成轴对称的，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； （2）在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】折叠类角度与线段计算 【例题4】（25-26七年级下·河南周口·期末）综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． （1）如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； （2）如图2，若交边于点G，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，点，分别落在点，处．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）如图，长方形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则________． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 【题型 5】轴对称最短路径问题（将军饮马模型） 【例题5】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． （1）如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． （2）如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【题型 6】轴对称面积综合计算 【例题6】（23-24七年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． （1）在图中画出； （2）若的面积为，则的面积是______． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则___． 【变式3】（25-26七年级上·上海·单元复习）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． （1）观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． （2）如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·山西太原·期末）刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 5．（25-26七年级下·广西钦州·期末）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图，与关于直线l对称，且，，则（     ） A． B． C． D． 8．（21-22七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G，若，则的度数为________． 11．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 12．（25-26七年级下·河南开封·期末）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为_________．    14．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 15．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点，分别在长方形的边，上，，把长方形纸片沿折叠，，两点的对应点分别是，，若，则__________． 16．（22-23七年级上·全国·期末）（1）已知点在线段所在直线上，下列关系式：①，②，③，④．其中不能确定是中点的有______．（只填序号） （2）如图，在三角形中，，点为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． （1）作关于直线l对称的图形； （2）求的面积． 18．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，，则的周长为__________． 20．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 （1）如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 （2）如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 （3）如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $