专题 2.3 等腰三角形的性质定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦等腰三角形性质定理核心知识点，系统梳理“等边对等角”“三线合一”性质、等边三角形内角性质及相等线段性质，构建从知识解读到基础题型（角度计算、线段证明）再到综合提升（外角结合、方程思想）的学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，基础夯实与综合提升模块搭配例题及变式题，培养学生推理意识与创新思维，同步检测覆盖选择、填空、解答题，助力课中教学效率提升，课后学生可通过练习查漏补缺，强化数学语言表达与问题解决能力。

专题 2.3 等腰三角形的性质定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形性质定理（等边对等角） 2 【知识点二】等腰三角形的性质定理（三线合一) 2 【知识点三】等边三角形的内角性质 3 【知识点四】等腰三角形的相等线段性质 3 三.题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】等腰三角形角度基础计算与证明（等边对等角） 4 【题型 2】等腰三角形角度与线段计算（三线合一） 6 【题型 3】等腰三角形线段相等证明（三线合一） 9 【题型 4】等边三角形求值证明综合 12 四.题型精析（综合提升） 15 【题型 5】外角结合等腰三角形角度计算 15 【题型 6】等腰三角形多结论综合证明（三线合一与等边对等角综合） 19 【题型 7】方程与不等式求解等腰三角形角度 25 五.同步检测 32 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 32 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 37 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 42 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握等腰三角形“等边对等角”性质定理，理解并规范完成定理证明过程。 2. 掌握等边三角形内角性质，熟练运用“三角均为60°”的结论解题。 3. 熟练运用等腰三角形性质进行角度计算、线段相等证明，掌握分类讨论解题思想。 4. 初步感知等腰三角形三线合一特征，能解决基础综合几何题型。 （二）重难点 重点：等腰三角形“等边对等角”性质定理的理解与应用；等边三角形内角性质运用。 难点：等腰三角形角度计算的分类讨论；结合全等三角形完成性质证明与综合推理。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形性质定理（等边对等角） 定理内容：在同一个三角形中，相等的两条边所对的角相等。简称：等边对等角。 图示 几何语言 证明思路 在△ABC中， ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 过点A作ADBC，通过证明即可. 【要点提示】 1. “等边对等角”仅适用于同一个三角形内部边角关系； 2. 定理证明常用辅助线：顶角平分线、底边中线、底边上的高； 3. 该定理是等腰三角形角度计算、角相等证明的核心依据。 【知识点二】等腰三角形的性质定理（三线合一) 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）. 图示 几何语言 在等腰△ABC中，AB=AC， ∵ADBC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD； ∵∠BAD=∠CAD，∴ADBC，BD=CD； ∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC。 【要点提示】 1.一推二核心考点：三个条件（垂直、平分顶角、平分底边）只要满足其一，即可推出另外两个，是几何说理高频依据。 2.辅助线万能思路：解等腰三角形题型，优先作 “顶角平分线、底边中线、底边高线” 任意一条，即可一次性得到垂直、平分、等角多个条件。 3.三线合一是性质不是判定：只能在已知等腰三角形时使用，不能用来证明三角形是等腰三角形。 4.等边三角形自带三线合一：每条边上的高、中线、对角平分线均重合，三条对称轴都满足三线合一。 【知识点三】等边三角形的内角性质 推论定理：等边三角形的三个内角都相等，且每一个内角都等于60°。 【要点提示】 1. 只要是等边三角形，内角固定为60°，无需额外条件； 2. 该结论常用于几何角度快速计算、三角形形状判定。 【知识点四】等腰三角形的相等线段性质 核心结论：等腰三角形中，两底角平分线相等、两腰上的中线相等、两腰上的高线相等。 【要点提示】 1. 所有相等线段的证明，核心思路均为：等边对等角+全等三角形判定； 2. 可直接作为填空、选择题结论使用，解答题需规范证明。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】等腰三角形角度基础计算与证明（等边对等角） 【例题1】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作出的平分线，然后利用三线合一即可得到． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，即为所求作． ∵ ∴ ∵是的平分线 ∴． 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 解：∵， ∴． 【变式2】（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 【答案】55 【分析】由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，，再由三角形内角和定理即可求解． 解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，平分． （1）的度数为________； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质，，，可得，由此即可求解； （2）根据等腰三角形的“三线合一”可得，由（1）知，则，根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解． （1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵是等边三角形，平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 【题型 2】等腰三角形角度与线段计算（三线合一） 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一性质，可求得． 解：， ． ，点为边的中点， 平分， ． 【变式1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，AD平分，点E在边AB上，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，能熟记等边对等角是解此题的关键． 方法一：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，同理求出，求出，再求出答案即可；方法二：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，同理求出，求出，再求出答案即可． 解：，， ． ， ． ，AD平分， ， ， ． 一题多解法： ，， ． ， ． 平分， ， ． 【题型 3】等腰三角形线段相等证明（三线合一） 【例题3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 解：证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图， 在中，，E 是中点，平分交于点 G，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的中线 D．是的高 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形的中线的性质和定义和三角形的高的定义，由于，则，则，据此可判断A、B；根据三角形的中线的定义可判断C；根据三角形的高的定义可判断D． 解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点 G， ∴，故A说法错误，不符合题意 ∴，故B说法错误，不符合题意； ∵E 是中点， ∴是的中线，故C说法正确，符合题意； ∵与不垂直， ∴不是的高，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________． 【答案】（或垂直） 【分析】根据等腰三角形三线合一即可求解． 解：∵，平分， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用证明，从而证得； （2）根据等腰三角形三线合一得到，结合可得，即可求解． 解：（1）略 （2）略 【题型 4】等边三角形求值证明综合 【例题4】（24-25八年级上·新疆克拉玛依·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且． （1）求证： （2）若相交于点O，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等边三角形的性质证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）利用全等三角形的性质得出，然后利用三角形的外角性质定理求解即可． 解：（1）证明：为等边三角形， ， 在和中 ； （2）解：由（1）得， ∴， ． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出的度数，再利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出的度数． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． （1）求证：， （2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，即可得出，由即可得出． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】外角结合等腰三角形角度计算 【例题5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解答： （1）在等腰中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，求等腰三角形的底边长． （2）已知在等腰中，的外角为，求的顶角度数． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由题意可知等腰三角形的周长是，设等腰三角形的腰长、底边长分别为、，由题意可得或，解方程组即可求得等腰三角形的底边长； （2）由邻补角互补可得，然后分两种情况讨论：是顶角时，是底角时，分别求解即可． （1）解：一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分， 等腰三角形的周长是：， 设等腰三角形的腰长、底边长分别为、， 由题意可得： 或， 解得：或（不合题意，故舍去）， 等腰三角形的底边长为； （2）解：的外角为， ， 分两种情况讨论： 是顶角时， 此时，的顶角度数是； 是底角时， 此时，的顶角度数是： ； 综上，的顶角度数是或． 【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，构成三角形的条件，利用邻补角求角度，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（   ） A．减少 B．减小 C．增大 D．增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两内角之和是解题的关键． 由，，可得，从而，即可得的变化情况． 解：∵，， ∴， ∴， ∴当减少时，增大． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 【答案】 或 【分析】需要先根据邻补角性质求出对应内角，再结合等腰三角形性质分类讨论求解． 解：在中，， ， 与相邻的外角为， ， ， ； 等腰三角形一个外角等于，分两种情况讨论： ①若该外角为顶角的邻补角，则顶角为， ②若该外角为底角的邻补角，则底角为，顶角为， 故答案为；或． 【变式3】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，BD和AD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠CAG，BD交AC于F． （1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠ABC的大小． 【答案】（1）△ABD为等腰三角形，证明见分析；（2）∠ABC＝72°． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及等腰三角形的性质得到AD∥BC，再由BD平分∠ABC，可证明AB=AD，即可得到△ABD为等腰三角形； （2）根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质列式计算即可求解． 解：（1）△ABD为等腰三角形，证明如下： ∵AD平分∠CAG， ∴∠GAD=∠CAD=∠CAG， ∵AB=AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠GAC=∠ABC+∠ACB， ∴∠GAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∴△ABD为等腰三角形； （2）∵AE=BE， ∴∠BAE=∠ABE=∠ABC， 又∵∠BAE+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=180°， ∴∠ABC=72°． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【题型 6】等腰三角形多结论综合证明（三线合一与等边对等角综合） 【例题6】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）【思路梳理】 （1）等腰和等腰的位置如图1所示，分别连接、并延长交于点，，，． ①若，求的长； ②求的度数． 【问题解决】 （2）某种植基地内有一个形状为等腰的种植田（周围空地可利用），，米，现计划对该种植田进行扩建，在右侧找一点，连接、、，沿、、设置隔离栏（宽度忽略不计），在区域内种植土豆，，过点作于点，在上取一点，使得，连接，已知米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即的周长）． 【答案】（1）①；②；（2）米 【分析】（1）①由得到，证明，即可得到； ②由等边对等角得到，由全等三角形的性质得到，从而根据三角形外角的性质与角的和差求出即可； （2）由垂直平分线的性质得到，因此，由，得到，从而根据三角形的内角和定理得到，即可证明，因此，从而可推出，进而可解答． （1）解：①因为， 所以， 所以， ∵在和中， ， 所以， 所以． ②因为，， 所以， 因为， 所以， 因为 ， ． （2）解：因为，， 所以是线段的垂直平分线， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 因为在和中， ∴， 所以， 因为米，， 所以米， 所以隔离栏的总长度为（米）． 【变式1】（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）如图，点在的边上，点是点关于的对称点，交于点．（点在右侧），且，交于点．若，用含有的式子表示的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出，，根据，可得，，根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 解：∵点是点关于的对称点， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】先得出，，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 解：∵在两个全等的等腰三角形和中，， ∴，， ①如图1，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）数学学习中，经常会将新问题转化为已经研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种重要的策略． （1）如图1所示，若，，根据三角形三边性质，可以得到的取值范围是______； （2）如图2，是的中线，你能求出的取值范围吗？请说明理由； （3）如图3，在中，是的中线，点是延长线上一点，，交延长线于点，如果恰好平分，那么是否与平行？请说明理由． 【答案】（1）；（2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点，使得，连接，先得出，则可得，再在中，根据三角形的三边关系即可得； （3）延长至点，使得，连接，先得出，则可得，，进而可得，再得出，然后根据平行线的判定即可得． （1）解：∵在中，，， ∴，即． （2）解：略． （3）解：略． 【题型 7】方程与不等式求解等腰三角形角度 【例题7】（24-25八年级上·江西赣州·期中）课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 【答案】教材展示：；教材例题变式：38；边角规律再探：（1）；（2） 【分析】教材例题展示：结合条件以及部分解答内容，根据等边对等角，得，设，则，从而．结合三角形内角和即可列式作答； 教材例题变式：根据等边对等角以及三角形内角和,得 ，结合三角形外角性质，； 边角规律再探：（1）由题意得，，因为为直角三角形，所以，结合，因为，且结合等边对等角以及三角形的外角性质，得，,，，，则，即可作答； （2）依题意，是存在的，是不存在的，要求在中，根据内角和为进行列式，即，故，同理，，即． 解：教材例题展示：∵，， ∴，（等边对等角）． 设， ， ， 在中，． 解得． ∴在中，，； 数材例题变式：∵，若， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 边角规律再探：（1）由题意得，， ∵为直角三角形， ∴， ∵，且， ∴， ， ， 以此类推得：， ， ∴， 解得：； （2）∵此规律恰好最多可以进行到字母I， ∴是存在的，不存在， 根据（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据内角和为进行列式， 即， 解得：， ∵是不存在的， ∴， 解得：， ∴． 【点拨】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，等边对等角等内容，解题的关键是灵活运用三角形外角性质是解题的关键，三角形外角性质包括：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和． 【变式1】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．4根 B．5根 C．6根 D．7根 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确理解题意是解题关键．根据题意发现一般规律，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为，再由等腰三角形的底角小于，得出，即可得到答案． 解：添加一根钢管时，，即， 添加两根钢管时，； ，即， 添加三根钢管时，； ，即， ； …… 观察发现，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为， 等腰三角形的底角小于， ， ， 即最多能添加这样的钢管的根数为5根， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】或或 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 解：①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）【概念理解】 我们定义：在一个三角形中，如果其中一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”． 如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 在中，，问：是不是“完美三角形”？请说明理由． 【变式训练】 如图1所示，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）． （1）________，_______（选填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）如果，那么________（选填“是”或“不是”）“完美三角形”． 【应用拓展】 如图2所示，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，若，是“完美三角形”，求的度数． 【答案】简单应用：是“完美三角形”，理由见分析；变式训练：（1）；是；（2）不是；应用拓展：或 【分析】简单应用：根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据“完美三角形”的概念判断即可； 变式训练： （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，再根据“和谐三角形”的概念证明即可； 拓展应用：根据平角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 解：简单应用：是“完美三角形”，理由如下： ∵在中，， ∴， ∴， ∴是“完美三角形”； 变式训练：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）∵，，， ∴，， ∴不是“完美三角形”； 应用拓展：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“完美三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或． 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：若的角为底角，则两底角和为，不符合三角形内角和； ∴ 的角为这个等腰三角形的顶角， ∴这个等腰三角形的底角度数为． 2．（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关键根据等边三角形的性质解答． 根据等边三角形的性质解答． 解：∵纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接，则的度数是（     ） A．58° B．60° C．62° D．56° 【答案】C 【分析】由三角形内角和得到的度数，再根据和三角形内角和得到的度数． 解：由题意知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理及对顶角相等作答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，结合折叠的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 解：三角形是等边三角形， 、， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， ， ， 解得：． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______． 【答案】或 【分析】解题时需分已知内角为顶角和底角两种情况讨论，再根据三角形内角和计算底角，验证是否成立即可． 解：根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理，分两种情况讨论： ①若为顶角， 则底角为； ②若为底角， 则底角为，此时顶角为，符合三角形内角和定理. ∴底角为或． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知在中，，，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】根据两条边相等，可知为等腰三角形，已知的度数，可得到的度数，再利用三角形内角和计算的度数即可． 解： 在中，， ， ． 13．（25-26七年级下·上海金山·期末）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． 14．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 解：∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴ 15．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的度数为____． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，由尺规作图可知，垂直平分，则，从而得到，因此． 解：∵，， ∴， 由尺规作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，先证出，则，再求出的长，利用三角形的面积公式求解即可． 解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 18．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在与中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，利用证明，得出，再利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解． 解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而得到，根据即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，进而根据三线合一得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明． 解：（1）略； （2）略． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用三角形内角和定理求出角的度数证明． 解：是等边三角形，平分，， ，，， ． 又， ， ， ． 【点拨】重点掌握三线合一． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，过点作，交于点． （1）若，，求度数； （2）若点是的中点，连接，请说明． 【答案】（1）；（2）证明：∵，点是的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【分析】（1）由题意可得，求得，根据平角的定义求出，根据三角形内角和可求出，最后根据邻补角可求出的度数； （2）根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的内角和得到，由平角的定义得到，等量代换即可得证． （1）解：由题意可得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）略 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中，，过B作 交于点 D．过点D作于点E，交于点F． （1）求证：； （2）过点A作于点G，若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，即可证明； （2）证明，即可得出结论． 解：（1）略 （2）略 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点． （1）如图1，当点，分别在边和上时，求证：； （2）如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ，，点为的中点， ，，， ， ， ， ； （2） 【分析】（1）连接，可证，根据全等三角形的性质证明结论成立； （2）连接，可证，根据全等三角形的性质可知，根据三角形的面积公式求出结果即可． 解：（1）略 （2）解：如下图所示，连接， ，，点为的中点， ，，， ，， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 等腰三角形的性质定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形性质定理（等边对等角） 2 【知识点二】等腰三角形的性质定理（三线合一) 2 【知识点三】等边三角形的内角性质 3 【知识点四】等腰三角形的相等线段性质 3 三.题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】等腰三角形角度基础计算与证明（等边对等角） 4 【题型 2】等腰三角形角度与线段计算（三线合一） 5 【题型 3】等腰三角形线段相等证明（三线合一） 6 【题型 4】等边三角形求值证明综合 7 四.题型精析（综合提升） 8 【题型 5】外角结合等腰三角形角度计算 8 【题型 6】等腰三角形多结论综合证明（三线合一与等边对等角综合） 9 【题型 7】方程与不等式求解等腰三角形角度 10 五.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握等腰三角形“等边对等角”性质定理，理解并规范完成定理证明过程。 2. 掌握等边三角形内角性质，熟练运用“三角均为60°”的结论解题。 3. 熟练运用等腰三角形性质进行角度计算、线段相等证明，掌握分类讨论解题思想。 4. 初步感知等腰三角形三线合一特征，能解决基础综合几何题型。 （二）重难点 重点：等腰三角形“等边对等角”性质定理的理解与应用；等边三角形内角性质运用。 难点：等腰三角形角度计算的分类讨论；结合全等三角形完成性质证明与综合推理。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形性质定理（等边对等角） 定理内容：在同一个三角形中，相等的两条边所对的角相等。简称：等边对等角。 图示 几何语言 证明思路 在△ABC中， ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 过点A作ADBC，通过证明即可. 【要点提示】 1. “等边对等角”仅适用于同一个三角形内部边角关系； 2. 定理证明常用辅助线：顶角平分线、底边中线、底边上的高； 3. 该定理是等腰三角形角度计算、角相等证明的核心依据。 【知识点二】等腰三角形的性质定理（三线合一) 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）. 图示 几何语言 在等腰△ABC中，AB=AC， ∵ADBC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD； ∵∠BAD=∠CAD，∴ADBC，BD=CD； ∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC。 【要点提示】 1.一推二核心考点：三个条件（垂直、平分顶角、平分底边）只要满足其一，即可推出另外两个，是几何说理高频依据。 2.辅助线万能思路：解等腰三角形题型，优先作 “顶角平分线、底边中线、底边高线” 任意一条，即可一次性得到垂直、平分、等角多个条件。 3.三线合一是性质不是判定：只能在已知等腰三角形时使用，不能用来证明三角形是等腰三角形。 4.等边三角形自带三线合一：每条边上的高、中线、对角平分线均重合，三条对称轴都满足三线合一。 【知识点三】等边三角形的内角性质 推论定理：等边三角形的三个内角都相等，且每一个内角都等于60°。 【要点提示】 1. 只要是等边三角形，内角固定为60°，无需额外条件； 2. 该结论常用于几何角度快速计算、三角形形状判定。 【知识点四】等腰三角形的相等线段性质 核心结论：等腰三角形中，两底角平分线相等、两腰上的中线相等、两腰上的高线相等。 【要点提示】 1. 所有相等线段的证明，核心思路均为：等边对等角+全等三角形判定； 2. 可直接作为填空、选择题结论使用，解答题需规范证明。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】等腰三角形角度基础计算与证明（等边对等角） 【例题1】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，平分． （1）的度数为________； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【题型 2】等腰三角形角度与线段计算（三线合一） 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，AD平分，点E在边AB上，且．若，求的度数． 【题型 3】等腰三角形线段相等证明（三线合一） 【例题3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图， 在中，，E 是中点，平分交于点 G，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是的中线 D．是的高 【变式2】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，若平分，且，则与的位置关系是________． 【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【题型 4】等边三角形求值证明综合 【例题4】（24-25八年级上·新疆克拉玛依·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且． （1）求证： （2）若相交于点O，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【变式3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． （1）求证：， （2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】外角结合等腰三角形角度计算 【例题5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解答： （1）在等腰中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，求等腰三角形的底边长． （2）已知在等腰中，的外角为，求的顶角度数． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（   ） A．减少 B．减小 C．增大 D．增大 【变式2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 【变式3】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，BD和AD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠CAG，BD交AC于F． （1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠ABC的大小． 【题型 6】等腰三角形多结论综合证明（三线合一与等边对等角综合） 【例题6】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）【思路梳理】 （1）等腰和等腰的位置如图1所示，分别连接、并延长交于点，，，． ①若，求的长； ②求的度数． 【问题解决】 （2）某种植基地内有一个形状为等腰的种植田（周围空地可利用），，米，现计划对该种植田进行扩建，在右侧找一点，连接、、，沿、、设置隔离栏（宽度忽略不计），在区域内种植土豆，，过点作于点，在上取一点，使得，连接，已知米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即的周长）． 【变式1】（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）如图，点在的边上，点是点关于的对称点，交于点．（点在右侧），且，交于点．若，用含有的式子表示的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）数学学习中，经常会将新问题转化为已经研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种重要的策略． （1）如图1所示，若，，根据三角形三边性质，可以得到的取值范围是______； （2）如图2，是的中线，你能求出的取值范围吗？请说明理由； （3）如图3，在中，是的中线，点是延长线上一点，，交延长线于点，如果恰好平分，那么是否与平行？请说明理由． 【题型 7】方程与不等式求解等腰三角形角度 【例题7】（24-25八年级上·江西赣州·期中）课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 【变式1】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．4根 B．5根 C．6根 D．7根 【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）【概念理解】 我们定义：在一个三角形中，如果其中一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”． 如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 在中，，问：是不是“完美三角形”？请说明理由． 【变式训练】 如图1所示，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）． （1）________，_______（选填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）如果，那么________（选填“是”或“不是”）“完美三角形”． 【应用拓展】 如图2所示，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，若，是“完美三角形”，求的度数． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 5．（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接，则的度数是（     ） A．58° B．60° C．62° D．56° 7．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知在中，，，则的度数为_____°． 13．（25-26七年级下·上海金山·期末）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 14．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 15．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的度数为____． 17．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 18．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在与中，，，，则的度数为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，过点作，交于点． （1）若，，求度数； （2）若点是的中点，连接，请说明． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中，，过B作 交于点 D．过点D作于点E，交于点F． （1）求证：； （2）过点A作于点G，若，求证：． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点． （1）如图1，当点，分别在边和上时，求证：； （2）如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积． 2 / 30 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