专题 1.10 三角形复习专题——三角形全等几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学三角形全等复习讲义通过表格系统梳理了8个核心几何模型，每个模型均呈现基本图形与解题思路，如平移模型的平行线性质应用、三垂直模型的余角性质转化等，清晰构建知识脉络与内在逻辑。 讲义亮点在于“模型-题型-检测”的递进设计，题型精析中每个模型配例题及变式题，如一线三等角模型通过角度关系推理证全等，培养推理意识与几何直观。同步检测分选择、填空、解答题，适配不同层次学生，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

专题 1.10 三角形复习专题——三角形全等几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 2 【模型一】平移模型 2 【模型二】公共边（角）模型 2 【模型三】四边形中构造全等三角形模型 2 【模型四】一线三角等模型 2 【模型五】三垂直模型 3 【模型六】旋转模型 3 【模型七】倍长中线模型 3 【模型八】截长补短模型（1）——截长法 4 【模型八】截长补短模型（2）——补短法 4 二.题型精析 4 【题型 1】 平移模型 4 【题型 2】 公共边（角）模型 5 【题型 3】 四边形构造全等模型 6 【题型 4】 一线三等角模型 7 【题型 5】 三垂直模型 9 【题型 6】 旋转模型 10 【题型 7】 倍长中线模型 12 【题型 8】 截长补短模型 14 三.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.模型梳理与解读 【模型一】平移模型 基本图形 解题思路 （1）由平行线的性质得到相度相等；（2）通过线段的加、减公共线段，得到线段相等。 【模型二】公共边（角）模型 基本图形 解题思路 （1）找公共边；（2）找公共角或对顶角。 【模型三】四边形中构造全等三角形模型 基本图形 解题思路 若四边形中有两对邻边相等（如图）,常连接这两对邻边的交点构造全等三角形解题. 【模型四】一线三角等模型 基本图形 解题思路 方法模型总结：如图，∠B=∠C=∠1，由三角形内角和及平角的有关性质易得∠2=∠3，∠4=∠5，再加上任一组对应边相等，易证两个三角形全等。 【模型五】三垂直模型 基本图形 解题思路 在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等易证两直角三角形全等,常见的模型如下 【模型六】旋转模型 基本图形 解题思路 （1）找对顶角；（2）通过角度加减，得等角。 【模型七】倍长中线模型 基本图形 解题思路 （1）倍长AD至点E，连接BE或CE；（2）证明三角形全等。 【模型八】截长补短模型（1）——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 【模型八】截长补短模型（2）——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 二.题型精析 【题型 1】 平移模型 【例题1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，． 试说明：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，三角形是由三角形通过平移得到的，且点，，，在同一直线上．若，，则点与点之间的距离是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【题型 2】 公共边（角）模型 【例题2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，，，和相交于点． 求证：． 【变式1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． （1）求证：； （2）不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【题型 3】 四边形构造全等模型 【例题3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，． （1）求证： （2）证明：． 【变式1】（专题12.1全等图形和全等三角形的性质（4个考点2个易错点）（题型专练 易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（人教版））如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中： ①，； ②，； ③，； ④，． 添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有（　　） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为______． 【变式3】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． （1）若，，求四边形AECF的面积； （2）猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【题型 4】 一线三等角模型 【例题4】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【变式3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【题型 5】 三垂直模型 【例题5】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 （2）请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【变式2】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 （1）如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； （2）在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【题型 6】 旋转模型 【例题6】（23-24八年级下·河南焦作·期中）综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是___________ 【变式3】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）（1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，当旋转至点在同一直线上时，连接． 填空：①的度数为______； ②线段之间的数量关系是______． （2）拓展研究： 如图②，和均为等腰三角形，且，点在同一直线上，若，求的长度及的度数． （3）探究发现： 图①中的和，在旋转过程中，当点不在同一直线上时，设直线与相交于点，试探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【题型 7】 倍长中线模型 【例题7】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 （3）如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【变式1】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【变式3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3）与面积之间的关系，并说明理由． 【题型 8】 截长补短模型 【例题8】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点D，若，求的度数． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川内江·开学考试）如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 7．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是经过点A的一条直线，且点B，C在的两侧，于点D，于点E，交于点F．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．8 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 12．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 13．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 14．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 15．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 16．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 17．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·四川自贡·三模）如图，已知点，，，在同一条直线上，，且，．求证：； 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． （1）【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·宁夏银川·期末）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 （2）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 （3）如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.10 三角形复习专题——三角形全等几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 2 【模型一】平移模型 2 【模型二】公共边（角）模型 2 【模型三】四边形中构造全等三角形模型 2 【模型四】一线三角等模型 2 【模型五】三垂直模型 3 【模型六】旋转模型 3 【模型七】倍长中线模型 3 【模型八】截长补短模型（1）——截长法 4 【模型八】截长补短模型（2）——补短法 4 二.题型精析 4 【题型 1】 平移模型 4 【题型 2】 公共边（角）模型 7 【题型 3】 四边形构造全等模型 10 【题型 4】 一线三等角模型 15 【题型 5】 三垂直模型 20 【题型 6】 旋转模型 24 【题型 7】 倍长中线模型 32 【题型 8】 截长补短模型 40 三.同步检测 45 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 45 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 53 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 60 一.模型梳理与解读 【模型一】平移模型 基本图形 解题思路 （1）由平行线的性质得到相度相等；（2）通过线段的加、减公共线段，得到线段相等。 【模型二】公共边（角）模型 基本图形 解题思路 （1）找公共边；（2）找公共角或对顶角。 【模型三】四边形中构造全等三角形模型 基本图形 解题思路 若四边形中有两对邻边相等（如图）,常连接这两对邻边的交点构造全等三角形解题. 【模型四】一线三角等模型 基本图形 解题思路 方法模型总结：如图，∠B=∠C=∠1，由三角形内角和及平角的有关性质易得∠2=∠3，∠4=∠5，再加上任一组对应边相等，易证两个三角形全等。 【模型五】三垂直模型 基本图形 解题思路 在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等易证两直角三角形全等,常见的模型如下 【模型六】旋转模型 基本图形 解题思路 （1）找对顶角；（2）通过角度加减，得等角。 【模型七】倍长中线模型 基本图形 解题思路 （1）倍长AD至点E，连接BE或CE；（2）证明三角形全等。 【模型八】截长补短模型（1）——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 【模型八】截长补短模型（2）——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 二.题型精析 【题型 1】 平移模型 【例题1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明，再解答即可 解：略 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，三角形是由三角形通过平移得到的，且点，，，在同一直线上．若，，则点与点之间的距离是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平移的性质可得，，，由，可得，进而可得的值． 解：由平移的性质可得，，， ， ， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，则可以添加角的另一个边从而利用来判定其全等，或添加另一个角从而利用或来判定其全等． 解：添加或， 当添加时， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当添加时，∴， 当添加时，∴ 故答案为：或或． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 解：略 【题型 2】 公共边（角）模型 【例题2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，，，和相交于点．求证：． 【答案】证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】连接，根据“”证明，即可得出结论． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 【答案】（或或，答案不唯一） 【分析】根据题意，可以选择判定，也可以选择、判定，据此写出一个条件即可． 解：是的角平分线， ， 又， 当添加或或时，，分别属于、、的判定条件，答案不唯一，选择一种即可． 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． （1）求证：； （2）不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴ （2）方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 解：（1）略 （2）略 【题型 3】 四边形构造全等模型 【例题3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，． （1）求证： （2）证明：． 【答案】（1）证明：连接与交于点， 在与中，，，， ∴， （2）证明：∵， ∴， 在与中， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质； （1）连接与交于点，直接根据证明即可； （2）由得到再证明，得到，根据即可得到． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（专题12.1全等图形和全等三角形的性质（4个考点2个易错点）（题型专练 易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（人教版））如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中： ①，； ②，； ③，； ④，． 添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有（　　） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及多边形全等的判定，掌握相关定理是解题关键．连接、先证明，再根据已知条件推出，即可证明四边形四边形． 解：如图，连接、， 在与中， ， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∴四边形与四边形中，，，，，，，，， ∴四边形四边形． ②同理根据可证，可推出四边形四边形， ③无法证明，不能推出四边形四边形， ④同理根据可证，的可推出四边形四边形，． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．过A作，交的延长线于E，判定，即可得到是等腰直角三角形，四边形的面积与的面积相等，即可得出结论． 解：如图，过A作，交的延长线于E， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，四边形的面积与的面积相等， ∵， ∴四边形的面积为， 故答案为． 【变式3】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． （1）若，，求四边形AECF的面积； （2）猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）48；（2）∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见分析 【分析】（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可； （2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 解：（1）解：连接AC，如图， 在△ACE 和△ACF中 ∴△ACE ≌△ACF（SSS）． ∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC． ∵CB⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CB＝6． ∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24． ∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48． （2）∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 证明：∵△ACE ≌△ACF， ∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC． ∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补， ∴∠DFC＝∠BEC． ∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC， ∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC ＝∠DAB＋∠ECF． ∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC 【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 【题型 4】 一线三等角模型 【例题4】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等．证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵， ， ∵，， ， ∵， ∴， ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【答案】9 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见分析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【题型 5】 三垂直模型 【例题5】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 （2）请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）解：， 理由如下： ， ， 在和中，， ， ，， ； （3） 【分析】（1）根据同角的余角相等可得：； （2）证明，根据全等三角形的性质可证； （3）证明，根据全等三角形的性质可得，根据，，即可求出的长度． 解：（1）解：， 根据同角的余角相等，可得：； （2）略 （3）解：是的外角， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， ． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式2】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 （1）如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； （2）在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． （2）①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 解：（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【题型 6】 旋转模型 【例题6】（23-24八年级下·河南焦作·期中）综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． （1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）①1；②；（2）①；②；（3）35 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②根据全等三角形的性质解答； （2）①仿照（1）①的作法解答； ②根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到答案； （3）由（2）可知：，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 解：（1）①证明：∵和为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ∴ ， ∴； ②解：∵， ， ； 故答案为1；； （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， ； ②， 理由如下：为等腰直角三角形，， ， ∴； （3）解：由（2）可知：，，， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由等腰三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，即得，即可得，得到，利用中线性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接，如图， ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是___________ 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出正确；再求出，判断出正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出错误． 解：，， 是等腰直角三角形， 点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 故正确； ，， 是等腰直角三角形， 故正确； ，， ， 故正确； ， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）（1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，当旋转至点在同一直线上时，连接． 填空：①的度数为______； ②线段之间的数量关系是______． （2）拓展研究： 如图②，和均为等腰三角形，且，点在同一直线上，若，求的长度及的度数． （3）探究发现： 图①中的和，在旋转过程中，当点不在同一直线上时，设直线与相交于点，试探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【答案】（1）①；②；（2），；（3）的度数是或 【分析】（1）①证明，从而得到，再由等边三角形的性质可得，再由点在同一直线上，可得，从而即可求得的度数；②由即可得到答案； （2）证明，从而得到，，再由等腰直角三角形的性质可得，再由点在同一直线上，可得，从而即可求得的度数； （3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理进行计算即可得到答案． 解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， 点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：； （2）和均为等腰直角三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 点在同一直线上， ， ， ， ； （3）如图， 由（1）知，， ， ， ， ， 如图， 同理求得， ， 的度数是或． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点，得出是解此题的关键． 【题型 7】 倍长中线模型 【例题7】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 （3）如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】（1）B；（2）；（3） 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 解：（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3）与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． （3）与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 解：（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 【题型 8】 截长补短模型 【例题8】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）度；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 解：（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 【变式1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，平分交于点D，若，求的度数． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可． 解：如图，在上截取，连接． ∵平分， ． ∵， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， 则． ∵在中，， 解得， ∴． 【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意； 2．（24-25八年级下·四川内江·开学考试）如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、添加可利用证明，故此选项不合题意； B、添加可利用证明，故此选项不合题意； C、添加可利用证明，故此选项符合题意； D、添加不能证明，故此选项不合题意． 3．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 解：∵， ∴， 由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项A符合题意； ∵， ∴， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项B不符合题意； ∵， ∴，即， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项C不符合题意； 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项D不符合题意． 4．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理得到且，再证明，得到，从而求出的长，即可得到的长． 解：如图，取的中点，连接， ∵是边上的中线， ∴为中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】在上截取 ，连接 ，通过证明 得到，，再结合已知条件推出 ，利用等边对等角和外角性质即可求解 解：如图，在 上截取，连接 ， ∵， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴，， ∵，且 ， ∴， 又 ∵， ∴，即 ， ∴， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是经过点A的一条直线，且点B，C在的两侧，于点D，于点E，交于点F．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质，利用余角的性质得出是解题关键． 先根据推出，再根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：，， ， 于， ， ， 在与中， ， ， ，， ． 故选：A． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件证明，利用全等三角形的性质逐一判断各选项即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵是直角三角形，而不一定是直角三角形，无法证明，故C错误，符合题意． 10．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 12．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 13．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 15．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 16．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点作，，交，于点，，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 解：， ， 又，， ， ， ， ， ． 17．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接、，在的延长线上取，连接，先证明，再证明，问题即可解答． 解：连接、，在的延长线上取，连接，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·四川自贡·三模）如图，已知点，，，在同一条直线上，，且，．求证：； 【答案】证明：， ， 在和中， ， ． 【分析】由，推导，然后由“”证明即可． 解：略． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 【答案】证明：，， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 【分析】先证明，再证明，即可得证． 解：略 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 【答案】证明：在上截取，连接． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【分析】采用截长法，在AB上截取，连接；先利用角平分线条件证明，推导出对应角相等；再结合平行线、垂直的条件推导角的等量关系，证明，得到；最后通过线段和差等量代换证出． 解：略 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】（1）理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． （2）理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 解：（1）略； （2）略． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． （1）【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】（1），理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 解：（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·宁夏银川·期末）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 （2）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 （3）如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 【答案】（1）B；（2）；（3）证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由三角形中线的定义得到，再根据，可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，根据三角形三边的关系求出的取值范围，则可求出的取值范围； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，据此可证明；再证明，得到，据此可证明． 解：（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $