2.3 等腰三角形的判定定理（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“等腰三角形的判定定理”核心知识点，系统梳理等腰三角形（定义法、等角对等边）与等边三角形（定义法、三角相等、等腰+60°角）的判定方法，通过对比表格区分性质与判定的因果逻辑，构建从基础到复杂图形应用的学习支架。 该资料以“推理意识”和“几何直观”为特色，设计格点图、折叠模型等题型引导学生挖掘隐含条件，结合各地期末真题强化应用。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过对比表格与错题回顾查漏补缺，提升逻辑推理与问题解决能力。

第二章 特殊三角形 2.3 等腰三角形的判定定理 课标要点 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”，等边三角形的判定方法，能够准确用文字语言、几何符号语言表述定理，明确定理的适用条件，区分等腰三角形性质定理与判定定理的因果关系。 2.经历等腰三角形判定定理与等边三角形的判定定理的探索与证明过程，掌握通过作顶角平分线、底边高线或底边中线构造全等三角形完成证明的方法，理解判定定理的推导原理，体会几何演绎推理的严谨性。 3.能在几何图形、折叠、平行线、复杂组合图形中，挖掘等角、等边等隐含条件，判定等腰三角形，进而转化边角关系，解决基础几何综合问题。 4.区分等腰三角形“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异：性质是“由边等推角等”，判定是“由角等推边等”，规避定理混用的逻辑错误，规范几何推理书写格式。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理的内容与几何表达，能准确运用定理判定等腰三角形。 2.掌握等腰三角形判定定理的证明思路与辅助线添加方法，能独立完成定理的完整证明过程。 3.熟练掌握等边三角形的两种判定方法，能根据已知条件判定等边三角形。 4.能灵活运用等腰三角形、等边三角形判定定理，结合已有几何知识完成边角计算与几何证明。 难点： 1.精准区分等腰三角形性质定理与判定定理的因果逻辑，避免“性质、判定混用”，理清“边等⇋角等”的双向推理关系。 2.在复杂图形、平行线模型、折叠模型中，主动挖掘隐藏的相等角，通过等角推导等边，判定等腰三角形，找到解题突破口。 3.综合运用三角形内角和、外角、平行线、全等三角形等知识，多层推理得出等角条件，再完成等腰三角形判定，构建完整推理链。 4.灵活选用等边三角形的判定方法，区分一般三角形与等腰三角形前提下60°角的判定差异，避免判定条件误用。 5.结合分类讨论思想解决等腰三角形判定的多解问题，结合三角形三边关系、内角和排除不合理答案，提升解题严谨性。 知识点 等腰三角形的判定（重点） 1. 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 特别提醒 核心判定依据为等角对等边，是从角度关系推边的关系，与“等边对等角”互为逆定理，仅限同一个三角形中使用。 随学随练 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】略 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 知识点 等边三角形的判定（重点） 2. 等边三角形判定的定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。 3. 等边三角形判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 4. 等边三角形判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。易错提醒 1）“有一个角是60°的三角形”不能直接判定，必须限定是等腰三角形； 2）勿混淆判定条件，两个角为60°也可间接推出三角相等，可用于判定； 3）等边三角形判定无需区分边角位置，任意位置满足条件即可。 随学随练 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质，由题意得，推出，得是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，即； ∴是等边三角形， ∴的周长为：； 故选：B 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 拓展 等腰三角形两种判定方法对比 对比维度 定义法判定 判定定理（等角对等边） 判定依据 三角形有两条边长度相等 三角形有两个内角角度相等 判定核心 通过边长关系直接判定 通过角度关系间接推导边长关系 适用场景 已知边长数值、可直接对比边长的题型 已知角度关系、无明确边长条件的题型 活学活用 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 2．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 拓展 等边三角形三种判定方法对比 判定方法 判定核心内容 判定特点 定义法（边判定） 三条边全部相等的三角形为等边三角形 最基础判定方法，依据边长全等判定，直观无推导 定理1（角判定） 三个内角全部相等的三角形为等边三角形 纯角度判定，无需边长条件，三角相等可直接推三边相等 定理2（混合判定） 有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形 结合等腰三角形属性+特殊角度，判定步骤更简便，适用性极强 活学活用 1．（25-26八年级上·山东德州·期中）关于等边三角形的说法： （1）等边三角形有1条对称轴； （2）有一个角等于的三角形是等边三角形； （3）有两个角等于的三角形是等边三角形； （4）等边三角形两条中线的交点到三边的距离相等． 其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定， 根据等边三角形的性质（对称轴数量、内心性质）和判定定理（角的条件），逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：（1）∵等边三角形有三条对称轴，∴说法（1）错误； （2）∵有一个角等于的三角形不一定是等边三角形（如含的直角三角形），∴说法（2）错误； （3）∵有两个角等于，则第三个角为，∴三角形是等边三角形，∴说法（3）正确； （4）∵等边三角形的中线交点为内心，内心到三边距离相等，∴说法（4）正确； ∴正确的说法有2个． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，均是等边三角形，E，F分别是边上的两个动点，且满足与交于点G，连接． （1）的度数是________ ； （2）若，则_______ ． 【答案】 /60度 10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等边三角形的性质得出相等的边和角，根据证明，得出，然后根据三角形的外角定理进行求解即可； （2）延长到点H，使，连接，得出是等边三角形，证明，得出相等的线段，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）延长到点H，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，是等边三角形，D为边延长线上一点，平分，． (1)求证：； (2)判别是什么特殊三角形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，再根据证明即可得出结论； （2）证明是等边三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 又，， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形． 题型 根据等角对等边证明等腰三角形 解题贴士 在同一三角形中，通过内角和、外角性质、平行线性质、角平分线等条件，证出两个内角相等，即可直接推出对应两条边相等，判定三角形为等腰三角形。 ▌例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，平分交于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定． 根据题目中的已知条件，结合三角形的内角和定理及角平分线的概念，可求出及各内角的度数．若同一个三角形中有两个相等的角，即可判定该三角形是等腰三角形． 【详解】解：图中有 3 个等腰三角形，分别为． ， ， ， （等角对等边）， 是等腰三角形， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰三角形． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 【详解】略 ▌对点练1-2．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 题型 等角对等边的其他证明题 解题贴士 先通过平行、折叠、角平分线、垂直、对顶角等条件转化角度，得到两角相等，再利用等角对等边证线段相等，进而证明线段关系、图形形状。 ▌例1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：在和中， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等得到，再根据等角对等边得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，平分交于点D，且，求证：． 【答案】证明：如图，在边上取点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】在边上取点，使，连接，由角平分线的定义可得，再利用证明，可得，，，再结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得证． 【详解】略． 题型 根据等角对等边求解 解题贴士 利用等角对等边实现角度转边长，结合线段和差、周长、方程思想，设未知数表示边长，代入计算求值。 ▌例1．如图，点为右侧一点，连接，若 ，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知交于E，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． 【答案】(1)7 (2)15 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等腰三角形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义得，再根据“两直线平行内错角相等”得，进而得出，同理可得,然后根据得出答案； 对于（2），先根据题意求出，再根据的周长得出答案． 【详解】（1）解：是的平分线， ． ， ， 即， ； 同理是的平分线 ， ； ， ； 即， , ； （2）解：的周长为25，， ， 的周长． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，得到，即可推出； （2）由角平分线和平行线的性质得到，推出，然后由等角对等边求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型 格点图中的等腰三角形 解题贴士 1）通过网格边长相等判定等腰； 2）分类讨论：底边水平、竖直、倾斜三种情况，逐一排查找点。 ▌例1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； ▌对点练1-3．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中的边上找一点，使得； (2)在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，答案不唯一 (3)见解析，答案不唯一 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图及等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识，熟知相关性质是正确解答此题的关键． （1）取格点，线段与的交点，即为线段的中点点的位置； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点的位置． 【详解】（1）解：取格点，连接，线段与的交点，即为线段的中点点的位置，如图所示： 理由：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示： 即为求作的， 理由：与，两个三角形的底边都是，高都为4， ； （3）解：如图所示：点与点关于点所在的水平格线轴对称，此时，即为求作的． 题型 等腰三角形的性质与判定综合 解题贴士 先通过角度条件判定等腰三角形（等角对等边），再利用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）进行边角计算与证明。 ▌例1．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴，，故B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D ▌例2．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，点D，E在边上，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ， ， ∴为等腰三角形； (2) 【分析】（1）先由等边对等角得到，再证明即可； （2）由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出，然后由全等三角形的性质求出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故选C． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，设出未知数列出方程是解题关键． 由题意可得，，都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，，其中的顶点与的中点重合，，分别与，交于点，．若的面积为18，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而通过面积转化求出阴影部分面积． 【详解】解：连接， ∵为中点，是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ▌对点练1-4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由等腰顶角求底角，依托三线合一得到，借助三角形外角建立角度等式算出； （2）利用三线合一推出，对周长做线段等量代换，结合转化线段，代入长度求出周长． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 解得； （2）∵，， ∴， ∴， ∴的周长：， 由（1）知：， ∴， ∴的周长：． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)解：①，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ，， ， ， ， ， ， 综上：， ② 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）①证明，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由，可得，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，， ∴； （2）证明：①略 ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 题型 等边三角形的判定 解题贴士 三种判定方法灵活选用：①三边都相等；②三角都相等（均为60°）；③有一个角是60°的等腰三角形，即为等边三角形。 ▌例1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）已知a，b，c是的三边长．若，试判断的形状． 【答案】等边三角形 【分析】根据等式得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型 等边三角形的性质与判定综合 解题贴士 先根据已知条件判定等边三角形，再利用三边相等、三角60°、三线合一全部性质，结合全等、平行、角度转化，解决证明、计算综合题。 ▌例1．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．27 B．18 C．24 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由，的长度结合，判断的形状，得的长度，可得的周长． 【详解】解：在中，，，，将沿着的方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． ▌例2．（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． ▌对点练1-2．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【答案】5 【分析】由平移可得，，，然后证明为等边三角形，再求出四边形的各边长，再相加即可． 【详解】解：∵等边， ∴， 由平移可得，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ▌对点练1-4．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 基础通关 1．（2026·广西贵港·三模）在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先根据边相等的条件得到三角形为等腰三角形，再利用等边三角形的判定定理即可判断形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，下列关于和的说法中正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．是等腰三角形 C．和均是等腰三角形 D．和均不是等腰三角形 【答案】A 【详解】解：的第三个内角为，有两个角都是，故是等腰三角形； 的第三边的长不确定，故不一定是等腰三角形； 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质． 求出，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 米． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质进行推理计算．先证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 6．（2026·陕西渭南·二模）如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由等角对等边可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，方格纸中小方格的边长均为1，的顶点都在格点上，请你只用无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作点D，使得； (2)在图2中的边上作点E，使为等腰直角三角形； (3)在图3中作一个格点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)如图，点D即为所求． (2) 如图，点E即为所求， (3) 如图，点F即为所求． 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，网格中的作图，根据网格的特点正确作图是关键． （1）根据网格的特点作图即可； （2）根据网格特点作等腰三角形即可； （3）根据网格的特点可知，据此利用网格的特点作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 9．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形；见解析 (2)27 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：为等边三角形．理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵，为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 10．（25-26八年级上·湖北·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛到海岛的距离为40海里 (2)海岛派出的救援队先到达渔船处 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到，即可求解； （2）证明是等边三角形，进而得到的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ，， ， ， （海里）， 海岛到海岛的距离为40海里； （2）解：，， 是等边三角形， ， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， ， 海岛派出的救援队先到达渔船处． 素养提升 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 2．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，点分别为上的点，将沿折叠得，连接，过点作于点．点恰好是的中点．若，平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作交于点，利用平分，得到，证明后，求出，再证明，利用三角形外角得到． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 点恰好是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 连接，延长，交于点， ， ， ，， ， ， ， 沿折叠得， ， ， ． 3．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 6．（25-26七年级下·山东威海·期末）已知：在中，． (1)如图1，，分别为两腰上的中线．求证：； (2)如图2，若点为上任意一点，试问，在上是否存在点，使？若存在，请添加一个条件（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：，、分别是两腰上的中线， ，， ． 在和中： ， ， ． (2)解：存在，添加条件：． 证明：， 又， 在和中： ， ， ． 【分析】（1）已知，、为两腰中线，可得，结合公共角，通过证得． （2）已知，添加后，结合公共顶角，可证，由全等对应边相等得． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 迁移创新 1．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是______； A．    B．    C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为______（写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2)1（或3，5，7，9，11） (3)解：， 理由：如图，延长至点E，使，连接， 同（1），可证， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1），可证， 推出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得． 【详解】（1）解：在和中，， ， ∴的理由是； （2）解： ， ， 在中，，，， ∴， 即， ∵为奇数，， ∴的长可以为1，3，5，7，9，11 中之一； （3）略 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【答案】(1) 证明：由折叠可知 ∵， ∴， ∴． (2) 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕． (3) 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕． ③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.3 等腰三角形的判定定理 课标要点 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”，等边三角形的判定方法，能够准确用文字语言、几何符号语言表述定理，明确定理的适用条件，区分等腰三角形性质定理与判定定理的因果关系。 2.经历等腰三角形判定定理与等边三角形的判定定理的探索与证明过程，掌握通过作顶角平分线、底边高线或底边中线构造全等三角形完成证明的方法，理解判定定理的推导原理，体会几何演绎推理的严谨性。 3.能在几何图形、折叠、平行线、复杂组合图形中，挖掘等角、等边等隐含条件，判定等腰三角形，进而转化边角关系，解决基础几何综合问题。 4.区分等腰三角形“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异：性质是“由边等推角等”，判定是“由角等推边等”，规避定理混用的逻辑错误，规范几何推理书写格式。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握等腰三角形“等角对等边”判定定理的内容与几何表达，能准确运用定理判定等腰三角形。 2.掌握等腰三角形判定定理的证明思路与辅助线添加方法，能独立完成定理的完整证明过程。 3.熟练掌握等边三角形的两种判定方法，能根据已知条件判定等边三角形。 4.能灵活运用等腰三角形、等边三角形判定定理，结合已有几何知识完成边角计算与几何证明。 难点： 1.精准区分等腰三角形性质定理与判定定理的因果逻辑，避免“性质、判定混用”，理清“边等⇋角等”的双向推理关系。 2.在复杂图形、平行线模型、折叠模型中，主动挖掘隐藏的相等角，通过等角推导等边，判定等腰三角形，找到解题突破口。 3.综合运用三角形内角和、外角、平行线、全等三角形等知识，多层推理得出等角条件，再完成等腰三角形判定，构建完整推理链。 4.灵活选用等边三角形的判定方法，区分一般三角形与等腰三角形前提下60°角的判定差异，避免判定条件误用。 5.结合分类讨论思想解决等腰三角形判定的多解问题，结合三角形三边关系、内角和排除不合理答案，提升解题严谨性。 知识点 等腰三角形的判定（重点） 1. 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 特别提醒 核心判定依据为等角对等边，是从角度关系推边的关系，与“等边对等角”互为逆定理，仅限同一个三角形中使用。 随学随练 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 知识点 等边三角形的判定（重点） 2. 等边三角形判定的定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。 3. 等边三角形判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 4. 等边三角形判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。易错提醒 1）“有一个角是60°的三角形”不能直接判定，必须限定是等腰三角形； 2）勿混淆判定条件，两个角为60°也可间接推出三角相等，可用于判定； 3）等边三角形判定无需区分边角位置，任意位置满足条件即可。 随学随练 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 拓展 等腰三角形两种判定方法对比 对比维度 定义法判定 判定定理（等角对等边） 判定依据 三角形有两条边长度相等 三角形有两个内角角度相等 判定核心 通过边长关系直接判定 通过角度关系间接推导边长关系 适用场景 已知边长数值、可直接对比边长的题型 已知角度关系、无明确边长条件的题型 活学活用 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 2．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 拓展 等边三角形三种判定方法对比 判定方法 判定核心内容 判定特点 定义法（边判定） 三条边全部相等的三角形为等边三角形 最基础判定方法，依据边长全等判定，直观无推导 定理1（角判定） 三个内角全部相等的三角形为等边三角形 纯角度判定，无需边长条件，三角相等可直接推三边相等 定理2（混合判定） 有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形 结合等腰三角形属性+特殊角度，判定步骤更简便，适用性极强 活学活用 1．（25-26八年级上·山东德州·期中）关于等边三角形的说法： （1）等边三角形有1条对称轴； （2）有一个角等于的三角形是等边三角形； （3）有两个角等于的三角形是等边三角形； （4）等边三角形两条中线的交点到三边的距离相等． 其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，均是等边三角形，E，F分别是边上的两个动点，且满足与交于点G，连接． （1）的度数是________ ； （2）若，则_______ ． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，是等边三角形，D为边延长线上一点，平分，． (1)求证：； (2)判别是什么特殊三角形？并说明理由． 题型 根据等角对等边证明等腰三角形 解题贴士 在同一三角形中，通过内角和、外角性质、平行线性质、角平分线等条件，证出两个内角相等，即可直接推出对应两条边相等，判定三角形为等腰三角形。 ▌例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，平分交于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． ▌对点练1-2．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 题型 等角对等边的其他证明题 解题贴士 先通过平行、折叠、角平分线、垂直、对顶角等条件转化角度，得到两角相等，再利用等角对等边证线段相等，进而证明线段关系、图形形状。 ▌例1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，平分交于点D，且，求证：． 题型 根据等角对等边求解 解题贴士 利用等角对等边实现角度转边长，结合线段和差、周长、方程思想，设未知数表示边长，代入计算求值。 ▌例1．如图，点为右侧一点，连接，若 ，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知交于E，且，则________． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型 格点图中的等腰三角形 解题贴士 1）通过网格边长相等判定等腰； 2）分类讨论：底边水平、竖直、倾斜三种情况，逐一排查找点。 ▌例1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中的边上找一点，使得； (2)在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰三角形． 题型 等腰三角形的性质与判定综合 解题贴士 先通过角度条件判定等腰三角形（等角对等边），再利用等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）进行边角计算与证明。 ▌例1．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，点D，E在边上，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为______． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，，其中的顶点与的中点重合，，分别与，交于点，．若的面积为18，则阴影部分的面积为________． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 题型 等边三角形的判定 解题贴士 三种判定方法灵活选用：①三边都相等；②三角都相等（均为60°）；③有一个角是60°的等腰三角形，即为等边三角形。 ▌例1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）已知a，b，c是的三边长．若，试判断的形状． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 题型 等边三角形的性质与判定综合 解题贴士 先根据已知条件判定等边三角形，再利用三边相等、三角60°、三线合一全部性质，结合全等、平行、角度转化，解决证明、计算综合题。 ▌例1．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．27 B．18 C．24 D．20 ▌例2．（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ ▌对点练1-2．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 基础通关 1．（2026·广西贵港·三模）在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，下列关于和的说法中正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．是等腰三角形 C．和均是等腰三角形 D．和均不是等腰三角形 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 6．（2026·陕西渭南·二模）如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 7．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，方格纸中小方格的边长均为1，的顶点都在格点上，请你只用无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作点D，使得； (2)在图2中的边上作点E，使为等腰直角三角形； (3)在图3中作一个格点F（不与点B重合），使得． 8．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 9．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 10．（25-26八年级上·湖北·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 素养提升 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，点分别为上的点，将沿折叠得，连接，过点作于点．点恰好是的中点．若，平分，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 6．（25-26七年级下·山东威海·期末）已知：在中，． (1)如图1，，分别为两腰上的中线．求证：； (2)如图2，若点为上任意一点，试问，在上是否存在点，使？若存在，请添加一个条件（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 迁移创新 1．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是______； A．    B．    C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为______（写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $