专题 1.9 三角形复习专题——三角形中的几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理三角形中的5个核心几何模型，涵盖“8”字模型、飞镖模型等，每个模型从图形特征、核心结论到原理推导层层呈现，清晰构建知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于模型与题型精准对应，如“飞镖模型”例题结合外角性质推导角度关系，培养推理意识，变式题梯度设计满足不同学生需求。同步检测分选择、填空、解答题，助力教师实施分层教学，提升学生几何直观与问题解决能力。

专题 1.9 三角形复习专题——三角形中的几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】“8”字模型（对顶三角形模型） 1 【模型二】飞镖模型（燕尾模型） 2 【模型三】双角平分线模型 2 【模型四】三角形高线+角平分线模型 2 【模型五】角平分线+平分线模型 3 二.题型精析 3 【题型 1】“8”模型求值证明 3 【题型 2】“飞镖模型”模型求值证明 6 【题型 3】“双角平分线模型”模型求值证明 12 【题型 4】“三角形高线+角平分线”模型求值证明 17 【题型 5】“角平分线+平行线”模型求值证明 20 三.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 30 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 36 一.模型梳理与解读 【模型一】“8”字模型（对顶三角形模型） 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 两个三角形对顶相交，形成类似数字“8”的图形，两组对顶角为公共夹角 若AC、BD相交于点O，则∠A + ∠B = ∠C + ∠D 利用对顶角性质、三角形内角和定理即可证明 【模型二】飞镖模型（燕尾模型） 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 四边形凹向一侧，整体形状类似飞镖或燕尾，由一个大三角形内嵌两条线段构成。 凹四边形中，外侧尖角角度和等于内侧尖角角度，即∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C。 连接AD并延长，利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），拆分两个外角即可累加得出结论。 【模型三】双角平分线模型 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 双内角平分线 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 一内一外角平分线 利用两个三角形外角性质与角平分线定义即可证明 双外角平分线 利用两个三角形外角性质与角平分线定义即可证明 【模型四】三角形高线+角平分线模型 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 利用角平分线定义、直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理即可证明 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 【模型五】角平分线+平分线模型 条件 图示 结论 证明思路 单角平分 线+平行线 利用角平分线定义、平行线的性质、等腰角形定义即可证明 单角平分 线+平行线 二.题型精析 【题型 1】“8”模型求值证明 【例题1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见分析 【分析】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论． （2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论． 解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）结论：2∠E＝∠A+∠C． 理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， ∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x， ∴∠A+∠C＝∠E+∠E， ∴2∠E＝∠A+∠C ． 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 解：∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点拨】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点拨】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和． 解：（1）如图①，连接AD， 由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点拨】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 【题型 2】“飞镖模型”模型求值证明 【例题2】（2025八年级·全国·专题练习）如图所示，已知四边形，求证． 【答案】证明：方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 解：略 【点拨】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，若，则____________． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点拨】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 【变式3】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 （1）直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； （2）拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 解：（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点拨】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 【题型 3】“双角平分线模型”模型求值证明 【例题3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，是角平分线，且，相交于点，求的度数． 【答案】135° 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．由角平分线的定义求出，再结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 解：，是角平分线， ，， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依次类推，与的角平分线交于点，则的度数是______． 【答案】60°/60度 【分析】根据题意易得，然后根据三角形内角和，进而可得，最后问题可求解． 解：∵，与的角平分线交于点， ∴， ∴，即， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：； 故答案为60°． 【点拨】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： （1）如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． （2）若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） （3）若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）同（1）可得出结论； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 解：（1）解：猜测：； 由示例得， 、分别是、的三等分线， ， ， 即． 故答案为：； （2）解：由示例得， 、分别是、的四等分线， ， ， 即． 故答案为：； （3）解：，、分别是、的等分线， ， ． 故答案为：． 【题型 4】“三角形高线+角平分线”模型求值证明 【例题4】（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图1，在，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）如图2，是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，准确找到各角度之间的和差关系是解题关键． （1）由题意得，，求出即可； （2）由题意得，结合即可求解； 解：（1）解：∵在中，，是的平分线， ， 是边上的高， ， 在中，， ， ； （2）解：是的角平分线， ， 在中，由（1）得，， ， . 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的高，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．由是的高，可得出，利用三角形内角和定理，可求出，利用角的和差求出，结合角平分线的定义，可求出，再利用角的和差求出，最后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·重庆綦江·阶段检测）如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线，与相交于，是的高，求和的度数． 【答案】， 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得，再根据角平分线的定义，求得，，最后根据三角形内角和定理，求得中的度数． 解：∵是的高，， ∴中，， ∵，， ∴中，， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴中，． 【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握三角形内角和等于． 【题型 5】“角平分线+平行线”模型求值证明 【例题5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，交 AB 于点 E，∠A＝38°，∠BDC＝55°．求∠BED 的度数． 【答案】 【分析】由DE∥BC，根据平行线的性质可得出“∠C=∠ADE，∠AED=∠ABC，∠EDB=∠CBD”，根据角平行线的性质可设∠CBD=α，则∠AED=2α，通过角的计算得出α=17°，再依据互补角的性质可得出结论． 解：∵DE∥BC， ∴∠C=∠ADE，∠AED=∠ABC，∠EDB=∠CBD， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠EDB， 设∠CBD=α，则∠AED=2α． ∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠EDB+∠BDC=180°， ∴∠A+∠AED=∠EDB+∠BDC，即38°+2α=α+55°， 解得：α=17°． 又∵∠BED+∠AED=180°， ∴∠BED=180°-∠AED=180°-17°×2=146°． 【点拨】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理以及角的计算，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为________．    【答案】76 【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 解：过点C作，   ， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：76． 【点拨】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F． （1）说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定、三角形内角和定理，（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）利用三角形内角和定理求得， 再根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 解：（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）在中，BD是的角平分线，点E是AB上一点，且．若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，再根据BD平分∠ABC，求出∠DBC，根据DE∥CB即可证明． 解：证明：∵∠A=60°，∠C=70°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABC=25°． ∵DE∥BC， ∴∠BDE=∠DBC=25°， 故选：B． 【点拨】本题考查平行线的性质吗，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题关键是能够将各定理有机结合，逐步推理． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P． 法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D， ∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线 ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°， 整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD， 即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°． 故选A. 【点拨】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·湖南湘西·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 解：延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点拨】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 4．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 解：∵在中，，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴，即， ∴， ∴ ． 5．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∵∠B+∠C=120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选A． 【点拨】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起． 6．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，高线，三角形内角和定理，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，解题的关键是找出规律： 先根据内角和定理求出，根据角平分线即可得到半角和，再结合内角和定理即可求出中间角的关系，即可得到答案． 解：由题意可得， ， ∵与的角平分线交于， ∴， 同理可得， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）如图，在中，，，平分，平分，则______. 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解. 解：∵平分，平分， ∴， ∴. 【点拨】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键. 10．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，______度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·北京·期末）如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理得，计算即可． 解：是的角平分线，， ， ， ． 12．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点拨】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 13．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 【答案】 【分析】由三角形高的定义得，即得，得到，进而根据角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理解答即可求解． 解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【答案】/125度 【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可. 解：∵中，为边上的高，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 15．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 【答案】或 【分析】分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 解：是的角平分线，， ， 当时，， ； 当时，， ，， ， 综上，的度数为或． 16．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，点O是、角平分线的交点，点P是、角平分线的交点，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，设，，得到，即可求出，可得的度数，然后根据三角形的内角和解决问题． 解：∵点P是、角平分线的交点， 设， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 故答案为：. （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴ 在中， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键． 18．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． （1）求证：； （2）利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】（1）见详解；（2）①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 解：（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 19．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． （1）如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． （2）如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． （3）如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和定理即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 解：（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 20．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】（1），见分析；（2）①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 解：（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【点拨】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.9 三角形复习专题——三角形中的几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】“8”字模型（对顶三角形模型） 1 【模型二】飞镖模型（燕尾模型） 2 【模型三】双角平分线模型 2 【模型四】三角形高线+角平分线模型 2 【模型五】角平分线+平分线模型 3 二.题型精析 3 【题型 1】“8”模型求值证明 3 【题型 2】“飞镖模型”模型求值证明 4 【题型 3】“双角平分线模型”模型求值证明 6 【题型 4】“三角形高线+角平分线”模型求值证明 8 【题型 5】“角平分线+平行线”模型求值证明 9 三.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.模型梳理与解读 【模型一】“8”字模型（对顶三角形模型） 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 两个三角形对顶相交，形成类似数字“8”的图形，两组对顶角为公共夹角 若AC、BD相交于点O，则∠A + ∠B = ∠C + ∠D 利用对顶角性质、三角形内角和定理即可证明 【模型二】飞镖模型（燕尾模型） 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 四边形凹向一侧，整体形状类似飞镖或燕尾，由一个大三角形内嵌两条线段构成。 凹四边形中，外侧尖角角度和等于内侧尖角角度，即∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C。 连接AD并延长，利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），拆分两个外角即可累加得出结论。 【模型三】双角平分线模型 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 双内角平分线 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 一内一外角平分线 利用两个三角形外角性质与角平分线定义即可证明 双外角平分线 利用两个三角形外角性质与角平分线定义即可证明 【模型四】三角形高线+角平分线模型 图形特征 基本图示 核心结论 原理推导 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 利用角平分线定义、直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理即可证明 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 【模型五】角平分线+平分线模型 条件 图示 结论 证明思路 单角平分 线+平行线 利用角平分线定义、平行线的性质、等腰角形定义即可证明 单角平分 线+平行线 二.题型精析 【题型 1】“8”模型求值证明 【例题1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【题型 2】“飞镖模型”模型求值证明 【例题2】（2025八年级·全国·专题练习）如图所示，已知四边形，求证． 【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，若，则____________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 （1）直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； （2）拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【题型 3】“双角平分线模型”模型求值证明 【例题3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，是角平分线，且，相交于点，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依次类推，与的角平分线交于点，则的度数是______． 【变式3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： （1）如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． （2）若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） （3）若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 【题型 4】“三角形高线+角平分线”模型求值证明 【例题4】（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图1，在，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）如图2，是的角平分线，与交于点．求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是______度． 【变式3】（24-25八年级上·重庆綦江·阶段检测）如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线，与相交于，是的高，求和的度数． 【题型 5】“角平分线+平行线”模型求值证明 【例题5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，交 AB 于点 E，∠A＝38°，∠BDC＝55°．求∠BED 的度数． 【变式1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为________．    【变式3】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F． （1）说明：； （2）若，求的度数． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）在中，BD是的角平分线，点E是AB上一点，且．若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南湘西·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 6．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）如图，在中，，，平分，平分，则______. 10．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，______度． 11．（25-26七年级下·北京·期末）如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 12．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 13．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 14．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 15．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 16．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，点O是、角平分线的交点，点P是、角平分线的交点，若，则的度数是________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 18．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． （1）求证：； （2）利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 19．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． （1）如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． （2）如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． （3）如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 20．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $