专题 2.2 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学等腰三角形核心知识点，系统梳理定义（两边相等）、轴对称性（顶角平分线为对称轴）及等边三角形（特殊等腰三角形，三条对称轴），构建从性质理解到基础题型（边长周长计算、线段证明、规范作图）再到综合提升（轴对称说理、周长分割）的递进学习支架。 资料亮点在于通过分类讨论（如边长周长计算分腰与底边并检验三边关系）培养抽象能力，尺规作图（已知腰和高作等腰三角形）发展几何直观，综合题型（将军饮马问题应用）强化推理意识。分层设计适合课中分层教学，同步检测助力课后查漏补缺，提升学生问题解决能力。

专题 2.2 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形的定义 2 【知识点二】等腰三角形的轴对称性 2 【知识点三】等边三角形的定义与对称性 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】等腰三角形边长与周长计算（分类讨论） 3 【题型 2】等腰三角形线段相等证明 3 【题型 3】等腰三角形规范尺规作图 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型 4】等腰三角形轴对称综合说理 5 【题型 5】等腰三角形周长分割综合问题 7 五.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握三角形各组成部分名称，明晰二者从属关系。 2. 熟练掌握等腰三角形的轴对称性质，精准掌握其对称轴特征。 3. 掌握等腰三角形基础作图方法，能运用定义和性质进行简单几何计算与推理证明。 4. 掌握等腰三角形边长、周长问题的分类讨论思想，结合三角形三边关系检验取值合理性。 （二）重难点 重点：等腰三角形的定义与轴对称性质；等腰三角形基础计算、作图与线段相等证明。 难点：等腰三角形边长周长的分类讨论与取舍；轴对称性质在几何综合说理中的灵活运用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 图1 组成名称：如图1，相等的两条边为腰，第三条边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 【要点提示】 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形。 2. 已知等腰三角形两边长求周长，必须分腰、底边两种情况讨论，再依据“三角形两边之和大于第三边”排除无效解。 3. 等腰三角形的两个底角相等，是后续角度计算的核心依据。 【知识点二】等腰三角形的轴对称性 核心性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 拓展：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在直线重合，均为对称轴。 【要点提示】 1. 对称轴是直线，不可表述为顶角平分线、中线、高线（均为线段）。 2. 沿对称轴折叠，等腰三角形左右两部分完全重合，对应线段、对应角全部相等。 【知识点三】等边三角形的定义与对称性 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。 对称性：等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有3条对称轴，分别为三条内角平分线（中线、高线）所在直线。 【要点提示】 1. 等边三角形三个内角均相等，属于特殊的轴对称图形。 2. 所有等边三角形都是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】等腰三角形边长与周长计算（分类讨论） 【例题1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B．或 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形周长为20，一边长为6，则腰长为______． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）（1）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，求它的周长； （2）已知等腰三角形的一边长为，周长为，求其它的边长． 【题型 2】等腰三角形线段相等证明 【例题2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【变式2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知线段a，b是等腰三角形的两条边，且满足，则这个三角形的周长为_______ 【变式3】（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； （1）求证：． （2）若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【题型 3】等腰三角形规范尺规作图 【例题3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式2】（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）尺规作图：如图，以为顶角，线段a为腰作等腰三角形．（要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹） 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】等腰三角形轴对称综合说理 【例题4】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）在设计轴对称图形的课堂上，老师要求学生用如图所示的等腰三角形纸片（）和正方形纸片拼成新的轴对称图形．已知底边长与正方形边长相等，要求拼成的新图形满足顶点在正方形的边上或顶点上．小凌同学的画法如图2所示． （1）画出所有其它不同类型的示意图，并标上对应字母； （2）若要将两个轴对称图形通过拼图的方式组成一个新的轴对称图形，原来两个纸片的对称轴满足的条件是 　　． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．等腰三角形的对称轴是底边上的中线 B．三角形三边的垂直平分线交于一点且到三边距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形任意两边之和大于第三边 【变式2】（24-25七年级下·河南新乡·阶段检测）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线：①底边上的高②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的垂直平分线．其中是等腰三角形的对称轴的有______个． 【变式3】（25-26七年级下·吉林·期中）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． （1）【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． （2）【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． （3）【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【题型 5】等腰三角形周长分割综合问题 【例题5】（25-26七年级上·河南·开学考试）将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比． （1）在图中画出点，并连出三角形； （2）三角形的面积与三角形的面积之比是多少？ 【变式1】（23-24八年级上·上海·阶段检测）如图，等腰三角形的周长为21，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是腰上的中线． （1）若，则的周长与的周长之差为___________； （2）若的周长为，将分成周长差为的两部分，求的边长． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 2．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 4．（25-26七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 5．（25-26八年级下·山西太原·期中）若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 8．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 10．（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 11．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 12．（24-25八年级上·四川眉山·期末）实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 13．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 14．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 15．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 16．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知线段、，请用尺规作图的方法作，使得，，高．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，已知和，延长交于，且满足，，． （1）请探究的形状，并证明你的结论； （2）用尺规作出的高．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（25-26七年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．通过构造几何图形，可以直观地解释整式乘法的法则及公式． （1）【探索】观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系：________； （2）【应用】根据（1）的结论，若，，求的值； （3）【拓展】如图3，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形的定义 2 【知识点二】等腰三角形的轴对称性 2 【知识点三】等边三角形的定义与对称性 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】等腰三角形边长与周长计算（分类讨论） 3 【题型 2】等腰三角形线段相等证明 5 【题型 3】等腰三角形规范尺规作图 8 四.题型精析（综合提升） 11 【题型 4】等腰三角形轴对称综合说理 11 【题型 5】等腰三角形周长分割综合问题 15 五.同步检测 18 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 25 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握三角形各组成部分名称，明晰二者从属关系。 2. 熟练掌握等腰三角形的轴对称性质，精准掌握其对称轴特征。 3. 掌握等腰三角形基础作图方法，能运用定义和性质进行简单几何计算与推理证明。 4. 掌握等腰三角形边长、周长问题的分类讨论思想，结合三角形三边关系检验取值合理性。 （二）重难点 重点：等腰三角形的定义与轴对称性质；等腰三角形基础计算、作图与线段相等证明。 难点：等腰三角形边长周长的分类讨论与取舍；轴对称性质在几何综合说理中的灵活运用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 图1 组成名称：如图1，相等的两条边为腰，第三条边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 【要点提示】 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形。 2. 已知等腰三角形两边长求周长，必须分腰、底边两种情况讨论，再依据“三角形两边之和大于第三边”排除无效解。 3. 等腰三角形的两个底角相等，是后续角度计算的核心依据。 【知识点二】等腰三角形的轴对称性 核心性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 拓展：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在直线重合，均为对称轴。 【要点提示】 1. 对称轴是直线，不可表述为顶角平分线、中线、高线（均为线段）。 2. 沿对称轴折叠，等腰三角形左右两部分完全重合，对应线段、对应角全部相等。 【知识点三】等边三角形的定义与对称性 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。 对称性：等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有3条对称轴，分别为三条内角平分线（中线、高线）所在直线。 【要点提示】 1. 等边三角形三个内角均相等，属于特殊的轴对称图形。 2. 所有等边三角形都是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】等腰三角形边长与周长计算（分类讨论） 【例题1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 【答案】13或14 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据非负性求出的值，再分2种情况进行讨论求解即可． 解：∵， 且， ，，                 当x是腰，y是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 当y是腰，x是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 综上，的周长为13或14． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，将边长为的边分别作为腰长和底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到底边长的所有可能结果． 解：情况：若边长为的边是等腰三角形的腰长； ∵周长为， ∴底边长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 情况：若边长为的边是等腰三角形的底边长，则腰长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 综上，等腰三角形的底边长为或． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形周长为20，一边长为6，则腰长为______． 【答案】6或7 【分析】结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，由题意得，已知边未明确是底边还是腰，需分类讨论，再根据三角形三边关系判断结果是否符合题意． 解：①当等腰三角形的底边长为时， 腰长， 此时三角形三边长为， ，符合三角形三边关系， 能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时， 底边长， 此时三角形三边长为 ，符合三角形三边关系， 能构成三角形； 综上，等腰三角形的腰长为或． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）（1）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，求它的周长； （2）已知等腰三角形的一边长为，周长为，求其它的边长． 【答案】（1）或；（2）、 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 分是等腰三角形的腰长与底边两种情况讨论求解； 已知条件中，本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． （1）解：是腰长时，周长； 是底边时，是腰，周长； 综上，它的周长为或； （2）解：底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为，，能构成三角形； 腰长为，则底边长为：，底边长为，另一个腰长为，不能构成三角形． 因此另两边长为、． 【题型 2】等腰三角形线段相等证明 【例题2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 【答案】（1）平行，理由如下： ∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 【分析】（1）先证明，再结合等腰三角形的定义进行等量代换证明平行； （2）先根据平行线的性质得到，然后由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求解． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵点在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴ 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为0的条件，以及等腰三角形的定义，根据分式值为0时分子为0、分母不为0，结合三角形的分类判断三角形形状即可． 解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， ∴，且， ∴此三角形有两边相等，为等腰三角形． 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知线段a，b是等腰三角形的两条边，且满足，则这个三角形的周长为_______ 【答案】20 【分析】本题考查了完全平方公式应用，三角形三边关系，等腰三角形定义等知识．将根据完全平方公式变形为，求出，．分“4为等腰三角形底长时，腰长为8”和“4为等腰三角形腰长时，底长为8”两种情况分类讨论，判断是否构成三角形，再求周长即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 当4为等腰三角形底长，腰长为8时，由于，所以构成三角形，周长为； 当4为等腰三角形腰长，底长为8时，由于，所以构不成三角形，此种情况不成立． 故答案为：20 【变式3】（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； （1）求证：． （2）若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2） 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【题型 3】等腰三角形规范尺规作图 【例题3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】 解：先作一条直线，在直线上取点D，过D作直线的垂线，再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，交垂线于点A，连接，此时；以A为圆心，线段的长为半径画弧，交第一步的直线于B、C两点，连接、，此时即为所求三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 【答案】、、、、、 【分析】连接、、、、、、、，由作图可得，，再结合等腰三角形的定义分析即可得出结果． 解：如图，连接、、、、、、、， 由作图可得：，， 故等腰三角形有、、、， 不一定是等腰三角形的为、、、、、． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）尺规作图：如图，以为顶角，线段a为腰作等腰三角形．（要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹） 【答案】见分析． 【分析】本题考查了尺规作图的等腰三角形的画图方法，熟练掌握作图方法是解题关键． 尺规作，再以A为圆心，线段a为半径画弧，交的两边于，连接，即为所求． 解：已知：，线段a． 求作：，使得． 如图，即为所求． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】等腰三角形轴对称综合说理 【例题4】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）在设计轴对称图形的课堂上，老师要求学生用如图所示的等腰三角形纸片（）和正方形纸片拼成新的轴对称图形．已知底边长与正方形边长相等，要求拼成的新图形满足顶点在正方形的边上或顶点上．小凌同学的画法如图2所示． （1）画出所有其它不同类型的示意图，并标上对应字母； （2）若要将两个轴对称图形通过拼图的方式组成一个新的轴对称图形，原来两个纸片的对称轴满足的条件是 　　． 【答案】（1）作图见分析；（2）重合 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． （1）依据拼成的新图形满足顶点在正方形的边上或顶点上，进行画图即可． （2）依据两个轴对称图形通过拼图的方式组成一个新的轴对称图形进行判断即可． （1）解：如图所示： （2）解：若要将两个轴对称图形通过拼图的方式组成一个新的轴对称图形，原来两个纸片的对称轴满足的条件是重合， 故答案为：重合． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．等腰三角形的对称轴是底边上的中线 B．三角形三边的垂直平分线交于一点且到三边距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的对称性、三角形特殊线的性质、三角形三边关系等基础知识点，逐一辨析每个选项的正误． 解：选项A，∵对称轴是直线，而底边上的中线是线段，∴A错误； 选项B，∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形三条角平分线的交点，∴B错误； 选项C，根据三角形高线的性质，任意三角形的三条高所在直线交于一点，高线不一定交于一点，∴C错误； 选项D，三角形任意两边之和大于第三边是三角形三边关系的基本定理，∴D正确． 【变式2】（24-25七年级下·河南新乡·阶段检测）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线：①底边上的高②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的垂直平分线．其中是等腰三角形的对称轴的有______个． 【答案】1 【分析】根据等腰三角形的性质已经对称轴的含义解答即可． 解：等腰三角形是轴对称图形，底边上的垂直平分线是等腰三角形的对称轴，底边上的高所在的直线，顶角的平分线所在的直线，底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴， 所以是等腰三角形的对称轴的有1个． 故答案为：1． 【点拨】本题考查了等腰三角形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，易错点是熟记对称轴是直线，不是线段． 【变式3】（25-26七年级下·吉林·期中）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． （1）【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． （2）【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． （3）【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】（1），，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边；（2）9；（3） 【分析】（1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （3）设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． （1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； （2）解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称，， ∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． （3）解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， ∴由轴对称的性质可得，，， ∴． 【题型 5】等腰三角形周长分割综合问题 【例题5】（25-26七年级上·河南·开学考试）将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比． （1）在图中画出点，并连出三角形； （2）三角形的面积与三角形的面积之比是多少？ 【答案】（1）点，三角形即为所求： （2）． 【分析】本题考查了图形折叠问题的应用以及三角形面积计算的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形且图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称，即在上取一点，使，则该点即为所求，据此作图并连接组成三角形； （）根据图形折叠的性质可知，且三角形面积和三角形面积相等，结合题意，，，则，根据等高三角形的面积比等于对应底边之比即可求出三角形和三角形的面积比，进而根据三角形面积和三角形面积相等即可求出三个三角形、三角形和三角形的面积连比，进而即可求出三角形的面积与三角形的面积比． 解：（1）略 （2）解：根据图形折叠的性质可知，， ∵， ∴， 根据等高模型可得，， 根据图形折叠的性质可知，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·上海·阶段检测）如图，等腰三角形的周长为21，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求出，再由线段垂直平分线的性质可得，最后由三角形的周长公式计算即可得出结果． 解：∵是等腰三角形，底边，周长为21， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长为13． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是腰上的中线． （1）若，则的周长与的周长之差为___________； （2）若的周长为，将分成周长差为的两部分，求的边长． 【答案】（1）；（2）、、或、、 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． （1）根据三角形中线的定义可得结论； （2）点把分为长度相等的两条线段．将的周长分成差为的两部分，则或，分别列等式可解答． （1）解：是腰上的中线， ． ， 的周长与的周长之差为：． 故答案为：； （2）根据已知可得，，或，， 解得，或，， 所以的三边分别为、、或、、． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长． 解：分两种情况讨论： ①当3为底边长时，两腰长均为6， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形周长为； ②当3为腰长时，底边长为6， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 因此三角形的周长为15． 2．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 解：∵三角形内角和为，若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理， ∴只能是等腰的顶角， ∴底角为． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】已知边没有明确是腰还是底边，需要分两种情况讨论，再验证能否构成三角形，即可得到正确结果． 解：分两种情况讨论： ①若边长为腰长，则底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去该情况； ②若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 腰长为． 4．（25-26七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需分情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，得到正确结果. 解：∵等腰三角形已知两边长为和，第三边有两种可能，分情况讨论： ∴当第三边长为， ∵ ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当第三边长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形； ∴第三边长为. 5．（25-26八年级下·山西太原·期中）若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质和周长定义计算底边长，再结合三角形三边关系验证即可得到结果． 解：∵等腰三角形两腰相等，周长为三边长度之和，已知周长为18，腰长为5， ∴底边长， 验证三边关系： ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形， ∴该三角形的底边长为8． 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断． 解：当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段， 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线， 因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点， 最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形， 故选：A． 【点拨】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 解：甲图：以点为圆心，为半径作弧，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确． 故选：D． 8．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分为顶角和为底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，结合“特征值”的定义计算即可． 解：①当为顶角时，底角度数为， 特征值； ②当为底角时，顶角度数为， 特征值； 综上，该等腰三角形的特征值为或， 故选：D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 【答案】/度 【分析】根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 解：在等腰中，顶角， 则底角， 设，则， 根据三角形内角和定理得， 即， ， 解得， 即． 10．（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【答案】22 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题时需分情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算得到周长． 解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去该情况； 当腰长为时，三角形三边长为，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为． 11．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 12．（24-25八年级上·四川眉山·期末）实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 【答案】7或8 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质．先通过配方将原式转化为非负数和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 解：将原式变形可得， 因为，，且它们的和为0， 所以，， 解得，， ①若腰长为3，底边长为2，则三角形三边为3、3、2， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为； ②若腰长为2，底边长为3，则三角形三边为2、2、3， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为， 故答案为：7或8． 13．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 14．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰长和底边长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到符合条件的腰长． 解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ，不满足三角形三边关系， 这种情况不成立，舍去； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ，满足三角形三边关系， 此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为． 15．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 【答案】或 【分析】设，则，根据题意，得，得，根据一部分比另一部分长，建立方程求解即可； 解：根据题意，得， 当时，根据题意，得分成的两部分为，与其中一部分比另一部分长，不一致，不符合题意； 当时，根据题意，得分成的两部分为， 设，则， 根据题意，得， 故， 由其中一部分比另一部分长， 故或， 解得或， 故三角形的腰长为或． 16．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟悉等腰三角形三边关系，根据不同情况分别计算答案，是解题的关键．根据等腰三角形的周长和一边长，分别讨论该边为腰长或底边长两种情况，计算和谐比即可． 解：等腰三角形的周长为，其中一边长为， 若为腰长，则底边长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为， 若为底边长，则腰长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为． 故答案为：或． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知线段、，请用尺规作图的方法作，使得，，高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见分析 【分析】分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点为点P、Q，则直线为边的垂直平分线，交于点D，再以点D为圆心，线段为半径画弧，交直线于点B，连接、． 解：如图，即为所求． 19．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，已知和，延长交于，且满足，，． （1）请探究的形状，并证明你的结论； （2）用尺规作出的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）是等腰三角形； 证明：， ∴． 在和中， ， ． ． 是等腰三角形． （2）如图：线段即为所求． 【分析】（1）先证明，再证明可得，从而证明结论； （2）以点D为圆心，以大于点D到的距离画弧交于两点，再分别以该两点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，两弧交于一点， 连接两弧交点和点D，与交于点M，线段即为所求． 解：（1）略 （2）略 20．（25-26七年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．通过构造几何图形，可以直观地解释整式乘法的法则及公式． （1）【探索】观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系：________； （2）【应用】根据（1）的结论，若，，求的值； （3）【拓展】如图3，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）利用（1）的结论求解即可； （3）设，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积． （1）解：； （2）解： 根据（1）结论得，， ∵，， ， ； （3）解：设， ∵以为边向上分别作等腰和等腰， ， ，， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $